解析几何中参数范围的确定

解析几何中求参数的取值范围问题,由于涉及的变量多,知识面广,综合性强,所以它一直是解析几何的重点和难点,也是竞赛命题的热点。本讲主要介绍解析几何中求参数范围的一些常用方法。 1)数形结合法。根据方程表示曲线的几何特征,用数形结合确定参数的范围。     

例说简单无理方程中参数取值范围的求法

无理方程的求解 ,既要考虑如何把问题转化成“有理”的 ,又要考虑根式有意义的条件 ,因而求解的难度较大 ,若是方程中出现参数问题就变得更加复杂 .这里通过两个例题的评析 ,介绍几种求解简单无理方程中参数取值范围的方法 .例 1　若方程 2ｘ 1=ｘ ａ有两个不同的实数根 ,求满足条件的ａ的取值范围 .思考 1　能否去掉根号 ?于是想到两边平方 ,同时注意到根式要有意义 .因此 ,有下面解法 1所示的控制增根的方法 .解法 1　原方程两边平方得2ｘ 1=(ｘ ａ) 2 (1)即ｘ2 (2ａ - 2 )ｘ ａ2 - 1=0 .Δ =(2ａ - 2 ) 2 - 4 (ａ2 - 1) >0 ,解得ａ…     

求动点轨迹的方法与技巧

求动点轨迹的基本方法主要有以下几种 :1)直译法 .如果动点满足的条件是一些几何量的等量关系 ,则只需直接将动点的坐标代入 ,便可得到动点的轨迹方程 .2 )定义法 .如果动点的轨迹是某种确定的曲线 ,则可根据该曲线的定义建立其方程 .3)转移法 .如果动点P随着另一动点Q的运动而运动 ,且Q点在某一已知曲线上运动 ,那么只需将Q点的坐标用P点的坐标来表示 ,并代入已知曲线方程 ,便可得到P点的轨迹方程 .4 )交轨法 .如果动点P是某两条动曲线的交点 ,则可联立这两条曲线的方程 ,并消去其中的参数 ,便可得到P点的轨迹方程 .5 )参数法 .如果动…     

略述一类求参数取值范围问题的共同解法--兼论数学教师在教与学活动中的主体地位

考察这样的问题 :已知函数ｙ=ｘ-ａ的图象与其反函数的图象有公共点 ,求实数ａ的取值范围 .避开具体教法不谈 ,樊老师在文 [1 ]中引导学生得到下面一种解法 ,这就是ｙ=ｘ-ａ(ｘ≥ａ)在 [ａ ,+∞ )上是增函数 ,它有反函数因为如果ｙ=ｆ(ｘ)单调增 ,且ｙ =ｆ(ｘ)与ｙ=ｆ- 1 (ｘ)有公共点 (ａ ,ｂ) ,那么ａ =ｂ所以已知函数ｙ=ｘ-ａ 的图象与其反函数的图象有公共点 ,则该公共点必在直线ｙ=ｘ上 .所以 ｙ=ｘ-ａｙ=ｘ 　 ｘ2 =ｘ-ａ有解 Δ ≥ 0 .从而ａ≤ 14.本人以为 ,这样做没有揭示出问题的本质特征 .试问 :若函数ｙ=ａ-ｘ的图象与其反函…     

一类求取值范围问题的解法

1问题及其解法对于“设x,y为实数,且Ax2 Bxy Cy2=D(1),求S=ux2 vxy wy2(2)的取值范围(其中A、B、C、D、u、v、w为常数,且D≠0)”一类问题的求解,常出现在各类数学考试和竞赛中,虽然许多数学书刊上探求了多种解法,但都是针对一些具体、特殊的情形给出的(如文[1]).本文给出如下一     

二次曲线约束下的取值范围题的统一解法

在各类教辅资料上,常常可见到下面的问题: 例1 已知x~2-4x+y~2+3=0, 1)求y/x的取值范围; 2)求y+3/x+1的取值范围;     

课本一句话的活用

在学习平面解析几何时，我们常会遇到如下问题。     

谈用向量法求二面角

二面角的求解是立体几何中大多数同学比较棘手的问题 ,新教材引入了空间向量的概念以后 ,便使这类问题变得思路明确 ,运算简单 ,下面列举几例加以说明 .1　不需作出二面角的平面角 ,直接依据二面角定义求解例 1　已知平行六面体ＡＢＣＤ—Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中 ,底面ＡＢＣＤ是边长为ｍ的正方形 ,侧棱ＡＡ1的长为ｎ ,且∠Ａ1ＡＢ =∠Ａ1ＡＤ =12 0° ,求二面角Ａ1—ＡＢ—Ｄ的余弦值 .(2 0 0 2年潍坊市高二期末统考题 )图 1　例 1图解　过Ａ1作Ａ1Ｅ⊥ＢＡ交ＢＡ的延长线于点Ｅ ,∵ＡＢＣＤ为正方形 ,∴ＡＤ⊥ＡＢ .则向量Ａ1Ｅ与ＤＡ所成的角的大…     

例谈轴对称条件下求参数取值范围问题的解法

在圆锥曲线中,经常涉及到轴对称条件下求参数取值范围的问题,本文通过实例介绍这类问题的解法．     

一类离心率范围问题的统一结论

1　题目已知椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 ) ,F1,F2 是焦点 ,如果C上存在一点P ,使∠F1PF2 =α(0° <α<180°) ,则椭圆离心率的范围是sin α2 ≤e <1.证明　方法 1:设 |PF1| =m ,|PF2 | =n ,∠PF2 F1=θ,则∠PF1F2 =180° - (α +θ) .在△F1PF2 中 ,根据正弦定理得 :msinθ=nsin[180° - (α +θ) ]=2csinα,根据比例性质及诱导公式得m +nsinθ +sin(α +θ) =2csinα.因m +n =2a ,故 2asinθ +sin(α +θ) =2csinα,所以e =ca =sinαsinθ +sin(α +θ)=2sinα·cos α22sin α2 +θcos α2=sin α2sin(α2 +θ)≥sin α2 ,当…     

用辅助圆巧解题

我在学习过程中发现有一些题目若用辅助圆来解决则显得简捷、明朗 .例 1　 (2 0 0 0年全国高考试题 )椭圆 ｘ29 ｙ24=1的焦点为Ｆ1、Ｆ2 ,点Ｐ为其上的动点 ,当∠Ｆ1ＰＦ2 为钝角时 ,求点Ｐ横坐标的取值范围分析 :若用常规方法设点的坐标 ,在△Ｆ1ＰＦ2 中运用余弦定理来确定横坐标的取值范围 ,十分繁琐 ,在高考中就浪费了大量的宝贵时间 ,得不偿失 .因此 ,必须另找一种较快的方法 .图 1　例 1图解　先找出∠Ｆ1ＰＦ2 =90°时Ｐ的位置 .作以Ｆ1Ｆ2 为直径的圆ｘ2 ｙ2 =5 ,那么直径所对的圆周角为直角 .联立椭圆与辅助圆的方程 ,ｘ29 ｙ24=1…     

一道参数范围问题的简单解法

题目 已知函数f（x）=ax^3-2ax＋3a-4在区间（-1,1）上有唯一零点,求实数a的取值范围．     

怎样探讨轨迹的纯粹性

求曲线的轨迹方程是解析几何的基本知识 ,课本在谈到曲线的方程和方程的曲线时 ,指出两个关系 :①曲线上的点的坐标都是方程的解 ,②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 .其中①我们叫曲线方程的完备性 ;②叫曲线的方程的纯粹性 .在求轨迹方程时 ,教材强调分五步求轨迹方程 ,“除个别情况外 ,化简过程都是同解变形过程 ,步骤 5 (即证明② )可以省略不写 ,如有特殊情况 ,可适当予以说明 .”所谓予以说明 ,就是要探讨轨迹方程的纯粹性 .很多学生对此缺乏规律性的认识 ,以至心有余而力不足 .那么 ,解决轨迹方程的纯粹性问题应该怎样进行呢…     

例谈设点法的利弊

在求解直线与圆锥曲线相交弦问题时,常常用设点法.即设弦的端点坐标,设而不求,整体思考.设点法变式灵活,思路快捷,运算简化.但设点法也有缺陷.下面介绍一道例题,希望通过本例的说明,能对设点法有比较清晰的了解.     

圆的切点弦及其求法

已知圆Ｏ :ｘ2 ｙ2 =Ｒ2 及圆外一点Ｐ(ａ ,ｂ) ,过点Ｐ作圆Ｏ的两条切线ＰＡ ,ＰＢ ,切点分别为Ａ ,Ｂ ,则我们称弦ＡＢ为圆Ｏ的切点弦 .那么直线ＡＢ的方程是什么 ?该怎样求解呢 ?图 1　解法 1图分析 1:利用圆的切线及圆内接四边形几何性质 ,可构造一圆 ,然后借助圆系求解 .解法 1　连结ＯＡ ,ＯＢ ,由圆切线的几何性质可知 ,ＯＡ⊥ＰＡ ,ＯＢ⊥ＰＢ ,所以Ｏ ,Ａ ,Ｐ ,Ｂ四点共圆 ,ＯＰ为该圆的直径 (由解几课本Ｐ6 8第三题结论 :已知一个圆的直径端点是Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ (ｘ2 ,ｙ2 ) ,则该圆的方程是 (ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) (ｙ- ｙ1)…     

关于直线对称的点的一种求法

在解析几何中,点关于直线的对称点问题,一般可以分为两大类,即点关于特殊直线对称和点关于非特殊直线对称。前一种情况较为简单,画图后便可立即得出对称点,在此直接给出结论如下:     

解析几何问题的方法和技巧

解析几何的优点在于使形数结合 ,把几何问题化作数、式的演算 ,因此 ,解决一些比较困难的解析几何问题 ,首先要考虑的是如何减少运算量 ,这取决于对坐标、方程的选择、变换等问题要有一定的方法和经验 .1　正确选择合适的坐标系及点的坐标　图 1　例 1解答图例 1　 (1991年全国高中数学联赛试题 )设Ｏ为抛物线的顶点 ,Ｆ为焦点 ,且ＰＱ为过Ｆ的弦 .已知 |ＯＦ|=ａ ,|ＰＱ|=ｂ,试求△ＯＰＱ的面积 .解　以Ｆ为极点 ,Ｆｘ为极轴建立极坐标系 (如图 ) ,则抛物线的方程为ρ =2ａ1-ｃｏｓθ.设Ｐ点的极角为θ(0 <θ <π) ,则Ｑ点的极角为π θ,…     

解析几何中一类含参问题的基本解法

在解析几何中,有一类求参数取值范围的问题,解决这类问题往往通过“引进”新的参数,寻找待求参数与新参数之间的某种制约关系,然后“借用”新参数的取值范围,进而求出待求参数的取值范围．