等差数列的一类递推公式

设数列{an}的前n项和为Sn,则由形如Sn=f(n,an)的递推公式所确定的数列{an},在某些特定形式下它是一个等差数列.笔者就这类问题作了些初步探究,并得出下述结论.     

一类正项等比数列的新不等式

本文研究由正项等比数列若干项与一些组合数所构成的一类新不等式．     

有关正项等比数列的不等式

本文研究由正项等比数列若干项构成的不等式．为了简便起见，以下约定{an}是正项等比数列，公比为q（q〉0，且q≠1），m,n，k均为正整数，且优≠k．     

正项等比数列的一个性质

设 {ａｎ}是以 ｑ为公比的正项等比数列 ,则有　 ｎａ1ａ2 …ａｎ=ｎａ1·ａ1ｑ·…·ａ1ｑｎ -1=ｎａｎ1ｑｎ(ｎ -1)2 =ａ1ｑｎ -12 .设ｍ <ｎ2 ,则ｎ - 2ｍ ａｍ 1ａｍ 2 …ａｎ -ｍ=ｎ - 2ｍ ａ1ｑｍ·ａ1ｑｍ 1·…·ａ1ｑｎ -ｍ -1=ｎ - 2ｍ ａ1ｎ -2ｍｑ(ｎ -1) (ｎ -2ｍ)2 =ａ1ｑｎ -12 .∴ ｎａ1ａ2 …ａｎ=ｎ- 2ｍ ａｍ 1ａｍ 2 …ａｎ -ｍ(1 )这就是说正项等比数列的前ｎ项的几何平均数等于这ｎ项的中间ｎ - 2ｍ (ｎ >2ｍ)项的几何平均数 .记数列前ｎ项的积为 ｎ,则 (1 )式可以写成ｎ ｎ=ｎ- 2ｍ ｎ -ｍ ｍ (2 )对于 (2 )…     

一堂一类递推公式的探究课

上海高中数学第二学期的课本第24页有这么一道题：在数列{an}中a1=1,an＋12an＋1（n∈N^＊）,设bn=an＋1,（1）求证：数列{bn}是等比数列;（2）写出数列{an}的通项公式．这个题这样设计应该说是比较容易解决的,     

逆用等比数列各项和证一类分式不等式

一类分式不等式证明常见于数学竞赛题及问题征解题 .它的特点是不等式式子一边各项形如 ｍ2ｍ±ｎ或 ｎｍ±ｎ的形式 .如果变换为 ａ1 -ｑ(0 <ｑ<1 )形式后 ,则可逆用等比数列各项和公式 ,再用均值不等式 ∑ｎｉ=1ａｍｉ ≥(∑ｎｉ=1ａｉ) ｍｎｍ- 1 可得这一类分式不等式的简单证法 ,且思路单一 ,操作方便 ,现举例加以说明例 1　已知ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ ∈Ｒ+,且ｘ1 +ｘ2 +… +ｘｎ =1 ,求证 :ｘ1 21 -ｘ1 +ｘ2 21 -ｘ2 +… +ｘｎ21 -ｘｎ ≥ 1ｎ- 1 (《数学通报》1 993 (7)问题 845 )证明　因为ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ∈Ｒ+,且ｘ1 +ｘ2 +… +…     

一类正项等比数列新不等式的再研讨

安徽盛宏礼先生在文[1]里,对于正项等比数列和组合数,建立如下新的不等式:定理1已知数列{an}是正项等比数列,n为自然数,求证:C0n/a1+C1n/a2+C2n/a2+…+Cnn/an+1≤2n-1(1/a1+1/an+1).①原文对此不等式的证明过程比较繁杂,其实,证明是     

浅谈递推数列中等差数列、等比数列的复习

高考试题“来源于教材,又高于教材”,“题在书外,根在书内”这个原则为高三复习指明了方向．等差数列、等比数列是两种重要且应用广泛的有通项公式的数列．高考中的递推数列也大都是以等差数列、等比数列为基础而衍生出来的“新数列”．其递推关系的给出,有的比较隐蔽,只有对等差数列、等比数列的基础知识熟练地掌握及灵活应用,才有可能把题目中的隐性递推关系转化为显性递推关系,由递推关系解决了通项公式,数列中的其它问题便可以轻松解决．     

探究递推数列an=c·an-1+d·bn的通项公式

文[1]变题2的点评如下:“形如a_n=c·a_(n-1) d·b~n(c≠0,c≠1,d≠0,b≠0)的递推关系式均可由a_n λb~n=c(a_(n-1) λb~(n-1))构造等比数列处理.”文[2]指出该点评不妥之处:c=b时无法求出待定的λ,还应加上c≠b这一条件,并举例说明c=b时数列通项的求法.细读两文,深受启发,但感     

等比数列的一个定理及其应用

本刊 1 999年第 1 1期文 [1 ]通过课本一道习题 ,探讨了递推数列问题的化归解法 ,充分挖掘了课本习题教学价值 .但本人发现应用本文给出等比数列的一个定理 ,可以使这类常见的由递推公式求通项公式的问题获得简捷、统一的解决 .定理　如果由数列 {ａｎ}的项构成的新数列 {ａｎ 1-ｋａｎ}是公比为ｌ的等比数列 ,则相应的数列 {ａｎ 1-ｌａｎ}是公比为ｋ的等比数列 .证　数列 {ａｎ 1-ｋａｎ}是公比为ｌ的等比数列 ａｎ 1-ｋａｎ=ｌ(ａｎ-ｋａｎ -1) ａｎ 1-ｌａｎ=ｋ(ａｎ-ｌａｎ -1) 数列 {ａｎ 1-ｌａｎ}是公比为ｋ的等比数列 .该…     

一类广义范德蒙矩阵的求逆公式及递推公式

利用线性方程组给出了一类广义范德蒙矩阵可逆的条件及逆矩阵的矩阵表示式 ,并给出了求逆的递推公式 .     

类比思维的一种应用——已知递推公式求通项公式

本文拟用类比思想来研究三类特殊的已知递推公式求通项公式的题型。     

转化法求递推数列通项公式

求递推公式数列通项公式问题,是近几年高考的热点.通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题求解,通过变换递推关系,将非等差、等比数列转化为与等差、等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法.     

正项等比数列的不等联想

一、等换不等,妙趣横生 众所周知,没有零项的数列（an）是等比数列→a=qan-1→←an-1an＋1=an^2（n≥2）．     

关于一类无穷级数无穷和的一个递推公式

在本文中，我们利用周期函数的付立叶展开式，建立一类无穷级数无穷和的一个递推公式：其中     

赋予新内容 用递推公式

递推数列是数列一章的难点,若赋予新知识内容,则关系更加隐蔽,题目难度更大,现举例说明,供读者参考.一、赋予三角内容例1已知数列{an}满足a1=1,an=an-1cosx＋cos（n-1）x（x≠kπ,n≥2）,求通项公式an.解∵a1=1,an=an-1cosx＋cos（n-1）x（n≥2）.     

三类数列递推公式的相互转化

笔者在研究竞赛数列问题时,发现了一个令人觉得不可思议的结论：三类形式上貌似截然不同的递推公式,竟然可以互相转化,这三类数列实质上是等价的递推数列。