解集合题时你注意到空集θ的性质了吗?

对于空集合 ,有如下性质 :1) ∈ { } ; { } ;2 )空集是任何集合的子集 ,即 Ａ ;3)对任意集合Ａ ,皆有Ａ∩ = ;4)对任意集合Ａ ,皆有Ａ∪ =Ａ .在解题时若忽视这些就会出错 .例 1　设Ａ∩Ｂ = ,Ｍ ={ｍ |ｍ为Ａ的子集 } ,Ｎ ={ｎ|ｎ为Ｂ的子集 } ,那么(　　 )(Ａ)Ｍ∩Ｎ = .(Ｂ)Ｍ∩Ｎ ={ } .(Ｃ)Ｍ∩Ｎ =Ａ∩Ｂ .(Ｄ)Ｍ∩Ｎ Ａ∩Ｂ .错解　因为Ａ∩Ｂ = ,所以集合Ｍ ,Ｎ中不可能有公共元素 ,因而Ｍ∩Ｂ = ,故选 (Ａ) .辨析　由于Ａ ,Ｂ的子集中均有 ,即 Ａ , Ｂ ,但Ａ∩Ｂ = ,所以Ｍ∩Ｎ= { } ,注意 { }不是空集 ,而是含有…     

高一数学测试题（集合与命题）（90分钟）

一、填空题1 .设U ={x|0≤x <6 ,x∈Z} ,A ={ 1 ,3 ,5} ,则CuA =2 .用描述法表示所有非负奇数组成的集合 :3.用列举法表示集合A =x 6x+2 ∈Z,x∈N :4.写出方程x2 -x +1 =0的实根组成的集合5.已知集合A ={x|x∈R ,x≠ 1 } ,集合B ={x|x>- 1 ,x∈R} ,则A∪B =6.已知集合U =R ,A ={x|x≥ - 2 } ,B ={x|x≥4} ,则A∩CuB =7.如果x∈R ,那么数集 {x,x2 +3x}中x的取值范围是8.写出命题“若x2 +y2 =0 ,则x、y全为 0”的逆否命题 :9.写出“x>y”的一个必要不充分条件 :1 0 .向 48名学生调查对A、B两件事的态度 ,结果如下 :赞成A有 30人举手…     

集合问题的五类常见错误

集合问题,由于其概念抽象、题型多样、解法灵活,同学们解题时常常出错甚至感到茫然.本文试就集合学习中的几个易错问题作一归纳并加以剖析.一、误解了元素构成例1设集合A={(x,y)|2x y=4},B={(x,y)|3x 2y=7},求A∩B.误解1:由32xx 2yy==47得yx==21,∴A∩B={1,2}误解2:同上得xy==21,∴A∩B={x=1,y=2}剖析:A∩B中的元素是一个实数对,它是单元素集合.而{1,2}表示的是由两个实数组成的集合,{x=1,y=2}表示的是两个方程组成的集合.误解原因是没弄清A∩B中的元素构成.本题的正解结果为{(1,2)}.例2设集合A={y|y=x2 2x 1,x∈R},B={y|y=x2-2x,x∈…     

双重随机向量序列模型的平稳解

设(Ω,(?),P)为一概率空间,I={0,±1,…}。{U_t,t∈I}为定义在(Ω,(?),P)上的p维独立白噪声,EU_t=0,EU_tU_s~t=S,{φ_t,t∈I}为定义在同一概率空间上的任一p×p随机矩阵列。则称满足     

“Ф”的备忘录

上高一见到“ ” ,就像小学一年级见到“0” ,那以后多少次与“0”相遇 ,多少次因“0”马失前蹄 ,今天又多少次与“ ”相遇 ,又多少次因“ ”功败垂成 .为避免重蹈覆辙 ,特书“ ”的备忘录 .按定义 :“把不含任何元素的集合叫做空集” .不少同学以为“空集”就是空的 ,空的就是没有 ,以为 { } = .事实上 :1 .空集是没有 (即不含 )任何元素的集合 ,这里没有的是元素 ,而不是没有集合 ;2 .“空集”本身不是“没有”而是“有” ,正是这个“有”常常被我们忽视 .如集合 { }就是表示含有空集 这个元素的集合 ,即 ∈ { }而不是 { } = ;3…     

争鸣

问　题　　问题 1 2 　在高中新教材《数学》第一册 (上 )教参第 5页中 ,教参要求不必让学生去辨析 { }与 的关系 ,但在实际数学中 ,我们发现学生由于对空集 感兴趣 ,因而对 { }与 的关系免不了进行讨论 ,并求助于老师 ,现有三种观点 :观点 1　认为 是 { }的元素 ,即 ∈ { } ,因为 { }中含有 ,这里应将 看作一个符号 ,而不能视 为空集 .观点 2　认为 是 { }的子集 ,即 { } ,因为 是教材规定的表示空集的专用符号 ,而不宜将 视作一个毫无意义的纯粹符号 ,既然 表示空集 ,那么 与 { }只应是集合与集合之间的关系 .观点 …     

集合“交替和”的探求

在“2005年地方联考题”中有这样一题:对于集合N={1,2,…,n}及它的每一个非空子集,定义一个“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子集元素,然后从最大数开始交替地减、加后继的数,例如集合{1,2,4,6,9}的“交替和”是9-6 4-2 1=6,集合{5}的“交替和”为5,当集合N中的n=2时集     

有限集合的子集族问题分类解析

将有限集合中符合某一特性的所有子集合,称之为有限集合的子集族.在各类集合问题中,与子集族相关的问题是其中极为重要的一类.这类问题题型新颖,解答灵活,给同学们的学习造成了一定的困难.本文拟对这类问题分类进行解析.1.求有限定条件的子集个数例1(03希望杯高一竞赛题)集合S={1,2,3,4,5,6},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1A,且x 1A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S中无“孤立元素”的4元子集族中子集的个数是.解4个元素为连续自然数的子集有{1,2,3,4},{2,3,4,5},{3,4,5,6},共3个,不都连续的子集有{1,2,4,5},{1,2,5,6},{2,3,5,6},共…     

广义Lipschitz伪压缩映射黏滞迭代逼近方法的强收敛

K是Banach空间E的一个非空闭凸子集,T:K→K是一个广义Lipschitz伪压缩映射.对Lipschitz强伪压缩映射f:K→K和x_1∈K,序列{x_n}由下式定义:x_n+1=(1-α_n-β_n)x_n+α_nf(x_n)+β_nTx_n.在{α_n}与{β_n}满足合适条件的情况下,每当{z∈K;μ_n‖x_n-z‖~2=inf_(y∈K)μ_n‖x_n-y‖~2}∩F(T)≠φ时,{x_n}强收敛到T的某个不动点x~*.     

例谈子集个数公式及其应用

<正>子集和真子集的个数是集合之间关系的一个知识点,为了帮助低年级的同学们更好地掌握这一知识,现介绍如下:1子集个数公式的推导不含任何元素的空集?,其子集为自身?,共有1个子集;含有1个元素的集合{a_1},其子集除?外,还有在?中,加元素a_1的集合{a_1},共有2个子集;含有2个元素的集合{a_1,a_2},其子集除?,{a_1}外,还有在这2个子集中,加元素a_2的2个子集:{a_2},{a_2,a_2},共有2 × 2=2²个子集;     

高一数学同步思考题

幂函数、指数函数和对数函数　　选择题1　定义Ａ -Ｂ ={ｘ|ｘ∈Ａ且ｘ Ｂ} ,若Ｉ =Ｎ ,Ｍ={ 1,2 ,3,4 ,5} ,Ｎ ={ 2 ,3,6 } ,则Ｎ -Ｍ =(　　 )(Ａ)Ｍ .　 (Ｂ)Ｎ .　 (Ｃ) { 1,4 ,5} .　 (Ｄ) { 6 } .2　已知集合Ｍ ={ａ ,ｂ ,ｃ}中的三个元素可构成某一个△ＡＢＣ的三边长 ,那么△ＡＢＣ一定不是(　　 )(Ａ)直角三角形 .　 (Ｂ)锐角三角形 .(Ｃ)钝角三角形 .　 (Ｄ)等腰三角形 .3　使不等式ｘ2 - 2 |ｘ|- 15>0成立的负值ｘ的范围是 (　　 )(Ａ)ｘ <- 3.　 (Ｂ)ｘ <0 .(Ｃ)ｘ <- 5.　 (Ｄ) - 5<ｘ <- 3.4　从集合 {ａ ,ｂ}到集合 {ｃ,ｄ …     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1　设Ａ ={ｚ1,ｚ2 ,… ,ｚｎ}是ｎ(ｎ≥ 2 )个不同的复数构成的集合 .已知对于任意的ｉ∈ { 1,2 ,… ,ｎ} ,有{ｚｉｚ1,ｚｉｚ2 ,… ,ｚｉｚｎ} =Ａ (1)1)求证 |ｚｉ| =1,ｉ=1,2 ,… ,ｎ ;2 )证明若ｚ∈Ａ ,则 ｚ∈Ａ .证　 1)对于 1≤ｉ≤ｎ ,由 (1)知∏ｎｊ=1ｚｉｚｊ=∏ｎｊ=1ｚｊ∴ｚｎｉ ∏ｎｊ=1ｚｊ =∏ｎｊ=1ｚｊ (2 )若有一个 ｊ∈ { 1,2 ,… ,ｎ} ,使得ｚｊ=0 ,则{ｚｊｚ1,ｚｊｚ2 ,… ,ｚｊｚｎ} ={ 0 }≠Ａ ,矛盾 .所以对于任意的 ｊ∈ { 1,2 ,… ,ｎ} ,有ｚｊ≠ 0 ,∴∏ｎｊ=1ｚｊ≠ 0 .由 (2 )得 ,ｚｎｉ=1,∴ |ｚｉ| =1,ｉ…     

A∩B与A∪B的应用

Ａ∩Ｂ指集合Ａ与Ｂ的公共元素组成的集合 .若Ａ∩Ｂ =Ａ则说明Ａ Ｂ(即Ａ是Ｂ的子集 ) .Ａ∪Ｂ指所有属于Ａ或属于Ｂ的元素所组成的集合 .若Ａ∪Ｂ =Ａ则说明Ｂ Ａ(即Ｂ是Ａ的子集 ) .现举例说明其应用 .例 1　已知集合Ａ ={ｘ|2ｘ2 -ａｘ ｂ =0 },Ｂ ={ｘ|6ｘ2 (ａ 2 )ｘ 5 ｂ =0 },且Ａ∩Ｂ ={12 },求Ａ∪Ｂ .分析 :由Ａ∩Ｂ ={12 }知 12 ∈Ａ且 12 ∈Ｂ ,这就是说 12 既是方程 2ｘ2 -ａｘ ｂ =0的解 ,也是方程6ｘ2 (ａ 2 )ｘ 5 ｂ =0的解 ,故2× 14 - 12 ａ ｂ =0 ,6× 14 ａ 22 5 ｂ =0 ,解得 ａ =- 7,ｂ =- 4,代入原方…     

局部凸空间中弱收敛网的几个性质

设X是Hausdorff局部凸线性拓扑空间,{s_n|n∈D}是X中的网,其中D是一定向集.定理1 设{x_n|n∈D}有W-lims_n=s_0,s_0∈X,则对于s_0的任一邻域σ,存在{s_n|n∈D}的某有限的凸组合sum from j=1 to m a_js_(nj)属于σ,其中a_j≥0,sum from j=1 to m a_j=1.定理2 设{s_n|n∈0}是x中的Cauchy网,且W-lims_n=s_0,则S—lims_n=s_0.定义局部凸线性拓扑空间中的任何一个平衡且吸收的凸闭集称为桶(Barred),若X中的每一个桶均为0的一个邻域,则称X为桶空间.     

高一数学同步训练题

内容 :1.代数 :集合、映射与函数 ;　 2 .立体几何 :平面 ,空间两直线 .　　选择题1　已知全集Ｉ ={ 1,2 ,3 ,4,5 } ,Ａ∩Ｂ ={ 2 } ,Ａ∩Ｂ ={ 1,4} ,则Ｂ等于 (　　 )(Ａ) { 3} .　　　 (Ｂ) { 5 } .(Ｃ) { 1,2 ,4} .(Ｄ) { 3 ,5 } .2　设集合Ｍ ={ 1999,2 0 0 0 ,2 0 0 1} ,Ｎ ={ｘ|ｘ∈Ｍ } ,则Ｍ与Ｎ的关系是 (　　 )(Ａ)Ｍ =Ｎ .(Ｂ)Ｍ Ｎ .(Ｃ)Ｍ Ｎ .(Ｄ)Ｍ∩Ｎ = .3　三个平面最多可把空间分成 (　　 )(Ａ) 4个部分 .(Ｂ) 6个部分 .(Ｃ) 7个部分 .(Ｄ) 8个部分 .4　已知ａ ,ｂ是异面直线 ,直线ｃ平行于直线ａ ,那么ｃ与ｂ (　　 …     

高中课标数学1使用过程中学生典型的困惑

本文是笔者在使用人教版高中课标数学1A版所进行的教学实践中学生典型的困惑纪要.1针对“把集合的元素一一列举出来”,某学生提出,是否每个元素都要写出?2针对“所有奇数的集合E={x∈Z|x=2k 1,k∈Z}”,某生提出,集合Z比集合E“大”,为什么Z在E内,集合E反而比集合Z“小”?集合的“范围”是否随着“分隔符”后面的条件越来越多而变得越来越小?3针对“{x|x是两条边相等的三角形}”,某生提出,x是实数,怎么又是三角形?4针对“把不含任何元素的集合叫做空集”,某生提出,空集里没有元素,既然没有元素,为什么还要定义为集合?5针对“空集是任何…     

警惕解题中的遗漏

解题时 ,只把注意力放在一般情形上而遗漏了特殊情形通常会造成答案不完备 .现将遗漏特殊情形出现解答不完整的部分典型例题曝光如下 ,以期引起同学们注意 .例 1　已知ｘ∈Ｒ ,集合Ａ ={ｘ|ｘ2 -3ｘ 2 =0 },Ｂ ={ｘ|ｘ2 -ｍｘ 2 =0 },若Ａ∩Ｂ =Ｂ ,求实数ｍ的取值范围 .解　Ａ ={1,2 },由于Ａ∩Ｂ =Ｂ ,则Ｂ Ａ ,∴Ｂ ={1}或Ｂ ={2 }或Ｂ ={1,2 },∴ｍ =3 .评析　以上解答遗漏了“空集是任何集合的子集” ,特殊情形Ｂ = 亦符合条件 .完整解答应补充Δ =ｍ2 -8<0 ,即-2 2 <ｍ <2 2 .　　∴ｍ的取值范围是 ( -2 2 ,2 2 )∪ {3 }.例 2　在等…     

谈一类极值问题的解法

本文将利用集合的子集类的思想去解决一类较为复杂的极值问题 .为此我们引入以下的概念和定理 .设Ａ是一个非空有限集 ,集合Ａ的元素个数称为集合Ａ的阶 ,记作｜Ａ｜ .当｜Ａ｜=ｎ ,称Ａ是一个ｎ阶集 .对于一个集合Ａ的一个子集类 {Ａ1,Ａ2 ,… ,Ａｋ},若对任何二个子集Ａｉ,Ａｊ(ｉ≠ｊ)都有Ａｉ Ａｊ,Ａｊ Ａｉ,则称这个类是互不包含的子集类 .对这种子集类我们有定理　有一个ｎ(ｎ≥ 1 )阶集合Ａ的一切互不包含的子集类中 ,子集个数最多的类含有Ｃｎ2ｎ个子集 ,其中 ｎ2 表示不超过 ｎ2 的最大整数 .证明　记 {Ａ1,Ａ2 ,… ,Ａｋ}为Ａ的…     

对一道2014年江苏预赛试题的推广

题（2014年江苏预赛第9题）设集合S={1,2,…,8｜,A,B是S的两个非空子集,且A中的最大数小于B中的最小数,则这样的集合对（A,B）的个数是．解当A中最大数为1时,A有2^0个,B可以是集合（2,3,…,8}任意非空子集,有2^7-1个;当A中最大数为2时,集合{1}的子集有2^1个,所以A有2^1个,B可以是集合{3,4,…,8}的任意非空子集,有2^6-1个。     

集合“交替和”的探求

在“2005年地方联考题”中有这样一题：对于集合N={1，2，…，n}及它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集元素，然后从最大数开始交替地减、加后继的数，例如集合{1，2，4，6，9}的“交替和”是9-6＋4-2＋1=6，集合{5}的“交替和”为5，