数学问题解答

20 0 3年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 4 36　如图 .⊙O1 与⊙O2内切于P ,⊙O1 的弦AB切⊙O2 于C .若⊙O1 和⊙O2的半径分别为R、r.求证 :AC2AP2 =R-rR .(安徽省肥西中学　刘运谊　 2 31 2 0 0 )证明　设PA、PB交⊙O2 于E、F ,连结EF ,过P作⊙O1 与⊙O2 的外公切线MN ,延长PC交⊙O1 于Q ,再连BQ、CF .因为MN是⊙O1 与⊙O2 的外公切线所以∠EFP =∠APM =∠ABP所以EF∥AB ,所以CE =CF所以∠APC=∠BPC又因为∠A =∠Q所以△APC ∽△QPB、△APC∽△QBC所以 ACAP =BQPQ ( 1 )　　 ACAP =CQBQ (…     

数学问题解答

20 0 2年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 40 6　已知 :ＡＤＣＥ为半圆 (如图 ) ,Ｂ为直径ＡＥ上一点 ,Ｆ在ＡＣ上 ,ＡＤ =ＦＣ ,ＤＥ =ＣＧ ,ＢＥ=ＨＧ ,ＡＬ∥ＦＧ .求证 :ＫＢ ⊥ＡＣ证明　因为ＡＤＣＥ为半圆 ,所以∠ＡＤＥ=∠ＦＣＧ =90° .在Ｒｔ△ＡＤＥ和Ｒｔ△ＦＣＧ中 ,因为ＡＤ =ＦＣ ,ＤＥ =ＣＧ ,所以△ＡＤＥ≌△ＦＣＧ .所以ＡＥ =ＦＧ .又ＢＥ =ＨＧ ,所以ＡＢ =ＦＨ因为ＡＬ∥ＦＧ ,所以 ＡＫＦＨ =ＣＫＣＨ =ＫＬＨＧ.所以 ＡＫＫＬ =ＦＨＨＧ,所以 ＡＫＫＬ =ＡＢＢＥ,所以ＫＢ∥ＬＣ .又因为ＬＣ⊥ＡＣ ,所以…     

数学问题解答

20 0 3年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 6　Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ=90°,Ｄ、Ｅ为ＢＣ边上的两点 ,△ＡＤＥ的外接圆分别交边ＡＢ、ＡＣ于点Ｐ和Ｑ ,且ＢＰ +ＣＱ =ＰＱ ,求∠ＤＡＥ的度数 .(安徽省南陵县第二中学　金旗　2 42 40 0 )图 1引理　如图 1 ,梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＣＤ上两点 ,且ＡＥ=ＢＥ ,ＥＦ=12 (ＡＤ +ＢＣ) ,则有ＥＦ ∥ＢＣ .(该引理较易证明 ,略 )解　如图 2 ,过Ｐ点作ＰＦ ⊥ＡＢ ,ＰＦ交ＢＣ于Ｆ点 ,取ＰＱ的中点Ｏ ,连结ＯＥ ,ＰＥ .图 2因为ＡＢ =ＡＣ ,∠Ｂ…     

数学问题解答

2012年2月问题解答(解答由问题提供人给出)2041 P是四面体A-BCD内的任一点,P到四顶点A、B、C、D的距离分别为d1、d2、d3、d4,P到四个面:面BCD、面ACD、面ABD、面ABC的距离分别为d′1、d′2、d′3、d′4,求证:     

对数学问题解答栏中若干数学问题的感悟

数学问题解答栏 ,每期登场的 5个问题都如一道道亮丽的风景 ,给人启示 ,耐人寻味 ,经常构筑成问题研究链的模式———即问题一出现便引起读者的兴趣 ,有人立即给出某个问题的简证 ;有人则研究某问题的加强与推广 ;有的问题干脆就成为某些后继问题的研究基石或工具 ,由此引发出一系列更深层次的研究课题 ;有些则成为数学竞赛好素材 ;有些问题自身的解法就给人以启发 ,使读者一看就有眼前一亮的神往和敬佩感 ,… ,如此等等 ,都对推动我国的初等数学研究事业、丰富数学竞赛课堂、促进常规数学教育教学改革起到了巨大的推动作用 ,这一切都应归功…     

综合题新编选登

题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

运用拉格朗日恒等式简解三角题

本文就三角中的一些问题 ,介绍运用拉格朗日恒等式来求解 ,可以化难为易 ,简捷明快 .1　拉格朗日恒等式设α1,α2 ,β1,β2 ∈Ｒ ,则　 (α21+α22 ) (β21+ β22 ) - (α1β1+α2 β2 ) 2=(α1β2 -α2 β1) 2 .证　∵左边 =α21β21+α21β22 +α22 β21+α22 β22 - (α21β21+2α1β1α2 β2 +α22 β22 )=α21β22 - 2α1β2 α2 β1+α22 β21=(α1β2 -α2 β1) 2 ,∴左边 =右边 .这个恒等式还可以推广 ,如(α21+α22 +α23) (β21+ β22 + β23) - (α1β1+α2 β2 +α3β3) 2 =(α1β2 -α2 β1) 2 + (α1β3-α3β1) 2 + (α2 β3…     

数学问题解答

2011年9月号问题解答(解答由问题提供人给出)2021 设a,b,c∈R+,且abc=1.求证:a2+b2 +C2 -2ab-2bc-2ca+3≥O(浙江省永康一中李康海321300)证明 由抽屉原理知,a,b,c中必有两个同时小于或等于1,或者同时大于或等于1,不妨设为a,b,则(a-l) (b-l)≥0.a2 +b2 +C2 -2ab-2bc-2ca+3-(a2 +b2)+ (cz +1) -2ab-2bc-2ca+2≥2ab+2c-2ab-2bc-2ca+2= 2c-2bc-2ca+2abc-2c(l -b-a+ab)=2c(a-l) (b-l)≥0故原不等式成立     

数学问题解答

20 0 2年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 40 1　邮局发行一套四种不同面值的邮票各 1张(面值为正整数 ) ,如果每封信允许贴邮票张数不超过 3 ,存在正整数Ｒ ,使得用不超过三枚邮票 ,其和可以形成连续整数 1 ,2 ,3 ,… ,Ｒ ,找出这四种面值数 ,使得Ｒ值最大 ,并把结果推广 .(山东省青岛市四方区鞍山五路 2 7号楼二单元 70 2　王大鹏　 2 6 6 0 0 0 )解　从四种邮票中选取不超过三张的取法 :共有 =Ｃ1 4 +Ｃ24 +Ｃ34=4+6 +4=1 4(种 )那么　Ｒ≤ 1 4.设四种邮票的面值分别是ａ ,ｂ ,ｃ ,ｄ .(∈Ｎ) .且　ａ<ｂ<ｃ <ｄ .所以　ａ =1 …     

组合最值

用非常规办法去求最值的问题统称为组合最值问题 .这类问题的解答有两个难点 :一是最值的探求 ,二是最值的证明 .本文将通过一组实例说明解决这类问题的思想方法 .1　优化选择例 1　从 1,2 ,3,… ,1995这 1995个数中最多能选出多少个数 ,使得选出的数中没有一个数是另一个数的 19倍 ?分析　依据题设要求可知 ,若ｋ ,19ｋ是 1,2 ,… ,1995中的两个数 ,则这对数最多只能选择一个 ,为了使得选出的数具有规律性 ,不妨在每一对 (ｋ ,19ｋ)中选出最大的数 ,从而选出的数又能组成 1,2 ,3,… ,1995后面的一个片断 .∵ 199519=10 5 ,从而 ,10 6 ,10 7…     

数学问题解答

2008年4月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 1726 已知△ABC为锐角三角形,AB≠AC,以BC为直径的圆分别交边AB、AC于M、N,BC的中点为O,∠BAC的平分线和∠MON的平分线交于R点,△AMN、△BMR、△CNR的外心分别为O1、O2、O3.     

与质心相关的几何不等式

与质心相关的几何不等式续铁权（青岛教育学院数学系２６６０７１）１质心的概念和性质设ＡＩ，ＡＺ；…，Ａ。是空间的ｎ个质点，它们分别有质量ｍｌ；ｍＺ，…，ｍ。把这个质点组记作（Ａ；…；Ａ。；。１；…；。）．引理对于质点组（ＡＩ，…，Ａ。；。１，…，。他在...     

数学问题解答

20 0 4年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 1 6　正方形A1 A2 A3A4的中心为O ,边长为 2a ,在以O为圆心 ,半径为R的圆上任取一点P ,设P到A1 A2 ,A2 A3,A3A4,A4A1 的距离分别为d1 ,d2 ,d3,d4,求证 :dn1 +dn2 +dn3+dn4≤ 2 [(a+ R2 ) n+ (a- R2 ) n](n∈N)当且仅当n=1 ,2 ,3时取等号证明　建立如图所示的直角坐标系 ,并设P(Rcosθ,Rsinθ) ,则有d1 =a +Rsinθ ,d3=a-Rsinθ,d2 =a -Rcosθ,d4=a+Rcosθ若用 [n2 ]表示 n2 的整数部分 ,则由二项式定理得dn1 +dn2 +dn3 +dn4 =(a+Rsinθ) n + (a-Rsinθ) n + (a +Rcosθ) n …     

球的一个内含四面体体积最值

介绍求球的一个内含四面体体积最值的方法     

一道数学问题的商榷

《数学通报》1 998年 4月号 1 1 2 6号问题“证明任意三角形内必存在一点 ,使其关于三边的对称点构成正三角形”应改为“证明对任意三角形 ,平面内必存在一点 ,使其关于三角形三边的对称点构成正三角形” .因为当三角形最大角小于 1 2 0°时 ,此点在三角形内 ;当最大角等于 1 2 0°时 ,此点在最大角的对边上 ;当最大角大于 1 2 0°时 ,此点在三角形外部 .5月号给出的解答只证明了第一种情况 ,但第二和第三种情况可类似证明 ,其作法对三种情况都适合 ,下面按其作法画出后两种情况 ,Ｗ为所求点 ,Ｗｉ(ｉ =1 ,2 ,3)为其关于三边的对称点 .图 1…     

数学问题解答

20 0 3年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 42 6　AN是△ABC的角平分线 ,AN的延长线交△ABC的外接圆于D ,M是AN上一点 ,直线BM、CM分别交△ABC的外接圆于E、F ,DF交AB于P ,DE交AC于Q .求证 :P、M、Q三点共线 .(江西省宜丰县二中　龚浩生　 33630 0 )证明　如图 ,连结PM、QM、BD .因为∠PAD =∠MAC ,∠ADP=∠ACM ,所以∠BPD =∠NMC ,△APD ∽△AMC .又∠PDB =∠MCN ,所以△BDP∽△NCM ,所以 PBMN =PDMC =APAM.所以PM ∥BN ,即PM ∥BC .同理 :QM∥BC所以P、M、Q三点共线1 42 7　ai(i =1 ,2 …     

一道解析几何综合题的探究

涉及平面解析几何中的最值(或取值范围)问题是高考中的一个创新点与难点,考查形式变化多样,常考常新.结合一道解几背景下最值问题的求解,从不同思路展开,采用不同技巧方法解决,开拓数学思维,提升试题的宽度与厚度,有效指导数学教学与解题研究.