函数y=Asin(ωx+φ)的应用问题

函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ +φ) (Ａ >0 ,ω >0 )是三角函数中重要内容之一 ,历年高考多在选择题或填空题出现 ,其题型多样 ,解题方法灵活 .但在应用问题上 ,在生活数学上 ,还需引起重视 .在建模上 ,在识图上也需注意研究 .1　温差问题例 1　 (2 0 0 2年全国高考试题 )如图 ,某地一天从6时至 14时的温度变化曲线近似满足函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ +φ) +ｂ .图 1(Ⅰ )求这段时间的最大温差 ;(Ⅱ )写出这段曲线的函数解析式 .解　 (Ⅰ )由图示 ,这段时间的最大温差是 3 0 - 10 =2 0(℃ ) .(Ⅱ )图中从 6时到 14时的图象是函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ +…     

函数y=Asin（ωx＋φ）解析式的求法

1　已知关键点我们从作函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ >0 ,ω >0 )简图的“五点法”出发 ,先来研究图象上的五个关键点坐标与Ａ ,ω ,φ的关系 .作简图时常要列出如下的表 ,再根据表中所列坐标描点作图 (图 1) .　　表 1ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)作图用表ｘ ｘ1ｘ2 ｘ3 ｘ4 ｘ5Ｘ =ωｘ φ 0 π2 π 3π2 2πｓｉｎＸ 0 10 - 10ｙ =ＡｓｉｎＸ 0Ａ 0 -Ａ 0图 1ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)的部分图象表的中间两行Ｘ与ｓｉｎＸ的对应值构成正弦函数ｙ =ｓｉｎＸ图象上关键的五点(0 ,0 ) ,(π2 ,1) ,(π ,0 ) ,(3π2 ,- 1) ,(2π ,0 ) ,上下…     

由三角函数图象求解析式的方法及误解剖析

给出三角函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)的图象一部分 ,确定其解析式是同学们感到很头痛的一类题目 ,特别是ω和 φ的确定 ,稍一疏忽就会出错 .例　已知函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ >0 ,ω >0 ,|φ|<π)的图象如图 1所示 ,试确定该函数的解析式图 1　例题图误解 1　∵ ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ >0 )的值域为区间[-Ａ ,Ａ] ,由图象表明 -2≤ｙ≤ 2 ,∴Ａ =2 ,即函数ｙ =2ｓｉｎ(ωｘ φ) .∵函数图象过点Ｐ( -7π12 ,0 )和Ｑ( 0 ,1) ,∴ｓｉｎ( -7π12 ω φ) =0 ,ｓｉｎφ =12 .∵ |φ|<π ,ｓｉｎφ =12 ,∴φ =π6或 φ =5π6.当 …     

三角函数的图象和性质

1　重、难点分析1)关于三角函数的图象 ,重点是能够熟练地画出正弦、余弦、正切、余切等四个函数在一个周期内的图象 ,特别是在原点附近的图象 ,进而掌握函数ｙ=Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)在一个周期内的图象 .掌握函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)的图象关键是建立函数ｙ =ｓｉｎｘ与ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)在一个周期内的对应关系 ,同时要结合函数的图象的平移和伸缩变换 ,加深对ω和 φ的理解 .而根据函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)的图象确定Ａ ,ω ,φ的值对初学者较困难 .2 )熟练掌握“五点法”作函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ + φ)的图象 .除了“五点…     

“五点法”作函数y=Asin(ωx φ)简图的思考

作函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)的简图 ,主要是先找出在确定图象形状时起关键作用的五个点 ,要找出这五个点该作变量代换 ,设Ｘ=ωｘ φ ,由Ｘ取 0 ,π2 ,π ,3π2 ,2π来解出对应的ｘ值 ,由此再作出函数的图象 ,这又称为“五点法”作图 .同时 ,我们知道五个点中有三个点是函数图象与ｘ轴的交点 ,都是函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)图象的对称中心 ,另二个点是使函数取得最值的点 ,过这两个点所作的与ｙ轴平行的直线都是函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)图象的对称轴 .因此 ,分别由ωｘ φ =ｋπ和ωｘ φ =ｋπ π2 可求得函数 ｙ =Ａｓｉｎ(…     

由y=Asin(ωx φ_0)到y=Asin(ωx φ_1)的图象变换方法

由 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ0 )到 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ1 )的图象变换是一种左右平移变换 ,即把ｙ=Ａｓｉｎ(ωｘ φ0 )图象上所有点向左或向右平移一定单位后得到 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ1 )的图象 .要进行这一平移变换 ,必须确定平移方向和平移单位 .而确定平移单位和方向通常采用以下方法 .1　增量法函数图象向左或向右平移 ,可以看作是由图象上所有点的横坐标增加或减少相同的量引起的 ,亦即当 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ0 )中的自变量ｘ产生一个增量Δｘ后 ,得到 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ1 )的图象 .故有ω(ｘ Δｘ) φ0 =ωｘ φ1 ,∴Δ…     

用“五点法”求y=Asin(ωx φ)的表达式

用“五点法”作三角函数ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) (Ａ>0 ,ω >0 )的图象是三角函数的重要内容 ,其中心是通过整体换元的思想求关键点的坐标 .而已知三角函数的图象求其表达式的问题 ,恰恰是已知某些关键点的坐标 ,因此 ,可视为作图问题的逆问题 .作函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)的简图 ,主要是作变量代换Ｘ =ωｘ φ ,由Ｘ取 0 ,π2 ,π ,3π2 ,2π来求出对应的ｘ的值 ,确定图象五个关键点的位置 .而求其表达式 ,则相当于Ｘ ,ｘ已知 ,求ω与 φ .下面通过例题介绍如何用“五点法”求三角函数的表达式 .例 1　如图 1,写出函数ｙ =Ａｓｉｎ(…     

正,余弦函数单调区间的快速求法

在求函数 ｙ =Ａ·ｓｉｎ(ωｘ φ)及 ｙ =Ａ·ｃｏｓ(ωｘ φ)的单调区间时 ,学生往往容易出错 ,特别是在ω <0的情况下 ,尤为突出 .本文介绍一种既保险又快捷的求法 ,解法分三步 .第一步 :求出函数的最小正周期Ｔ =2π|ω|;第二步 :寻找一个ｘ0 ,使ｘ =ｘ0 时 ,ｙ值最大 ;图 1　ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)示意图第三步 :写出函数的单调增区间[ｋＴ ｘ0 -Ｔ2 ,ｋｔ ｘ0 ] ,ｋ∈Ｎ ;单调减区间 [ｋＴ ｘ0 ,ｋＴ ｘ0 Ｔ2 ] ,ｋ∈Ｎ .以上解法 ,请同学们结合图 1就不难理解了 ,关于ｘ0 的求法 ,只须根据Ａ的符号及函数名称 ,令ωｘ φ =…     

综合题新编选登

题 2 6　已知 ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘｃｏｓｘ - 3ｃｏｓ2 ｘ + 32 ,ｘ∈ [0 ,π],当方程 ｆ(ｘ) =ｍ有两个不相等的实根时 ,1)求ｍ的取值范围 ;2 )求方程的两实根之和 .解　 1) ｆ(ｘ) =12 ｓｉｎ2ｘ - 3·1+ｃｏｓ2ｘ2 + 32=ｓｉｎ(2ｘ - π3) .又∵ｘ∈ [0 ,π],　∴ - π3≤ 2ｘ - π3≤5π3.图 1　题 2 6图在同一坐标系中 ,作出函数 ｙ =ｓｉｎｕ(- π3≤ｕ≤5π3)的图象和直线 ｙ =ｍ的图象 .易见 ,两图象有两个公共点时 ,ｍ的取值范围为(- 32 ,1)∪ (- 1,- 32 ) ,又由于ｕ =2ｘ - π3是ｘ与ｕ的一一对应 ,故上述范围即为所求 .2 ) [方法 1…     

巧用数学思想 探求三角最值

本文通过一道三角函数例题 ,说明函数最值的一些通常求法 .例　求函数ｙ =ｓｉｎｘ2 ｃｏｓｘ的最值 .思路 :本题可从化归思想出发 ,设法把函数变成ａｓｉｎ(ωｘ φ) =ｂ型 ;或借助万能公式 ,把函数转化成只含正切的函数 ;或寻求函数的几何背景 ,用数形结合的办法求出函数的最值 .解法 1　应用有界性将原函数变形 ,得2 ｙ ｙｃｏｓｘ =ｓｉｎｘ ,即ｓｉｎｘ -ｙｃｏｓｘ =2 ｙ ,∴ ｙ2 1ｓｉｎ(ｘ - φ) =2 ｙ ,其中 φ =ａｒｃｔｇｙ .∴ｓｉｎ(ｘ - φ) =2 ｙｙ2 1,则 2ｙｙ2 1≤ 1.解之得- 33≤ｙ≤ 33,∴ ｙｍａｘ=33,ｙｍ…     

函数图象的有关问题

函数图象是函数的一种表达形式 ,是刻划函数性质的重要内容 ,函数图象也是高考命题的热点 .下面例谈函数图象的类型及解题策略 .一、图象的变换1.图象的平移函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象沿ｘ轴向左或向右平移ａ(ａ >0 )个单位 ,所得到的图象的函数表达式为 ｙ =ｆ(ｘ +ａ) 或 ｙ =ｆ(ｘ -ａ) ;而沿 ｙ轴向下或向上平移ｂ(ｂ>0 )个单位所得到的图象为ｙ +ｂ =ｆ(ｘ)或 ｙ -ｂ=ｆ(ｘ) .例 1　函数ｙ =1- 1ｘ - 1的图象是 (　　 ) .(2 0 0 2全国高考试题 )(Ａ)　　 (Ｂ)　　(Ｃ)　　 (Ｄ)　　分析　函数ｙ =1- 1ｘ - 1的图象是由ｙ =- 1ｘ的图象沿ｘ…     

一道三角题的三种解法

题目　方程 3ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ =ｍ在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解 ,求实数ｍ的范围 .图 1　解法 1图解法 1　 (数形结合思想 )原方程可变为ｓｉｎ(ｘ π6) =ｍ2 .设 ｙ1=ｓｉｎ(ｘ π6) ,ｘ∈ ( 0 ,π) ,ｙ2 =ｍ2 .在同一直角坐标系中作出其图象 (如图 ) .原方程在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解等价于两函数的图象有两个交点 .则有 12 <ｍ2 <1,∴ 1<ｍ <2 .解法 2　 (函数思想 )设ｃｏｓｘ =ｔ,∵ｘ∈ ( 0 ,π) ,∴ｔ =ｃｏｓｘ∈ ( - 1,1) ,ｓｉｎｘ =1-ｃｏｓ2 ｘ =1-ｔ2 .原方程变为 3· 1-ｔ2 ｔ=ｍ .∴ 3( 1-ｔ2 ) =ｍ -…     

圆锥曲线焦半径的一个性质

定理 1　Ａ1 ,Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ｆ为椭圆的焦点 ,ｌ为椭圆的与Ｆ对应的准线 ,Ｐ是椭圆上任一点 (除Ａ1 、Ａ2 外 ) ,设Ａ1 Ｐ、Ａ2 Ｐ分别与ｌ交于Ｍ、Ｎ ,则①ＭＦ⊥ＮＦ ,②以ＭＮ为直径的圆与ＰＦ相切于Ｆ ,③ＦＭ平分∠ＰＦＡ2 (如图 1 ) .图 1证明　①设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ >ｂ>0 ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｆ(ｃ ,0 ) ,ｌ:ｘ =ａ2ｃ,Ａ1 (-ａ ,0 ) ,Ａ2 (ａ ,0 ) .则Ａ1 Ｐ :　　ｙ=ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα +1 ) (ｘ+ａ) ,Ａ2 Ｐ :　　ｙ =ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα - 1 ) (ｘ -ａ) ,容易求得Ｍ ａ2ｃ…     

一道高考试题的几种解法

题目 ( 1994年全国高考文科试题 )如果函数ｙ =ｓｉｎ2ｘ ａｃｏｓ2ｘ的图象关于直线ｘ =- π8对称 ,那么ａ = (　　 )(Ａ) 2 .　 (Ｂ) - 2 .　 (Ｃ) 1.　 (Ｄ) - 1.解法 1　因 ｙ =ｓｉｎ2ｘ ａｃｏｓ2ｘ =1 ａ2·ｓｉｎ( 2ｘ φ) ,且其图象关于直线ｘ =- π8对称 ,所以 ,直线ｘ =- π8必经过图象的波峰或波谷 ,从而有ｓｉｎ( - π4 ) ａｃｏｓ( - π4 ) =± 1 ａ2 ,即 ( - 1 ａ) 2= 2 ( 1 ａ2 ) ,得ａ =- 1,应选 (Ｄ) .解法 2　因函数ｙ =ｓｉｎ2ｘ ａｃｏｓ2ｘ的图象关于直线ｘ =- π8对称 ,所以 ,把它沿着ｘ轴向右平移π8单位 ,得…     

综合题新编选登

题 1　已知函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象的一条对称轴为直线ｘ =1 ,若将函数 ｙ =ｆ(ｘ)图象向下平移 3个单位 ,再向右平移ｂ个单位后得到ｙ =ｓｉｎｘ的图象 .1 )求满足条件的所有的ｂ值及ｆ(ｘ)的解析式 ;2 )设ｚ =ｆ(ｘ 1 ) - 3ｘ ｉｓｉｎｘ ,ｗ =3ｚ2 1ｚ2 在复平面ｕ Ｏ ｖ上对应点为Ｐ ,求动点Ｐ的轨迹 .解　∵ ｙ =ｓｉｎｘ 向左平移ｂ个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 向上平移 3个单位 ｙ =ｓｉｎ(ｘ ｂ) 3.1 )∵ｘ =1为其对称轴 ,而其对称轴的一般形式为ｘ ｂ =ｋπ π2 (ｋ∈Ｚ) ,∴ｘ=1应是此方程的解 ,故ｂ =ｋπ π2 - 1 (ｋ…     

有关椭圆的四个性质

文 [1]对椭圆的内接矩形进行了讨论 ,本文对此问题进行了拓展 ,并就椭圆中的“最大角”问题进行了探讨 .定理 1　设Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) (ｘ20 + ｙ20 ≠ 0 )是椭圆 ｘ2ａ2+ ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )内一点 ,则过点Ｐ0 的弦中 ,有且仅有一条以Ｐ0 为中点 .证　设过Ｐ0 的直线的参数方程为ｌ2 :ｘ =ｘ0 +ｔｃｏｓαｙ =ｙ0 +ｔｓｉｎα (α为倾角 ,ｔ为参数 ) ,代入 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1,整理得(ａ2 ｓｉｎ2 α +ｂ2 ｃｏｓ2 α )ｔ2 + (2ａ2 ｙ0 ｓｉｎα +2ｂ2 ｘ0 ｃｏｓα)ｔ+ａ2 ｙ20 +ｂ2 ｘ20 -ａ2 ｂ2 =0 .若直线ｌ2 截椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2…     

课外练习

高一年级1.在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =2 0° ,ＡＢ =ＡＣ =ｂ ,ＢＣ=ａ .求证 :ａ3 +ｂ3 =3ａｂ2 .2 .若 π6 ≤ｘ≤ π3,求函数 ｙ =ｔａｎｘ -ｓｉｎ2 ｘｔａｎｘ +ｓｉｎ2 ｘ的最大值和最小值 .3 .若函数ｆ(ｘ)在 (-∞ ,3]上是减函数 ,且ｆ(ａ2 -ｓｉｎｘ)≤ｆ(ａ+ 1+ｃｏｓ2 ｘ)对一切ｘ∈Ｒ恒成立 ,求实数ａ的取值范围 .高二年级1.在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1中 ,过ＢＤ1 的截面分别交ＡＡ1 、ＣＣ1 于Ｅ、Ｆ两点 ,求四边形ＢＥＤ1 Ｆ面积的最小值 .(北京　含　笑 )2 .已知 :ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1.求ｕ =1ｘ3 +12ｙ的…     

对一道课本例题解法的思考——如何求初相角

在普通高中数学新课程人教版必修4P67,即第一章三角函数中“三角函数模型的简单应用”部分有这样一道例题:图1例1图例1如图1,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx φ) b(A>0,ω>0).1)求这一天的最大温差;2)写出这段曲线的函数解析式.解1)由图1可知,这一天的最大温差是20℃.2)从图中可以看出,6~14时的图象是函数y=Asin(ωx φ) b的半个周期的图象,所以A=30-210=10,b=30 210=20,∴bA==2100.,∵21·2ωπ=14-6,∴ω=8π.将x=6,y=10代入上式,解得φ=34π.综上,所求函数解析式为y=10sin(8πx 34π) 20,x∈[6,14].在这个…     

函数y=θ-argz的几何解释

设复数ｚ =ａｃｏｓθ ｉ·ｂｓｉｎθ,(ａ>ｂ >0 ,0 <θ<π2 ) ,则θ为复数ｚ在复平面上对应点ｚ轨迹 ｘ =ａｃｏｓθｙ =ｂｓｉｎθ(0 <θ<π2 为参数 )———椭圆 (在第一象限部分 )的离心角 ,如图 ,函数ｙ=θ-ａｒｇｚ即为∠ＡＯＺ .ｔｇ∠ＡＯＺ =ｔｇｙ =ｔｇ(θ-ａｒｇｚ)=ｔｇθ - ｂａｔｇθ1 ｔｇθ· ｂａｔｇθ=(ａ -ｂ)ｔｇθａ ｂｔｇ2 θ=ａ-ｂａｔｇθ ｂｔｇθ≤ ａ-ｂ2ａｂ,所以ｙ的最大值为ａｒｃｔｇａ -ｂ2ａｂ,当且仅当 ａｔｇθ=ｂｔｇθ,即θ =ａｒｃｔｇ ａｂ 时取得 .当ａ =3 ,ｂ=2或ａ =3 ,ｂ=1时就分别得到 9…     

高考在即 强化“四点”

高考临近 ,考生备考复习进入了冲刺阶段 .考生除了要对知识点灵活掌握外 ,还要强化以下“四点” .1　熟悉考点考生要认真研究《考试说明》规定考查的知识点 ,并逐一进行分析和归纳 ,如函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ｗｘ φ)的图象这个考点 ,它即是难点和重点 ,又是高考的热点 ,复习时除了理解图象变换的基本规律、掌握基本方法外 ,还要落实基本考点 :1)函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ｗｘ φ1 )的图象向左 (右 )平移θ个单位得到函数ｙ =Ａｓｉｎ(ｗｘ φ2 )的图象 (其中θ =| φ2 - φ1 |ｗ ) ;2 )据图象写出函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ｗｘ φ)的解析式 ;3)求函…