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一个三角形重心向量性质的空间拓广 总被引:6,自引:0,他引:6
利用平面向量的知识,三角形有以下性质:图1[1]如图1,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=xAB,AN=y AC,则1x 1y=3.证∵点G是△ABC的重心,∴GA GB GC=0,∴-AG (AB-AG) (AC-AG)=0,∴AG=13(AB AC).又∵M,N,G三点共线(A不在直线MN上),∴AG=λAM μAN(且 相似文献
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掌握几何中"∠B=2∠A"型问题的处理 方法,是快速解答相关问题的关键. 一、作大角的角平分线 例1 如图1, 在△ABC中,AB= 2BC,又∠B=2∠A, 求∠C. 解 作∠B的平 分线交AC于E,过E 作DE⊥AB于D. ∵∠B=2∠A,∴ ∠1=∠2=∠A. ∵ DE⊥AB, ∴ BD=1/2AB. ∵AB=2BC, ∴ BD=1/2×2BC=BC. 相似文献
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1 新题评析例1 (天津市高中质量调查)设i,j是平面直角坐标系内x轴,y轴正方向上的单位向量,且AB = 4 i+ 2 j,AC =3i+ 4 j则△ABC的面积等于( )(A) 15 . (B) 10 . (C) 75 . (D) 5 .解 ∵AB =(4,2 ) ,AC =(3,4 ) ,∴AB ·AC =4×3+ 2×4 =2 0| AB | =4 2 + 2 2 =2 5 ,| AC | =32 + 4 2 =5 .设AB ,AC 的夹角为θ,则cosθ=AB ·AC | AB | | AC |=2 02 5×5=25, sinθ=1- 45 =15,∵S△ABC=12 ×| AB | | AC | sinθ=12 ×2 5×5×15=5 .即选(D) .评析 要求三角形的面积,可求两边长和其夹角的正… 相似文献
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平面几何的图形形形色色,千变万化,但如若我们仔细研究,很多的复杂图形都是由某些基本图形变化而来的.例1 如图1,在△ABC中,D为AB边上任意一点,过点A、B分别作CD的平行线交BC,AC的延长线于点E、F.求证:1/AE+1/BF=1/CD.证明 ∵ AE∥CD,∴ CD/AE=DB/AB 相似文献
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一、错题的探究题目如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足,若AD,BD的长是方程2x2-12x+3m-1=0的两根,且△ABC的面积为12.(1)求CD的长;(2)求m的值.先让学习练习,学生A的解法是:解:(1)∵AD、BD的长是方程2x2-12x+3m-1=0的两根,∴AD+BD=6,即AB=6.又∵CD⊥AB且△ABC的面积为12,∴12AB·CD=12,12×6CD=12,∴CD=4.(2)∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴CD2=AB·BD.又∵AD·DB=3m-12,CD=4,∴3m-12=16,∴m=11.结果有二十个左右的学生的意见同上述解答一样,不同意见的也有二十个左右,没举手的有5个.学生B代表不同意见说:“上述(2… 相似文献
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三角形内心的两个性质 总被引:1,自引:0,他引:1
文[1]和文[2]对三角形重心进行了探究,阅读之后受到启发,笔者发现三角形内心也有类似的性质,现行之成文与读者共同探讨.性质1如图1,设△ABC的三个顶点A,B,C所对的三边长分别为a,b,c.已知点I是△ABC的内心,过I作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=m AB,AN=n AC,则bm cn=a b图1 c.证因为点I是△ABC的内心,∴a IA b IB c IC=0[3],∴-a AI b(AB-AI) c(AC-AI)=0,∴(a b c)AI=b AB c AC,即AI=ba b c·AB ca b c·AC.又因为M,I,N三点共线(A不在直线MN上),∴AI=λAM μAN(且λ μ=1),∴AI=λm AB μn AC=ba b c·… 相似文献
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一、判定定理如图1,若OA=OB=OC,则点O为△ABC的外心.简证以点O为圆心,以OA长为半径画圆,如图2所示,由于OA=OB=OC,因此⊙O必经过A、B、C,即⊙O为△ABC的外接圆,故点O为△ABC的外心.二、应用举例例1(《中学生数学》2007(6)·P8)如图3,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AC=AD=3,BC=2,求对角线BD的长.解由AB=AC=AD知点A为△DBC的外心,延长BA交△ABC的外接圆于E,连DE,由AB∥DC知DE=BC=2,又EB=2AB=2×3=6, 相似文献
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许多同学在解平面向量题时对与向量相关的某些概念理解有误,或盲目套用实数的有关运算性质、公式,致使解题出错,现举例如下:误区一:“向量三要素:方向、位置和长度.”例1已知A(5,2),B(4,6),将AB按向量a(1,2)平移后所得向量的坐标为.错解:∵A(5,2),B(4,6),∴AB=OB-OA=(4,6)-(5,2)=(-1,4)将x=-1,y=4及h=1,k=2代入平移公式x′=x+hy′=y+k得x′=0,y′=6,∴AB按a平移所得向量的坐标为(0,6).剖析:确定向量的要素是大小和方向,与位置无关,所以向量的平移不会改变向量本身;另外,平移公式揭示的是点沿向量平移前后坐标的变化关系,它并不适合于… 相似文献
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在证明平面几何题时,正确地添设辅助线,往往是关键。关于辅助线,通常有直线(包括线段、射线、平行线、垂线、圆的切线等等),和圆。对于前者,已普遍引起人们的注意、研究和运用。本文举例说明在平面几何证题中添设辅助圆的问题供老师们在教学中参考。 [例1]在四边形ABCD中,AB∥CD,BC=b,AB=AC=AD=a,求BD的长。分析:从本题AB=AC=AD=a这个条件,不难想到:B、C、D三点应在以点A为圆心,以a长为半径的圆上,若将此圆画出,本题将迎刃而解。解:以A为圆心a长为半径画圆,如图1 ∵ AB=AC=AD=a 故 B、C、D三点在⊙A上。 相似文献
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两个三角形垂心相同的充要条件 总被引:1,自引:0,他引:1
在非直角三角形ABC中,A1,B1,C1分别是直线BC,CA,AB上的点,且满足:AC1=λC1B,BA1=μA1C,CB1=t B1A,其中λ,μ,t均不为-1.图1如图1,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,下面我们来讨论△ABC与△A1B1C1有相同垂心的充要条件.不妨设点H为△ABC的垂心,则有BH·AC=0,CH·AB=0.因此BH·AB=(BC CH)·AB=BC·AB.由于A1H=BH-BA1=BH-1 μμBC,B1C1=AC1-AB1=1 λλAB-11 tAC,所以A1H·B1C1=(BH-1 μμBC)·(1 λλAB-1 1tAC)=1 λλBH·AB-(1 λ)λ(μ1 μ)BC·AB-11 tBH·AC (1 μ)μ(1 t)BC·AC=1 λλBC… 相似文献
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型如“1/a 1/b=1/c”的证明,通常是先变形为“ac bc=1”.再依据题设条件,应用相似形对应边的关系,三角形内(外)角平分线的性质,平行截线定理,利用三角、解析几何的知识找出有关线段的比来表示ac和bc,然后再证这比的和为1初,中这几是何证课明本此习类题问题的基本途径.“已知:AC⊥AB,BD⊥AB,AD和BC相交于点E,EF⊥AB,垂足为F,又AC=p,BD=q,EF=r,如图证明:1p 1q=1r.这是一道很有用途的习题.现将该题作一简单推广.例1:直线AB之同侧有平行线AC,BD,连AD,BC相交于点E,又EF∥AC交AB于F,求证:A1C B1D=E1F.由证平明:行∵截A线C定∥… 相似文献
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性质等腰梯形的一条对角线与一腰的平方差等于上下底的积.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,则BD2-AB2=AD·BC.证明∵梯形ABCD是等腰梯形,∴BD=AC.∵等腰梯形有一个外接圆,由托勒密定理得BD·AC=AB·CD+AD·BC,并注意到AB=CD,故BD2-AB2=AD·BC.推广1如图2,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,P是BC上任意一点,则PD2-PA2=AD(PC-PB). 相似文献
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求证三点共线的方法很多,其中向量证法简明流畅,令人耳目一新. 例题已知A(1,-1),B(3,3),C(4,5)三点,求证:A,B,C三点共线. 证法一利用非零向量共线的充要条件 相似文献
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<正>图1考题(2013年四川巴中)如图1,一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与反比例函数y=m x(m≠0)的图像交于一、三象限内的A、B两点,直线AB与x轴交于点C,点B的坐标为(-6,n),OA=5,tan∠AOx=43.(1)求反比例函数的解析式;(2)求△AOB的面积.析解(1)∵OA=5,tan∠AOx=43,∴点A(3,4),m=12,∴反比例函数的解析式y=12x.(2)根据y=12x,得交点B(-6,-2),那么△AOB的面积可以通过割补法来计算,有下面三种基本方法:方法1由A(3,4),B(-6,-2),利用待定系数法,得直线AB的解析式:y=23x+2. 相似文献
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《中学数学》2005,(Z1)
1.(北京卷,3)若a=1,b=2,c=a+b,且c⊥a则向量a与b的夹角为().(A)30°(B)60°(C)120°(D)150°2.(山东卷,7)已知向量a、b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是().(A)A、B、D(B)A、B、C(C)B、C、D(D)A、C、D3.(全国卷,8)已知点A(3,1),B(0,0),C(3,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有BC=λCE,其中λ等于().(A)2(B)21(C)-3(D)-314.(辽宁卷,9)若直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x2+y2=5相切,则c的值为().(A)8或-2(B)6或-4(C)4或-6(D)2或-85.(全国卷,10)点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即… 相似文献