四面体内心和旁心的另外两个性质

文[1][3]对三角形内心，旁心的性质进行了研究，文[4]给出了四面体内心与旁心的一个有趣性质，笔者深受启发，探究出空间四面体内心和旁心的另外两个性质，为行文方便，我们把文[4]的两个结论作为本文的两个引理．     

三角形旁心的两个性质

文[1]和文[2]对三角形重心进行了探究，文[3]类比给出了三角形内心的两个性质．受他们的启发，笔者对三角形旁心做了类比探究，发现三角形旁心也有类似的性质．     

内心与旁心的一类向量关系

本文给出关于三角形与四面体内心和旁心的一类优美的向量关系。     

也谈三角形五“心”向量形式的充要条件

文 [1 ]给出了三角形五“心”向量形式的充要条件 ,文 [2 ]对内心和旁心的结论加以了改进 .本文先给出三角形所在平面上任意一点的向量形式 ,然后由此推得三角形五“心”向量形式的一组充要条件 ,这组充要条件不仅具有简捷、美观的特点 ,而且还有较强的实用性 .命题　 1若O是△ABC形内 (或周界上 )一点 ,则S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 ;2若O是△ABC形外一点且与A位于直线BC的两侧 ,则-S△OBC·OA +S△OCA·OB +S△OAB·OC =0 .图 1　三角形　　　　　　　图 2　三角形　　证　如图 1 ,以O为原点 ,OA所在直线…     

三角形外心的两个性质

文[1]给出了三角形旁心的两个性质,文[2]给出了三角形重心的两个性质．读后深受启发,笔者对三角形的外心也做了类比研究,得到两个性质．     

三角形内心的两个性质

文[1]和文[2]对三角形重心进行了探究，阅读之后受到启发，笔者发现三角形内心也有类似的性质，现行之成文与读者共同探讨．     

三角形五“心”向量形式的充要条件

利用向量的加法、减法和向量的数量积运算 ,解决几何问题显得简捷、明快 ,思路清晰 .本文就利用向量来研究三角形五“心”(外心、重心、垂心、内心、旁心 )向量形式的充要条件 .1　外心图 1　外心结论 1　若Ｏ是△ＡＢＣ所在平面上一点 ,则Ｏ是△ＡＢＣ的外心的充要条件是ＯＡ2 =ＯＢ2 =ＯＣ2 .证　由向量数量积的运算性质可得 ａ2 =| ａ| 2 ,∴　ＯＡ2 =ＯＢ2 =ＯＣ2 |ＯＡ| 2 =|ＯＢ| 2 =|ＯＣ| 2 |ＯＡ| =|ＯＢ| =|ＯＣ| Ｏ是△ＡＢＣ的外心 .2　重心图 2　重心结论 2　若Ｏ是△ＡＢＣ内一点 ,则Ｏ是△ＡＢＣ重心的充要条件是ＯＡ +ＯＢ…     

三角形内心和旁心的一个向量性质及空间拓广

文[1]给出三角形重心的一个向量性质，并向三棱锥进行了拓广．     

两个关于三角形边角关系的结论

定理 1　设a、b、c为△ABC的三边 ,当an,bn,cn(n∈N+,n <5 )组成等差数列时∠B≤ 60°.证明　当n=1时 ,2b=a+c由cosB =a2 +c2 -b22ac=a2 +c2 - 14(a+c) 22ac =34× a2 +c22ac - 14≥12 　即B ≤ 60°当n =2时 ,2b2 =a2 +c2cosB =a2 +c2 -b22ac=a2 +c2 - 12 (a2 +c2 )2ac =12 ·a2 +c22ac ≥ 12 　即B≤ 60°当n =3时 ,12 (a3+c3)≥ ( a+c2 ) 3 (a3+c3) 3≥ ( a3+c32 ) 2 (a+c) 3 (a+c) 3(a2 +c2 -ac) 3≥ ( a3+c32 ) 2 (a+c) 3 (a2 +c2 -ac)≥ ( a3+c32 ) 2 (a2 +c2 -ac)≥ ( a3+c32 ) 23 a2 +c2 -ac≥b2 B ≤ 60°当n =4时 ,(a-c) 4 …     

球面三角形中两个结论的另证

在高中数学选修课程《球面上的几何》第五讲——球面三角形的全等中,判定两个球面三角形全等的角边角(a,s,a)判定定理如下:如果两个球面三角形的两对角对应相等,且它们的夹边也相等,那么这两个球面三角形全等.     

椭圆焦点三角形内心的两个新性质

最近笔者在研究与椭圆焦点三角形内心有关的问题时,获得了两个新性质。现记录如下,仅供同学们学习时参考。     

三角形两个性质在四面体中的引申北大核心

1引言 文献[1]载有三角形的两个共线点定理（图1）：性质1过一点0对直线OA,OB,OC作垂线,与△ABC的对边交于三个共线点（图1）．     

教材中一个错误结论的两个反例

人教A版《普通高中课程标准数学》(实验教材)选修3-3第25页有一个结论:球面三角形的内角和小于2π,并将该结论作为思考题留给学生证明.其实这个结论是错误的,下面从两个方面给予说明.     

相关的两个问题及引申

问题1 九年义务教育教材初中代数第一册(上)第38页习题B组第2题(详见教材),求S1=1 2 … n,根据提示可求得 由此引申可有如下两个问题. 引申1 从1起始的几个连续奇数的和为多少?即 S2=1 3 … (2n-3) (2n-1)=? 用类似求S1的方法可求得: S2=1 3 5 … (2n-3) (2n 1) =n2 ②     

选择理论中两个结论的改进

本文利用可数序基的概念，讨论了下半连续集值映射的选择问题，改进了选择理论中的两个经典结论．     

"蝴蝶"型两个结论的应用

如图1的图形称之为"蝴蝶"型,下面就"蝴蝶"型的两个结论谈两类应用. 1 一般"蝴蝶"求角度 结论1 如图1,如果AD, BC相交于点O,那么∠A+∠B=∠C+∠D. 此结论可称之为"蝴蝶"型的角度和相等.构造满足此结论的图形.可将复杂图形求角度的问题转化为特殊图形角度和.     

两个新的三角不等式及应用

给出两个新的三角不等式，并将其应用于讨论角成等比的三角形形状。     

关于循环小数的两个结论及应用

2009年安徽省高中数学竞赛试题中,有这样一个问题：将1／2008写成十进制循环小数的形式,即1／2008=0．000498…625498…625…,则其循环节的长度是——位．