用圆锥曲线的定义搭桥铺路

解析几何中某些问题 ,若能灵活运用圆锥曲线定义搭桥铺路 ,便能使解题过程简洁明快 ,收到事半功倍的效果 .1　求圆锥曲线的离心率例 1　 (2 0 0 1年全国高考理 (7)题 )若椭圆经过原点 ,且焦点为Ｆ1(1,0 ) ,Ｆ2 (3,0 ) ,则其离心率为(　　 )(Ａ) 34 .　 (Ｂ) 23.　 (Ｃ) 12 .　 (Ｄ) 14.分析 :∵ 2ｃ=|Ｆ1Ｆ2 |=2 ,∴ｃ =1,又∵椭圆经过原点 ,根据椭圆第一定义 ,∴ 2ａ =|ＯＦ1| |ＯＦ2 |=1 3=4,∴ａ=2 ,∴ｅ=ｃａ =12 ,故应选 (Ｃ) .例 2　 (1999年全国高考理 (15 )题 )设椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ>0 )的右焦点为Ｆ1,右准线为ｌ1,若过Ｆ…     

不容忽视的圆锥曲线的另类定义

圆锥曲线的定义。是我们了解圆锥曲线性质特征的一个重要窗口．同时．又是我们解决几何问题的一个有力工具．但是．在平时的学习中。除了几个基本的“显现”的定义被我们熟知外．另外还有一些“隐性”的定义常常被我们所忽视．从而给解题造成不必要的麻烦．其实．在课本上还有几个有用的定义值得我们重视与关注．先看以下几个问题．     

圆锥曲线中的角

在圆锥曲线中也常常会出现一些有关角的同题，本文拟对相关问题的解法类型作一个归纳总结。以期对大家的教与学能够有所启发。     

圆锥曲线的一个性质

笔者在进行圆锥曲线章节内容的教学时，发现圆锥曲线的一个性质：     

例谈与圆锥曲线定义有关的几类貌似神离题

椭圆、双曲线和抛物线是三种重要的二次曲线．高中数学教材中对它们给出了两种定义．第一定义展示了各类曲线各自独特的性质和几何特征。统一定义（又称第二定义）则深刻揭示了三类曲线的内在联系．使焦点、离心率和准线等构成一个和谐的整体．它揭示了曲线的本质属性．在对解析几何问题的研究中．常需用到圆锥曲线的定义．本文列举三类貌似神离的解析几何题。以飨读者．     

圆锥曲线上的点对焦点张角的性质

本文介绍椭圆或双曲线上的点对焦点的张角的一个性质 ,将它们用之解题是比较方便的 .定理 1　点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ>0 )上的点 ,Ｆ1(-ｃ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 )是左、右焦点 ,则有1)∠Ｆ1ＰＦ2 是直角的充要条件是ｘ20 =ｃ4 -ｂ4ｃ2 ;2 )∠Ｆ1ＰＦ2 是锐角的充要条件是ｘ20 >ｃ4 -ｂ4ｃ2 ;3)∠Ｆ1ＰＦ2 是钝角的充要条件是ｘ20 <ｃ4 -ｂ4ｃ2 .证　在△Ｆ1ＰＦ2 中 ,|ＰＦ1|=ａ ｅｘ0 ,|ＰＦ2 |=ａ -ｅｘ0 ,ｃｏｓ∠Ｆ1ＰＦ2 =|ＰＦ1|2 |ＰＦ2 |2 - |Ｆ1Ｆ2 |22 |ＰＦ1||ＰＦ2 |,1)∠Ｆ1ＰＦ2 是直角 |ＰＦ1|2 |Ｐ…     

圆锥曲线的一组相关的性质

笔者在探讨圆锥曲线焦点三角形的有关性质过程中 ,通过类比联想得到了一组结论及其证明思路 ,简录于下 ,供大家参考 .性质 1　若Ｆ1 、Ｆ2 分别为双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1图 1左、右焦点 ,点Ｐ是双曲线右分支上的一点 ,则△ＰＦ1 Ｆ2 的内切圆必切于双曲线的右顶点 ;若点Ｐ是双曲线左分支上的一点 ,则△ＰＦ1 Ｆ2 的内切圆必切于双曲线的左顶点 .思路　如图 1 ,因为2ａ=｜ＰＦ1 ｜- ｜ＰＦ2 ｜ =｜Ｆ1 Ａ｜ -｜Ｆ2 Ａ ｜ =｜Ｆ1 Ｏ｜ +｜ＯＡ｜- (｜ＯＦ2 ｜ -｜ＯＡ｜) =2 ｜ＯＡ｜ .图 2　　所以Ａ点的坐标为 (ａ ,0 ) ,即实轴的右顶点 …     

圆锥曲线焦半径的一个性质

定理 1　Ａ1 ,Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ｆ为椭圆的焦点 ,ｌ为椭圆的与Ｆ对应的准线 ,Ｐ是椭圆上任一点 (除Ａ1 、Ａ2 外 ) ,设Ａ1 Ｐ、Ａ2 Ｐ分别与ｌ交于Ｍ、Ｎ ,则①ＭＦ⊥ＮＦ ,②以ＭＮ为直径的圆与ＰＦ相切于Ｆ ,③ＦＭ平分∠ＰＦＡ2 (如图 1 ) .图 1证明　①设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ >ｂ>0 ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｆ(ｃ ,0 ) ,ｌ:ｘ =ａ2ｃ,Ａ1 (-ａ ,0 ) ,Ａ2 (ａ ,0 ) .则Ａ1 Ｐ :　　ｙ=ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα +1 ) (ｘ+ａ) ,Ａ2 Ｐ :　　ｙ =ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα - 1 ) (ｘ -ａ) ,容易求得Ｍ ａ2ｃ…     

求动点轨迹的方法与技巧

求动点轨迹的基本方法主要有以下几种 :1)直译法 .如果动点满足的条件是一些几何量的等量关系 ,则只需直接将动点的坐标代入 ,便可得到动点的轨迹方程 .2 )定义法 .如果动点的轨迹是某种确定的曲线 ,则可根据该曲线的定义建立其方程 .3)转移法 .如果动点P随着另一动点Q的运动而运动 ,且Q点在某一已知曲线上运动 ,那么只需将Q点的坐标用P点的坐标来表示 ,并代入已知曲线方程 ,便可得到P点的轨迹方程 .4 )交轨法 .如果动点P是某两条动曲线的交点 ,则可联立这两条曲线的方程 ,并消去其中的参数 ,便可得到P点的轨迹方程 .5 )参数法 .如果动…     

例谈设点法的利弊

在求解直线与圆锥曲线相交弦问题时,常常用设点法.即设弦的端点坐标,设而不求,整体思考.设点法变式灵活,思路快捷,运算简化.但设点法也有缺陷.下面介绍一道例题,希望通过本例的说明,能对设点法有比较清晰的了解.     

借助《几何画板》辅助圆锥曲线统一定义教学

现行《解析几何》教材中 ,给出了圆锥曲线的统一定义 :与一个定点 (焦点 )的距离和一条定直线 (准线 )的距离的比等于常数ｅ的点的轨迹 ,当 0 <ｅ <1时是椭圆 ;ｅ>1时是双曲线 ;ｅ=1时是抛物线 .这一定义表明了三种圆锥曲线间的内在统一 .是对学生进行辩证法等素质教育的好素材 .教材是通过分别求出轨迹方程加以说明的 .实际教学中以传统教学手段较难体现其内在一致性 .更无法进行如《全日制普通高级中学数学教学大纲》(2 0 0 0年 2月出版 )所要求的“结合教学内容 ,进行运动、变化观点的教育” .若借助《几何画板》这一动态几何工具辅助教…     

圆锥曲线的定向弦问题

在圆锥曲线中,经常遇到如下的定向弦问题．     

曲线 何必与方程捆绑——圆锥曲线寻根统一定义

正因为方程可以成为曲线的“化身”,所以才有了解析几何．但我们不能不分青红皂白地把曲线与方程弄成身形相依的捆绑：一提曲线,就想它的方程;一提方程,就想它的曲线．好像是：一旦离开了方程,曲线就不存在了一样．     

浅谈椭圆的定义及应用

椭圆是圆锥曲线中的一种曲线 ,学好它对学好双曲线与抛物线有十分重要作用 .而椭圆的定义既是研究椭圆标准方程的基础 ,也是解题的重要依据 .为此本文对椭圆的定义急应用进行研究 ,供同学们学习时参考 .课本指出 :平面内与两个定点F1,F2 的距离和等于常数 (大于 |F1F2 | )的点的轨迹 ,叫椭圆 .在理解定义时应注意它的条件 :①定义中讲的是距离之和而不是距离差 ;②常数大于 |F1F2 | .这里应注意 ,当常数分别大于、等于、小于 |F1F2 |时 ,点的轨迹分别为椭圆、线段、不存在 ,这里渗透了分类思想 .在理解定义时 ,要注意定义的可逆性 :椭圆…     

利用圆锥曲线的定义解题

定义是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式 .对定义的深刻理解是提高解题能力的坚实基础 ,但不少学生对圆锥曲线的定义的应用缺乏自觉性 .其实在处理某些解析几何问题时 ,若能结合圆锥曲线的定义来考虑 ,可避免繁琐的计算过程 ,从而显得简洁、明快 .以下略举几例 ,说明圆锥曲线的定义在解题中的应用 .例 1　 (1990年全国高中数学联赛试题 )设双曲线的左、右焦点是Ｆ1,Ｆ2 ,左、右顶点是Ｍ ,Ｎ ,若△ＰＦ1Ｆ2 的顶点Ｐ在双曲线上 ,则△ＰＦ1Ｆ2 的内切圆与边Ｆ1Ｆ2 的切点位置是 (　　 )(Ａ)在线段ＭＮ内部 .(Ｂ)在线段Ｆ1Ｍ内部或线段…     

"圆锥曲线一个奇妙性质"的射影证明

在平面解析几何中 ,圆锥曲线有这样一个奇妙性质 :“设Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为圆锥曲线上的一个定点 ,过Ｍ点任作两条互相垂直的弦ＭＰ ,ＭＱ ,则直线ＰＱ通过一个定点 (有穷点或无穷远点 )” .(数学通报 ,2 0 0 1年第 9期 ,张汉清文“圆锥曲线的一个奇妙性质”) .本文用射影几何的理论给出这一性质的统一证明 ,为此 ,我们首先建立圆锥曲线上的射影变换 .定义 1　如果在二阶曲线[注 ] 的点之间建立了一一对应 ,使得二阶曲线上任意一点分别与每对对应点相连所构成的两个线束是射影对应的 ,则称在二阶曲线上建立了射影变换 ,二阶曲线叫做底 .如图 1 ,…     

运用圆锥曲线的光学性质解题

在高中教材中，圆锥曲线作为解析几何的主要内容出现，借助坐标，用代数手段解决几何问题，目的是培养学生几何问题代数化的思想及处理数的能力。但当证明某些纯几何性质时，代数推导不免烦琐。圆锥曲线具有其特殊的几何性质，合理运用，可使问题大大简化。