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命题 两个正数ａ、ｂ的几何平均数 ,等于这两个数的算术平均数与调和平均数的比例中项 .正数ａ和ｂ的三个平均数的意义 :几何平均数Ｇ =(ａｂ) 1 2 ,算术平均数Ａ =ａ ｂ2 ,调和平均数Ｈ =2ａｂａ ｂ.求证 :Ｇ2 =Ａ·Ｈ证明 画线段ＢＣ使ＢＣ =ＢＥ ＥＣ ,其中ＢＥ =ａ ,ＥＣ =ｂ .以ＢＣ为直径画半圆 ,设圆心为Ｏ ,过点Ｅ作ＢＣ的垂线交半圆于Ｄ ,连结ＯＤ ,过点Ｅ作ＥＦ ⊥ＯＤ ,垂足为Ｆ .如图所示 ;于是ＯＤ =ａ ｂ2 =Ａ ∵ＤＥ2 =ＢＥ·ＥＣ即ＤＥ =(ＢＥ·ＥＣ) 12 =(ａｂ) 1 2 =Ｇ ;由Ｒｔ△ＯＥＤ∽Ｒｔ△ＥＦＤ得ＤＦ∶ＥＤ… 相似文献
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《数学通报》2002,(5)
20 0 2年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 366 如图 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 是△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ外的两个旁切圆 ,Ｅ、Ｊ、Ｇ和Ｆ、Ｋ、Ｈ是切点 ,直线ＥＧ、ＦＨ交于Ｐ点 ,直线ＥＪ、ＦＫ交于Ｉ点 ,ＡＤ ⊥ＢＣ于Ｄ ,求证 :Ｐ、Ａ、Ｉ、Ｄ四点共线 .(江苏省苏州市第十中学 沈建平 2 1 5 0 0 6)证明 设ＢＣ=ａ ,ＣＡ=ｂ,ＡＢ =ｃ ,Ｒ是△ＡＢＣ外接圆半径 ,直线ＥＧ、ＡＤ交于Ｐ′ ,直线ＦＨ、ＡＤ交于Ｐ″,下面设法证明Ｐ、Ｐ′、Ｐ″是同一点 .因为ｃ+ＡＨ=ａ+ＣＦ ,所以ｃ + (ｂ-ＣＦ) =ａ +ＣＦ ,ＣＦ =ｂ+ｃ-ａ2 .在Ｒｔ△… 相似文献
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《数学通报》2002,(4)
20 0 2年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 361 如图 ,Ｃ为半圆上一点 ,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ ,ＡＢ为直径 ,Ｇ、Ｈ分别为 △ ＡＣＤ、△ ＢＣＤ的内心 ,过Ｇ、Ｈ作直线交ＡＣ、ＢＣ于Ｅ、Ｆ ,求证 :ＣＥ =ＣＦ .(安徽省肥西中学 刘运谊 2 31 2 0 0 )证明 连结ＤＧ并延长ＡＣ于Ｍ ,连结ＤＨ并延长ＣＢ于Ｎ ,再连结ＭＮ、ＡＧ、ＢＮ .因为ＣＤ⊥ＡＢ所以∠ＣＤＡ=∠ＣＤＢ =90°而Ｇ、Ｈ分别为 △ＡＣＤ、△ＢＣＤ的内心所以ＤＭ、ＤＮ分别是∠ＣＤＡ =∠ＣＤＢ的平分线所以∠ＭＤＣ =∠ＭＤＡ=∠ＮＤＣ =∠ＮＤＢ= 45°在 △ ＭＡＤ和… 相似文献
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20 0 1年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 96 ＡＣ是 ＡＢＣＤ较长的一条对角线 ,Ｏ为 ＡＢＣＤ内部一点 ,ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ ,ＯＦ⊥ＡＤ于Ｆ ,ＯＧ⊥ＡＣ于Ｇ .求证 :ＡＥ·ＡＢ ＡＦ·ＡＤ=ＡＧ·ＡＣ证明 不妨设Ｏ在△ＡＢＣ内 ,ＯＦ与ＯＣ交于Ｐ ,连结ＡＯ ,作ＢＭ ⊥ＡＯ ,ＢＬ⊥ＡＣ ,ＤＮ ⊥ＡＯ ,ＤＫ⊥ＡＣ ,ＣＱ ⊥ＡＯ ,Ｍ、Ｌ、Ｎ、Ｋ、Ｑ均为垂足 .∵Ｅ、Ｂ、Ｍ、Ｏ四点共圆∴ＡＥ·ＡＢ =ＡＯ·ＡＭ同理 ,ＡＦ·ＡＤ =ＡＮ·ＡＯ∴ＡＥ·ＡＢ ＡＦ·ＡＤ =ＡＯ· (ＡＭ ＡＮ)(1 )设∠ＤＡＣ =α ,∠ＣＡＢ =β ,∠… 相似文献
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《数学通报》2001,(11)
20 0 1年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 3 6 ⊙Ｏ中 ,直径ＡＢ垂直于非直径的弦ＣＤ ,弦ＡＥ与半径ＯＣ交于点Ｆ ,弦ＤＥ交弦ＢＣ于点Ｇ .求证 :ＦＧ∥ＡＢ .(四川省普格县荞窝农场子弟学校 王承宣 6 1 5 3 0 2 )证明 如图 ,连结ＢＤ、ＣＡ .∵ＡＢ ⊥ＣＤ ,∴ ＣＡ =ＤＡ ,ＣＢ=ＢＤ ,∴∠ＣＯＡ =∠ＣＢＤ ,又ＡＯ =ＣＯ ,∴∠ＡＣＦ =∠ＧＣＤ ,又∠ＥＡＯ=∠ＥＤＢ ,∠ＣＡＦ=∠ＣＤＥ ,∴△ＡＣＯ ∽△ＣＢＤ ,△ＡＯＦ∽△ＤＢＧ ,△ＡＣＦ∽△ＤＣＧ ,∴ ＣＦＣＧ =ＡＣＣＤ =ＡＯＢＤ =ＦＯＧＢ,即 ＣＦＦＯ =Ｃ… 相似文献
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20 0 3年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 6 Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ=90°,Ｄ、Ｅ为ＢＣ边上的两点 ,△ＡＤＥ的外接圆分别交边ＡＢ、ＡＣ于点Ｐ和Ｑ ,且ＢＰ +ＣＱ =ＰＱ ,求∠ＤＡＥ的度数 .(安徽省南陵县第二中学 金旗 2 42 40 0 )图 1引理 如图 1 ,梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＣＤ上两点 ,且ＡＥ=ＢＥ ,ＥＦ=12 (ＡＤ +ＢＣ) ,则有ＥＦ ∥ＢＣ .(该引理较易证明 ,略 )解 如图 2 ,过Ｐ点作ＰＦ ⊥ＡＢ ,ＰＦ交ＢＣ于Ｆ点 ,取ＰＱ的中点Ｏ ,连结ＯＥ ,ＰＥ .图 2因为ＡＢ =ＡＣ ,∠Ｂ… 相似文献
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四面体是空间较简单的几何体 ,笔者通图 1 命题 1图过将它与三角形进行类比 ,得到如下两个命题 .命题 1 如图 1 ,Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ分别是四面体Ａ ＢＣＤ棱ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ ,ＤＡ上的点 ,则Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ四点共面的充要条件是ＡＥＥＢ·ＢＦＦＣ·ＣＧＧＤ·ＤＨＨＡ=1 .证 先证充分性 .分两种情况 : 1 )当ＥＦ∥ＡＣ时 ,有 ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ.由 ＡＥＥＢ·ＢＦＦＣ·ＣＧＧＤ·ＤＨＨＡ=1知ＣＧＧＤ=ＨＡＨＤ.∴ＨＧ∥ＡＣ .∴ＥＦ∥ＨＧ .∴Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ四点共面 .2 )当ＥＦ∥\ＡＣ时 ,设直线ＥＦ与直线ＡＣ相交于点Ｐ ,连结Ｐ… 相似文献
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已知ＡＤ与ＢＣ交于Ｅ ,ＡＣ∥ＦＥ∥ＢＤ .(图一 )求证 :1ＡＣ 1ＢＤ =1ＦＥ.图一这是一个常见的几何题 ,它有较为丰富的潜能 .若对它进行开发 ,以用于初三复习或第二课堂教学 .则在培养学生的探究能力方面将收到事半功倍的教学效果 .下面本文在原条件不变及尽量不加新线段 (若加 ,则要求所得的结论能以原题结论引出 )的基础上大略地谈谈对本题的 (初步 )开发 .(主要结论都在波浪线上 ) .1 若ＡＣ =ＢＤ且ＡＣ ⊥ＡＢ ,由ＡＣ∥ＦＥ∥ＢＤ知△ＡＣＢ △ＢＤＡ ,从而有ＡＤ =ＢＣ .还可以得到ＡＥ =12 ＢＣ(ＢＥ =12 ＡＤ) .易知又有ＡＥ =… 相似文献
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20 0 1年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 4 1 锐角三角形ＡＢＣ中有内接△ＤＥＦ ,且ＦＤ⊥ＢＣ于Ｄ ,ＤＥ ⊥ＡＣ于Ｅ ,ＥＦ ⊥ＡＢ于Ｆ ,求证 :Ｓ△ＡＢＣ ≥ 3Ｓ△ＤＥＦ.(武汉华中理工大学西十四舍 5号 黄元兵 43 0 0 74)证 △ＡＢＣ三边分别与△ＤＥＦ三边垂直 ,又△ＡＢＣ为锐角三角形 ,有∠Ａ =∠ＤＥＦ ,∠Ｂ =∠ＥＦＤ ,∠Ｃ =∠ＦＤＥ即有△ＡＢＣ ∽△ＤＥＦ .又公比ｑ=ＢＣＤＦ =ＢＤＤＦ ＣＤＤＦ=ｃｏｔＢ ＤＥＤＦｓｉｎＣ=ｃｏｔＢ ｓｉｎＢｓｉｎＡｓｉｎＣ =ｃｏｔＢ ｓｉｎ(Ａ Ｃ)ｓｉｎＡｓｉｎＣ=… 相似文献
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如图 1,把矩形纸片ＡＢＣＤ的顶点Ｃ与Ａ重合折叠 ,折痕ＥＦ交对角线ＡＣ于点Ｏ .请根据上述条件 ,写出一个正确的结论 ,并给予计算或证明 .这是一道结论开放型折纸题 .根据轴对称图形的性质和矩形的性质 ,通过对图形进行观察、思考和推理 ,可以得出数条结论 ,这里给出其中常用的几条 ,供读者参考 .( 1)Ｒｔ△ＡＢＦ≌△Ｒｔ△ＣＤＥ≌Ｒｔ△ＡＧＥ ;( 2 )四边形ＡＦＣＥ是菱形 ;( 3 )折痕ＥＦ与对角线ＡＣ互相垂直平分 ;( 4)Ｒｔ△ＣＯＦ∽Ｒｔ△ＣＢＡ ;( 5)Ｓ梯形ＡＢＦＥ=Ｓ梯形ＣＤＥＦ=Ｓ梯形ＡＧＥＦ.上述结论的计算或证明留给读者完… 相似文献
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我们熟知的体积计算公式只有柱、锥、台、球这四种几何体 .而对于这四种几何体以外的几何体我们暂且称为不规则几何体 .图 1本文以一例介绍如何使用割补法 ,将不规则几何体转化为规则几何体 .题目 如图 1,已知多面体ＡＢＣ ＤＥＦＧ中 ,ＡＢ、ＡＣ、ＡＤ两两互相垂直 ,平面ＡＢＣ∥平面ＤＥＦＧ ,平面ＢＥＦ∥平面ＡＤＧＣ ,ＡＢ =ＡＤ =ＤＧ =2 ,ＡＣ =ＥＦ =1,则该多面体的体积为 ( ) .(Ａ) 2 (Ｂ) 4 (Ｃ) 6 (Ｄ) 8一、利用切割转化成规则几何体图 2解法一 作ＡＫ∥ＣＧ交ＤＧ于Ｋ ,(如图2 )连结ＦＫ .易证几何体ＡＤＫ ＢＥ… 相似文献
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在三角形 ,有以下一个有趣的命题 :命题 设Ｅ、Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ上的两点 ,记 ＢＥＥＣ =α1 、ＢＦＦＣ =α2 ,且 0 <α1 <α2 ,若任一直线分别与ＡＢ、ＡＥ、ＡＦ、ＡＣ或其延长线交于点Ｍ、Ｇ、Ｈ、Ｄ ,则不论直线的位置如何 ,总有 ＧＨＭＤ ≤α2 - α1α2 α1.为使证明简洁明了 ,首先给出如下引理 :引理 设Ｅ、Ｄ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ上的两点 ,记 ＢＥＥＣ =α、ＣＤＤＡ =β ,ＢＤ与ＡＥ交于点Ｇ ,则 ＢＧＧＤ =α(1 β) .证明 如图 1所示 ,在△ＢＣＤ中 ,由梅涅劳斯 (Ｍｅｎｅｌａｕｓ)定理得 ＢＥＥＣ· Ｃ… 相似文献
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应用九年义务教材初中《几何》第二册第 2 5 5页第1 7题“过△ＡＢＣ的顶点Ｃ任作一直线 ,与边ＡＢ及中线ＡＤ分别交于点Ｆ和Ｅ ,求证 :ＡＥ∶ＥＤ =2ＡＦ∶ＦＢ”(图 1 ,图 2 )可巧解一类有趣的几何连比问题例 1 如图 3 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＤ是中线 ,Ｅ在ＡＣ上 ,Ｆ在ＡＢ上 ,且ＡＥ∶ＥＣ =5∶4,ＡＦ∶ＦＢ =2∶3 .又ＣＦ ,ＢＥ分别交ＡＤ于Ｇ ,Ｈ ,则ＡＧ∶ＧＨ∶ＨＤ =.解 :设ＡＧ =ｘ ,ＧＨ =ｙ,ＨＤ =ｚ ,则由课本习题结论得 ｘｙ +ｚ=2ＡＦＦＢ =2× 23 =43 ,ｘ +ｙｚ =2ＡＥＥＣ =2× 54=52 .化简得 3ｘ -4ｙ =4ｚ ,2ｘ +2 ｙ =5ｚ .… 相似文献
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关于几何恒等式有好多 ,不胜枚举 .今介绍如下一个几何恒等式 ,并给出它的应用 .定理 1 设△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ上的高分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,Ｐ为△ＡＢＣ内部的任意一点 ,过Ｐ向三边作垂线段ＰＤ =ｒａ,ＰＥ=ｒｂ,ＰＦ =ｒｃ,若设△ＡＢＣ、△ＤＥＦ的面积为△与△′ ,则有 4△△′ =ｒａｒｂｈａｈｂ ｒｂｒｃｈｂｈｃ ｒｃｒａｈｃｈａ. ( 1)证明 如图 1,因为ＰＤ⊥ＢＣ ,ＰＥ ⊥ＣＡ ,ＰＦ ⊥ＡＢ ,故 ∠Ａ ∠ＥＰＦ =π ,∠Ｂ ∠ＦＰＤ =π ,∠Ｃ ∠ＤＰＥ =π .由三角形的面积公式可得 △′ =Ｓ△ＥＰＦ Ｓ△ＦＰＤ … 相似文献
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20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是一道平面几何题 ,题目如下 :图 1 三角形如图 1,△ＡＢＣ中 ,Ｏ为外心 ,三条高ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,直线ＥＤ和ＡＢ交于点Ｍ ,ＦＤ和ＡＣ交于点Ｎ .求证 :1)ＯＢ⊥ＤＦ ,ＯＣ⊥ＤＥ ;2 )ＯＨ⊥ＭＮ .本文将从不同的角度给出它的几种不同的证明方法 .证法 1 (直接法 ) 1)由题意知 ,Ａ ,Ｃ ,Ｄ ,Ｆ四点共圆 ,∴∠ＢＤＦ =∠ＢＡＣ .又∵Ｏ为外心 ,∴∠ＢＯＣ =2∠ＢＡＣ ,∠ＯＢＣ =∠ＯＣＢ ,∴∠ＯＢＣ =12 (180° -∠ＢＯＣ)=90° -∠ＢＡＣ .∴∠ＯＢＣ +∠ＢＤＦ =90°,∴ＯＢ⊥ＤＦ .同… 相似文献
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四面体是空间里较为简单的几何体 ,笔者通过将它与三角形的有关性质进行类比 ,得到一个有价值的结论 .定理 四面体Ａ -ＢＣＤ中 ,Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ分别在棱ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ ,ＤＡ上 ,且 ＡＥＥＢ =λ1,ＢＦＦＣ =λ2 ,ＣＧＧＤ =λ3,ＤＨＨＡ =λ4 .则内接四面体ＥＦＧＨ的体积ＶＥＦＧＨ =｜λ1·λ2 ·λ3·λ4 -1｜(1 +λ1) (1 +λ2 ) (1 +λ3) (1 +λ4 ) ＶＡＢＣＤ证明 如图 1 ,连结ＥＤ ,ＢＧ ,得四棱锥Ｅ -ＦＢＤＧ ,Ｇ-ＥＢＤＨ ,在△ＣＢＤ ,△ＡＢＤ中 ,ＳＣＦＧＳＣＢＤ =ＣＦ·ＣＧＣＢ·ＣＤ =11 +λ2 · λ31 +λ3=λ3(1 +λ… 相似文献
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用三角法研究几何竞赛题,常可使题中各量之间的关系变得直接明了;可把几何变换和复杂的演绎推理转化为三角函数的运算,方法简单,思路清晰.沟通几何与三角的关系,除了直接利用三角函数的定义和有关的三角公式外,主要借助于正弦定理和余弦定理.例1 (1996年全国高中联赛试题)⊙Ｏ1与⊙Ｏ2和△ＡＢＣ的三边所在的三条直线都相切,Ｅ,Ｆ,Ｇ,Ｈ为切点,并且ＥＧ,ＦＨ的延长线交于Ｐ点.求证:ＰＡ⊥ＢＣ.证 如图1,延长ＰＡ交ＢＣ于Ｄ,连Ｏ1Ａ,Ｏ1Ｅ,Ｏ1Ｇ,Ｏ2Ａ,Ｏ2Ｆ,Ｏ2Ｈ,则ＥＤＤＦ=Ｓ△ＰＥＤＳ△ＰＦＤ=ＰＥｓｉｎ∠1ＰＦｓｉｎ∠2.在△ＰＥＦ… 相似文献
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浅谈平行弦在证题中的作用 总被引：1，自引：1，他引：0
在圆中 ,由于借助平行法可以传递同圆中的弧 ,弦及圆周角等有关几何量之间的数量关系 ,因而在解决一些与平行弦有关的几何命题时 ,往往可以通过构造平行弦而获得证题思路 ,效果十分明显 ,下面分类举例说明平行弦在证题中的应用 .供读者参考 .1 证弧的倍分关系例 1 已知 :如图 ,ＡＢ是⊙ｏ的直径 ,ＯＣ ⊥ＡＢ ,在ＡＣ⌒ 上取一点Ｄ ,过Ｄ作弦ＤＥ交ＯＣ于点Ｆ ,且ＤＦ=ＯＤ ,求证 :ＢＥ⌒ =3ＡＤ⌒ .证明 过Ｄ作ＤＧ∥ＡＢ交⊙ｏ于Ｇ ,连结ＯＥ、ＯＧ .因ＤＧ ∥ＡＢ ,故ＡＤ⌒ =ＢＧ⌒故∠ＡＯＤ =∠ＢＯＧ 又因ＤＧ∥ＡＢ ,故∠ＡＯ… 相似文献
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题 3 3 如图 1 ,设甲楼座落在正南正北方向 ,楼高ＡＢ =1 6ｍ ,又要在甲楼的后面盖一座乙楼ＣＤ .已知冬天太阳最低时的高度为3 2° ,问 :1 )若两楼相距ＢＤ =2 0ｍ ,则甲楼的影子落在乙楼上有多高 ?2 )如果甲楼的影子不会落在乙楼上 ,那么两楼之间的距离ＢＤ至少是多少米 ?图 1 题 33图解 1 )如图 1所示 ,过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＢ ,垂足为Ｆ .在△ＡＥＦ中 ,∠ＡＥＦ =3 2°,∠ＡＦＥ =90° ,ＥＦ=ＢＤ =2 0ｍ ,所以ＡＦ =2 0ｔｇ3 2°≈1 2 .5(米 ) ,ＥＤ =1 6- 1 2 .5=3 .5(米 ) .即甲楼的影子落在乙楼上有 3 .5米高 .2 )在Ｒｔ△ＡＢＤ中… 相似文献
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20 0 1年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 30 1 正方体ＡＢＣＤ—Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1 中 ,Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是棱ＡＢ、ＣＣ1 、Ｄ1 Ａ1 的中点 ,如图 .若ＡＢ=1 ,(1 )证明Ｂ1 Ｄ ⊥平面ＥＦＧ ;(2 )求平面ＥＦＧ与平面ＡＢＣＤ所成的锐二面角 ;(3)求Ａ1 到平面ＥＦＧ的距离 .(湖北天门市皂市高级中学 李德钦 431 70 3)解 (1 ) 连ＤＥ与Ｂ1 Ｅ ,依题意 ,ＤＥ=Ｂ1 Ｅ=52 ,则Ｅ在线段Ｂ1 Ｄ的中垂面上 ;同理 ,Ｆ、Ｇ也在Ｂ1 Ｄ的中垂面上 .而Ｅ、Ｆ、Ｇ不在同一直线上 ,它们确定的平面是唯一的 .所以Ｂ1 Ｄ ⊥平面ＥＦＧ .(2 )由Ｂ1 Ｄ… 相似文献