浅谈柯西不等式的证明及应用

柯西(Cauchy)不等式(a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2)(ai,bi∈R,i=1,2…,n),当且仅当a1b1=a2b2=…=anbn时等号成立.现将它的证明介绍如下:证明1(构造法):构设二次函数f(x)=(a1x b1)2 (a2x b2)2 … (anx bn)2=(a12 a22 … an2)x2 2(a1b1 a2b2 …anbn)x (b12 b22 … bn2),∵a12 a22 … an2>0,f(x)≥0恒成立,∴△=4(a1b1 a2b2 … anbn)2-4(a12 a22 … an2).(b12 b22 … bn2)≤0,即(a1b1 a2b2 … anbn)2≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2),当且仅当aix bi=0(i=1,2,…,n),即a1b1=a2b2=…=anbn时等号成立.证明2(数学归纳…     

巧用柯西不等式证不等式竞赛题

设ai&;#183;bi∈R（i=1,2,…,n）则（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）^2.     

柯西不等式的教学价值

讨论了柯西不等式在不同领域的内通性、渗透性和统一性.     

柯西不等式的应用技巧

利用柯西不等式证明某些不等式或探求某些多元函数的最值（值域）时,确实简捷明了,是在一道题的多种解法中的较优者.因此,若能创造条件灵活运用柯西不等式,将会给我们带来许多方便.但是,创造运用柯西不等式的条件十分灵活,且技巧性强,很多时候都不能直接运用柯西不等式来解决某些数学问题.从哪里入手,如何创造条件,怎么创造,不少同学找不到突破口,感到无所适从,甚至创造不出合理的条件.下面就此问题作一些归纳、     

柯西不等式及其应用

柯西不等式是证明某些不等式的重要工具,也是在求某些函数的最值时经常使用的理论根据,特别是在数学竞赛中有着广泛的应用．本文先介绍柯西不等式和它的常见变形形式,再通过实例介绍应用柯西不等式解题的方法和技巧．‘     

柯西不等式的微小改动

刘治和在 [1 ]中把柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式叙述为 :(ａ1ｂ1+ａ2 ｂ2 +… +ａｎｂｎ) 2 ≤ａ21+ａ22 +… +ａ2 ｎ ｂ21+ｂ22 +… +ｂ2 ｎ(ａｉ,ｂｉ∈Ｒ ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,当且仅当ａ1ｂ1=ａ2ｂ2 =… =ａｎｂｎ时等号成立 .这是错误的 .诚然ａ1ｂ1=ａ2ｂ2 =… =ａｎｂｎ ａ1ｂ1+ａ2 ｂ2 +… +ａｎｂｎ 2= ａ21+ａ22 +… +ａ2 ｎ ｂ21+ｂ22 +… +ｂ2 ｎ但ａ1ｂ1+ａ2 ｂ2 +… +ａｎｂｎ 2= ａ21+ａ22 +… +ａ2 ｎ ｂ21+ｂ22 +… +ｂ2 ｎ \ａ1ｂ1=ａ2ｂ2 =… =ａｎｂｎ.反例　ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ ,ｂ1=ｂ2 =… =ｂｎ= 0 ,ａ1ｂ1+ａ2 ｂ2…     

柯西不等式含义诠释初探

在我国一般的高等教育中 ,微积分、线性代数和概率论是最基本的数学基础课 .表面上看 ,这三门课有很大差异 ,但同时它们却往往可以从不同角度和方法对同一事物作出证明和解释 .著名的柯西不等式在不同领域中的证明方式充分说明了人们思维的多样性和不同领域数学之间的内通性、渗透性和完备性 .认识这一点可以使思维更活跃 ,也可以使我们的教学更富有创造性 .虽然柯西不等式在这三门基础课中采用不同的形式 ,冠以不同的名称 ,但其意义而言是一致的 .我们将就具体的形式 ,分别论述 .在微积分中 ,由于柯西不等式不是微积分的基本内容 ,故一般的…     

柯西不等式及其应用

新课标教材选修4-5《不等式选讲》第三讲中介绍了柯西不等式,它不仅形式优美,而且具有重要的应用价值,学生通过对它的学习不仅能领略到它的几何背景、证明方法及其应用,而且能进一步感受到数学文化的美妙,提高自身的数学     

一类分式不等式的证法——柯西均值法

一类分式不等式的证法—柯西均值法陶兴模（重庆市铜梁中学６３２５６０）众所周知，柯西不等式（ａ１２＋ａ２２＋…＋ａｎ２）（ｂ１２＋ｂ２２＋…＋ｂｎ２）（ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ）２（ａｉ∈Ｒ，ｂｉ∈Ｒ，ａｉ＝ｋｂｉ时取等号，ｉ＝１，２，３，…...     

柯西不等式的应用

柯西不等式是新课标教材选修模块中的新增内容,以柯西不等式为背景的试题已悄然地在高考试卷中出现．在解题中若能灵活地应用柯西不等式求解,则会使思路简捷明快,新颖别致,下面试举几例,以示说明．     

柯西不等式在解析几何中的应用

柯西不等式具有对称和谐的结构,应用的关键在于抓住问题的结构特征,找准解题的正确方向,合理地变形、巧妙地构造.作为新课程的选修内容,柯西不等式(简记为“方和积不小于积和方”)在数学的多个领域都有着广泛的应用,不仅在代数方面能够帮助我们解决问题,而且在解决解析几何问题时也给我们带来极大的方便下面分类例析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.     

柯西不等式的妙用

设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立．以上不等式就是选修4-5<不等式选讲>中所介绍的柯西不等式(简记为方和积不小于积和方),其应用十分广泛和灵活,掌握它,对证明不等式、求函数的最值、解方程(组)、求参数的取值范围、求代数式的值、实现有效传接等都是大有裨益的.     

带有矩阵元形式的柯西不等式

给出带矩阵元形式的柯西不等式,并采用比值法。借助詹森不等式对其进行了证明．     

柯西不等式一个推论的应用

1 实数a1，a2，…，an满足a1＋a2＋…＋an。=O，求证：     

用柯西不等式的一个推论简证一类不等式

拜读了《数学通讯》2009年1、2月（学生刊）王增强老师的“用贝努利不等式的变式证一类不等式题”．颇有收获．但觉得证明的变形技巧要求太高,也比较繁琐,下面用柯西不等式的一个推论给出该文几例的简证,为便于说明问题并再添加几例（例1至例5是原文顺序例题,例6至例9是另选例题）．     

用柯西不等式的变式证明不等式

本文的例1至例4分别是文[1]的例1至例4,文[1]对这类轮换对称不等式的证明的方法是先猜想不等式等号成立的条件是a=b=c,然后利用基本不等式进行构造证明,方法巧妙,但操作较为麻烦,笔者发现这类不等式用柯西不等式的变式很容易证明.下面对这4道例题用柯西不等式的变式给     

例谈柯西不等式及变式的应用

本文通过实例介绍运用柯西不等式解题的基本策略和技巧,在实际解题时,需要观察表达式的结构特征,恰到好处地进行变形,沟通待解决问题与柯西不等式之间的联系,找到解决问题的突破口和解题依据.