如何确定离心率的范围

圆锥曲线的第二定义是:平面内动点M到定点F的距离和到一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹是圆锥曲线．当01时,动点M的轨迹是双曲线,当e=1时,动点M的轨迹是抛物线．求椭圆与双曲线离心率的范围是高考的一类题型．下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围．     

浅谈双曲线的定义及应用

课本指出 :平面内与两个定点F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数 (小于 |F1F2 |)的点的轨迹叫双曲线 ,这两个定点叫双曲线的焦点 .对此定义的理解时应注意以下三点 :1)注意点到两定点的距离差的绝对值是常数 ,且常数小于 |F1F2 |.没有绝对值 ,其轨迹只能是双曲线的一支 .2 )注意定义的可逆性 .若P是双曲线上一点 ,F1,F2 是焦点 ,则 |PF1|- |PF2 |为常数 .它表明双曲线上一点到两个定点的距离之差可转化为常数 ,可大大简化运算 .3)注意双曲线的定义与方程之间的对应关系 ,若动点到两定点的距离之差的绝对值为常数 (小于两定点的距离 ) ,…     

二次曲线离心率e与曲线形状的关系

我们知道,在平面上引入直角坐标系以后,取定一个点F,再取一定直线l(点F不在直线l上),如果动点P到定点F的距离与到定直线l的距离的比等于常数e(e叫离心率),则动点P的轨迹是二次曲线;当e<1、e=1或e>1时,曲线分别是椭圆、抛物线或双曲线,可见由于离心率e值的不同,三种曲线在形状上有较大的差异,现在我们很自然地提出     

圆锥曲线统一定义的应用

椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.它们表示到定点F和定直线l的距离的比是一个常数e的点M的轨迹.当01时,点M的轨迹是双曲线;当e=1时,点M的轨迹是抛物线.其中定点F叫做焦点;定直线l叫做准线;定比e叫做离心率.这样的     

浅谈椭圆的定义及应用

椭圆是圆锥曲线中的一种曲线 ,学好它对学好双曲线与抛物线有十分重要作用 .而椭圆的定义既是研究椭圆标准方程的基础 ,也是解题的重要依据 .为此本文对椭圆的定义急应用进行研究 ,供同学们学习时参考 .课本指出 :平面内与两个定点F1,F2 的距离和等于常数 (大于 |F1F2 | )的点的轨迹 ,叫椭圆 .在理解定义时应注意它的条件 :①定义中讲的是距离之和而不是距离差 ;②常数大于 |F1F2 | .这里应注意 ,当常数分别大于、等于、小于 |F1F2 |时 ,点的轨迹分别为椭圆、线段、不存在 ,这里渗透了分类思想 .在理解定义时 ,要注意定义的可逆性 :椭圆…     

圆锥曲线的另一分类标准

我们知道,平面内到定点F的距离与到定直线l(点F不在l上)的距离的比为常数e的点的轨迹为圆锥曲线,记为Γ,这里定点F为其焦点,定直线l为与F对应的准线,常数e为其离心率.根据离心率e的不同的取值范围,可以将Γ划分为椭圆、双曲线、抛物线三类:当0＜e＜1时,г为椭圆;当e＞1时,Γ为双曲线;当e=1时,Γ为抛物线.本文从圆锥曲线г在焦点弦端点处的两切线所成角的范围出发,给出圆锥曲线的另一个分类标准.     

椭圆的第二定义及其应用

<正>本文主要针对椭圆的第二定义的巩固及应用采撷几例与读者共切磋,望对大家有所帮助.一、椭圆的第二定义若平面内的动点M(x,y)到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=(a~2)/c距离的比是常数c/a(a>c>0),则点M的轨迹为椭圆,定直线l叫作椭圆的准线.注一般地,如果遇到动点到两个定点的     

“二次曲线”一章的教学体会

在新编高中课本第二册,二次曲线一章的教学中,我有如下的体会:教材先介绍椭圆定义,“动点到两定点的距离之和等于定值的点轨迹叫椭圆”.然后据此定义导出标准方程,后来安排一个例题:(即现行教材中的例4)点M(x,y)到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=a~2/c的距离的比是常数c/a(a>c>0),     

用圆锥曲线的统一定义求其标准方程

在人民教育出版社出版的《六年制重点中学高中数学课本》中把椭圆、双曲线、抛物线统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹。当01是双曲线;e=1     

圆锥曲线统一定义与统一方程中若干问题释疑

关于圆锥曲线统一定义与统一方程的教学设计,有些书刊已提出了较好的参考意见。但就教材以及一些数学资料中对此问题的理解却仍有必要探究与商榷,部分教师和很多学生出现的一些模糊看法也有必要澄清。 1.圆锥曲线统一定义的严密性高中数学教材重点中学甲种本《平面解析几何》第174页给出了椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的统一定义,即平面上“与一个定点(焦点(F))的距离和一条定直线(准线(l))的距离的比等于常数e的点的轨迹,当01是双曲线;e=1是抛物线。 (1)对抛物线来说,仅仅强调e=1是不够的,还应强调定点F一定不在定直线L上,     

平面内到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹一定是椭圆吗?

考察一道选择题.满足|z-1| |z 1|=1在复数Z在复平面内对应的点(A)轨迹是椭圆;(B)轨迹是双曲线;(C)轨迹是圆;(D)轨迹是一条线段;(E)轨迹不存在。 不少同学这样分析:根据复数的几何意义,方程|z-1| |z 1|表示动点到两个定点的距离之和等于常数。再根据椭圆的定义,该动点的轨迹是椭圆。故应选(A)。 其实,选(A)是错误的。 证明:(反证法)若(A)正确,那么椭圆的两焦点是F,     

正确理解和运用圆锥曲线的定义

对于椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线 ,既有椭圆、双曲线各自的定义 (第一定义 ) ,又有三种圆锥曲线的统一定义 (第二定义 ) ,正确理解和掌握这些定义是学好圆锥曲线的关健 .准确、灵活运用圆锥曲线定义解题不仅可以加深对定义的理解 ,还能起到事半功倍的作用 .1　求动点的轨迹及方程例 1　 1 )平面上到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是 (　　 )(Ａ)圆 .　　 (Ｂ)抛物线 .(Ｃ)直线 .　 (Ｄ)直线或抛物线 .2 )方程 (ｘ - 1 ) 2 + ｙ2 =|ｘ - ｙ + 3|对应点Ｐ(ｘ ,ｙ)的轨迹为 (　　 )(Ａ)椭圆 .　　 (Ｂ)双曲线 .(Ｃ)抛物线 .　 (Ｄ)两…     

由圆生成三种圆锥曲线

众所周知 ,三种圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线 )可以看成是平面内到定点和到定直线的距离之比为正常数e的动点轨迹 :当 0 1时为双曲线 ,有趣的是 ,在圆中 ,我们也可以通过适合某种条件的动点的轨迹来生成这三种圆锥曲线 ,有如下一个结论 .定理　给定圆O :x2 +y2 =r2 (r >0 ) ,A (a ,0 ) ,B (b ,0 ) (b≠0 ,b≠a)是x轴上的两个定点 ,P是圆O上的一个动点 ,Q是P在y轴上的射影 ,直线AP与BQ的交点为M ,则点M的轨迹 :( 1 )当 |a-b| =r时为抛物线 ;( 2 )当 |a -b| >r且b≠a2 -r22a 时为椭圆 ,当b =a…     

坐标变换推导双曲线标准方程

<正>平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.教材中给出的思路:设M(x,y)是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c>0),那么焦点F1、F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0).     

直线与椭圆、双曲线位置关系的一种新的判定方法

我们知道 ,针对圆的特殊几何性质 ,可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判定直线和圆的位置关系 .实际上 ,结合椭圆和双曲线的第一定义 ,直线和椭圆、双曲线的位置关系的判定也有类似的结论 .引理 1　平面上 ,两点 F1 、F2 在直线 l的同侧 ,点 F′1 和点 F1 关于直线 l成轴对称 ,点 P在直线 l上 ,则 | PF1 | + | PF2 |≥ | F′1 F2 | (如图 1) .(证明略 )图 1　　　　图 2定理 1　直线上一点到椭圆两焦点的距离的和的最小值( 1)小于长轴长 ,则直线与椭圆相交 ;( 2 )等于长轴长 ,则直线与椭圆相切 ;( 3 )大于长轴长 ,则直线与…     

由圆生成圆锥曲线

众所周知,圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)可以看成是平面内到定点和到定直线的距离之比为正常数e的动点轨迹:当01时为双曲线.有趣的是,在圆中,我们也可以通过适合某种条件的动点的轨迹来生成这三种圆锥曲线,有如     

浅谈椭圆、双曲线第二定义的教学

圆锥曲线的统一定义（与一个定点的距离和一条定直线距离的比等于常数的点的轨迹）是“圆锥曲线”这一章的核心．而椭圆、双曲线的第二定义是统一定义的重要组成部分，因此，处理好第二定义的教学，无论对沟通第一、第二定义的联系，从而加深学生对椭圆、双曲线本质属性的...     

一道易错题的解析

例题已知平面内有一定点A与一定直线l,点P是平面上的动点,且点P到l的距离比到点A的距离小2,则点P的轨迹是().(A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)无法确定许多同学都认为答案是(C),因为大家习惯上都会像图1那样在平面内任取一点P,然后将l向右平移2个单位,成为直线l′,则P就是到定点A与到定直线l′距离相等的点,根据定义,其轨迹是抛物线,这种解法看似无懈可击     

质疑"双曲线的第三种定义方法"

文[1]给出如下的"双曲线的第三种定义方法". 定义到两条相交定直线距离之积等于常数的点的轨迹叫双曲线,这两条定直线叫双曲线的渐近线.     

“有意差错”微型教学设计一例——兼谈对一道课本练习解答的修正

对于圆锥曲线的统一定义,人教社教材<高中数学>第二册(上)是分散在8.2、8.4、8.5三节给出的: (1)当点M与一个定点F的距离和它到一条定直线ι的距离的比是常数e(0相似文献