平均值代换在解题中的应用举例

平均值代换也称为均值换元,是换元法中的一种,是指利用问题中某些变量的算术平均值对这些变量作线性变换,通过引入新的变量突出原有变量的特征,从而达到简化与解决问题之目的．下面通过具体的例子说明其应用．     

例谈一类参数代换法

《中学生数学》(10月下)登载的求值域问题的一个常用方法一文(下称文[1]),两位老师对笔者拙文(2009年第1期)中例3给出了一个令人耳目一新的解法,阅后较有启发,     

三角代换在某些代数问题中的应用

三角和代数是初等数学的两个重要组成部分,在解决某些代数问题时适当应用三角代换不仅可以化繁为简,还可启发学生的思维,开拓解题思路,提高学生分析问题解决问题的能力.本文就此作初步的探讨.1　证明条件等式有些条件等式直接证明很麻烦或很困难,如能适当引进三角代换,问题往往就简单多了.例　设x2 y2=1,ax2 by2=c,ax2 by2=d,a,b,c为不同的实数,求证　da-b ab-c bc-a=0证明　注意到条件中有x2 y2=1,故令x=cosα,y=sinα.于是便有acos2α bsin2α=c　　(1)asec2α bcsc2α=d　　(2)由(1)和已知条件得sin2α=c-ab-acos2α=b-cb-a代入(2)得　a…     

例说简单无理方程中参数取值范围的求法

无理方程的求解 ,既要考虑如何把问题转化成“有理”的 ,又要考虑根式有意义的条件 ,因而求解的难度较大 ,若是方程中出现参数问题就变得更加复杂 .这里通过两个例题的评析 ,介绍几种求解简单无理方程中参数取值范围的方法 .例 1　若方程 2ｘ 1=ｘ ａ有两个不同的实数根 ,求满足条件的ａ的取值范围 .思考 1　能否去掉根号 ?于是想到两边平方 ,同时注意到根式要有意义 .因此 ,有下面解法 1所示的控制增根的方法 .解法 1　原方程两边平方得2ｘ 1=(ｘ ａ) 2 (1)即ｘ2 (2ａ - 2 )ｘ ａ2 - 1=0 .Δ =(2ａ - 2 ) 2 - 4 (ａ2 - 1) >0 ,解得ａ…     

代换策略在分式问题中的应用探究

在解数学问题的过程中,把其中某个代数式（或超越式,或函数式）看成一个整体,用一个新变量作代换,从而使问题的解答便于进行,这种方法叫做代换法．代换法既是一种重要的解题方法,也蕴含有丰富的解题技巧,其应用目的是把复杂的结构形式转化为简单的结构形式,把隐含的条件显露出来,把分散的条件联系起来,使问题化难为易,化繁为简,化陌生为熟悉．实际应用时应根据所给问题的特点,灵活选取适当的代换方法,既有利于提高解题能力,也有利于扎实数学学习的基本功．本文通过求解分式最值问题与证明有关分式不等式,介绍代换的策略．     

构造法解最值问题

构造法是通过构造辅助量 ,实例、反例、模型、图形、函数和方程等来解决数学问题的一种思维方法 .经常有意识地用构造法解题 ,可以培养思维的敏捷性和创造性 ,提高观察问题、转化问题和解决问题的能力 ,下面用构造法解几道最值问题 ,以便从中了解一些构造思路和技巧 ,同时也给最值问题的研究注入新的活力 .1　锁定范围 ,构造特例验证例 1　从正方体的棱和各个面上的对角线中选出ｋ条 ,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线 ,则ｋ的最大值为 (　　)(Ａ) 2 .　 (Ｂ) 3.　 (Ｃ) 4.　 (Ｄ) 6 .图 1　例 1图分析 :若存在 5条或5条以上满足…     

二次曲线约束下的取值范围题的统一解法

在各类教辅资料上,常常可见到下面的问题: 例1 已知x~2-4x+y~2+3=0, 1)求y/x的取值范围; 2)求y+3/x+1的取值范围;     

解析几何中参数范围的确定

解析几何中求参数的取值范围问题,由于涉及的变量多,知识面广,综合性强,所以它一直是解析几何的重点和难点,也是竞赛命题的热点。本讲主要介绍解析几何中求参数范围的一些常用方法。 1)数形结合法。根据方程表示曲线的几何特征,用数形结合确定参数的范围。     

变形代换是解题的最基本方法

变形代换的目的是为了简化问题，暴露条件与结论问的本质联系，它往往来自朴实自然的想法，平凡中见神奇，以下以《数学通报》上就近刊登的一些数学问题的另解为例说明（考虑到篇幅，原先的解（证）均省略）．     

平均值不等式的证明及其应用

n n n设 a1,a2,…,an为正数,若∏i＝1 ai ＝1或∑i＝1 ai ＝1,借助数学归纳法可相应地证明∑ai ≥ n或i＝1 n nn∏ai ≤1．这两个不等式可用于证明平均值不等式,并由此得出三者相互等价．实例说明平均值不等式在求数列极限方面的应用． i＝1     

含参数的无理方程或无理不等式的构造解法

解含参数的无理方程、不等式 ,我们希望把它转化为有理方程、不等式 ,故需分类讨论 ,平方去根号 ,讨论过程冗长繁琐 ,学生往往会顾此失彼 ,考虑不周 .近年来的高考题中 ,选择题、填空题等题型由于不要求写出解答过程 ,要求应用数形结合的思想 ,通过图形的启示与诱导 ,找到简捷的思路 ,快速、准确地做出判断 ,得到结果 .对于要求完整写出解答过程的主观性试题 ,由于其包含的知识量大 ,涉及的基本概念多 ,数形结合思想主要用于思路分析、化简运算及推理过程 .1　含参数的无理方程例 1　当ａ取何值时 ,关于ｘ的方程ａ(ａ - 2ｘ) =ｘ - 1有解 ?…     

变量代换法在常微分方程求解中的应用

本文总结归纳了常数代换法在常微分方程中的应用技巧,从而对常微分方程的求解方法进行了拓展.     

直线参数方程（Ⅱ）及应用

高级中学课本《解析几何》(必修)P118练习第2题是：已知一条直线上两点M1(x1,y1),M2(x2,y2),以分点M(x,y)分M1M2^——所成的比λ为参数,写出参数方程．     

导数的应用

1988年召开的第六届国际数学教育大会，把“问题解决、建模和应用”列人大会七个主要研究的课题之一，认为“问题解决、建模和应用必须成为从中学到大学所有学生的数学课程的一部分”．由此看来，数学建模与问题解决已成为国际数学教育中稳定的内容和热点之一．     

谈用向量法求二面角

二面角的求解是立体几何中大多数同学比较棘手的问题 ,新教材引入了空间向量的概念以后 ,便使这类问题变得思路明确 ,运算简单 ,下面列举几例加以说明 .1　不需作出二面角的平面角 ,直接依据二面角定义求解例 1　已知平行六面体ＡＢＣＤ—Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中 ,底面ＡＢＣＤ是边长为ｍ的正方形 ,侧棱ＡＡ1的长为ｎ ,且∠Ａ1ＡＢ =∠Ａ1ＡＤ =12 0° ,求二面角Ａ1—ＡＢ—Ｄ的余弦值 .(2 0 0 2年潍坊市高二期末统考题 )图 1　例 1图解　过Ａ1作Ａ1Ｅ⊥ＢＡ交ＢＡ的延长线于点Ｅ ,∵ＡＢＣＤ为正方形 ,∴ＡＤ⊥ＡＢ .则向量Ａ1Ｅ与ＤＡ所成的角的大…     

代换法求最值举例

当待解数学题,如果直接求解有困难时,往往需要引入一个或几个新＂元＂代换原问题中的＂元＂,使得以新＂元＂为基础的问题求解比较简单,容易达到解题目的,这种解决问题的方法,称为变量代换法.这种方法应用十分广泛,仅举例说明它在求最值中的应用.     

一个含参数根式不等式及其应用，

命题设ai∈R^＋，i=1，2，…，n，且n↑∑↓i=1 ai=k，λ〉0，μ≥o，则