2002年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)试题及解答

参考公式三角函数的积化和差公式sinα cosβ =12 [sin(α β) sin(α -β) ]cosα sinβ =12 [sin(α β) - sin(α -β) ]cosα cosβ =12 [cos(α β) cos(α -β) ]sinα sinβ =- 12 [cos(α β) - cos(α -β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ c) l;其中 c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长 .球体的体积公式V球 =43πR3 ,其中 R表示球的半径 .1.选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1)不等式组 x2 - 1<0x2 - 3x <0 的解集是 (　…     

三角“条件求值”问题的一些解法

1　代入法例 1　已知 tgα .ctgβ =5,求 sin(α β) .csc(α -β)值 .解　∵　　　 tgα .ctgβ =5,∴　 sin(α β) csc(α -β) =sin(α β)sin(α -β)=sinαcosβ cosαsinβsinαcosβ - cosαsinβ=tgαctgβ 1tgαctgβ - 1=5 15- 1=32 .2　配凑法例 2　已知 π2     

公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释

在直角坐标系内单位圆上设A (cosα ,sinα) ,B (cosβ ,sinβ)(其中α ,β∈R) ,则OA———→ =(cosα ,sinα) ,OB———→ =(cosβ ,sinβ) .又　 |OA———→| =|OB———→| =1,OA———→·OB———→ =cosαcosβ +sinαsinβ ,cos(α -β) =cos∠BOA =cos〈OA———→ ,OB———→〉 .而OA———→·OB———→ =|OA———→|·|OB———→|cos〈OA———→ ,OB———→〉=cos〈OA———→,OB———→〉=cos(α-β) ,∴　cos(α -β) =cosαcosβ +sinαsinβ .公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释$山…     

再谈一类三角问题解的讨论

题目 1已知cosα -cosβ =12 ,sinα -sinβ =- 13,求cos(α +β) ,sin(α +β) ,cos(α - β) ,sin(α -β) .解　设z1=cosα +isinα ,z2 =cosβ +isinβ则 |z1|=|z2 |=1,且由题意可得z1-z2 =12 - 13icos(α +β) ,sin(α +β)即为z1z2 的实部和虚部 ;cos(α - β) ,sin(α - β)即为 z1z2的实部和虚部 ;1)∵z1z1=|z1|2 =1,z2 z2 =|z2 |2 =1,易得z1z2 =- z1-z2z1-z2=-12 - 13i12 +13i=- 513+1213i,即cos(α +β) =- 513,sin(α +β) =1213.2 )设 z1z2=z1z2z2 z2=z1z2 =1z2 z1=x .∵ (z1-z2 ) (z1-z2 ) =z1z1-z1z2 -z2 z1+z2 z2 ,∴ (12 - …     

为几例三角题解把脉

三角函数是中学数学的重要内容之一 ,它除具有一般函数性质外 ,还具有一系列特殊的性质 ,同学们在求解时 ,稍有不慎就会“误入歧途”且不易觉察 .本文为几例三角题解把把脉 ,望同学们能从中有所领悟 .病因 1　忽视三角函数的有界性例 1　已知sinαcosβ =12 ,求t =sinβcosα的范围 .病解　把sinαcosβ =12 与t=sinβcosα相加 ,得sin(α +β) =12 +t .∵ - 1≤sin(α +β)≤ 1,∴ - 1≤ 12 +t≤ 1,即 - 32 ≤t≤ 12 .诊断　未能充分挖掘正、余弦函数的有界性 .事实上 ,由sinαcosβ =12 ,得sin(α +β) +sin(α - β) =1,即sin(α +β) =1…     

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）

第Ⅰ卷(选择题　共 5 0分 )参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 〔sin(α+ β) +sin(α- β)〕cosαsinβ=12 〔sin(α+ β) -sin(α- β)〕cosαcosβ=12 〔cos(α+ β) +cos(α - β)〕sinαsinβ=- 12 〔cos(α+ β) -cos(α- β)〕正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ +c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一 选择题 :本大题共 1 0小题 ,每小题 5分 ,共 5 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1 )设集合A={x｜x2 - 1 >0 },…     

2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ=12 〔sin(α+ β) +sin(α- β)〕cosαsinβ =12 〔sin(α+ β) -sin(α- β)〕cosαcosβ =12 〔cos(α+ β) +cos(α- β)〕sinαsinβ=- 12 〔cos(α + β) -cos(α- β)〕正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′+c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一 选择题( 1 )同新课程卷 ( 2 )( 2 )圆锥曲线 ρ=8sinθcos2 θ的准线方程是(A) ρcosθ=- 2 (B) ρcosθ=2(C) ρsinθ=- 2 (D) ρsinθ=2( 3)同新课程卷 ( 3)( 4 )…     

一个条件,多种结论

若α、β、γ满足: sinα sinβ sinγ=0 (1) cocα cosβ cosγ=0 (2)则有 sinα=-(sinβ sinγ)(3) cosα=-(cosβ cosγ) (4) (3)的平方加上(4)的平方得: cos(β-γ)=-1/2 (5) 这是我们要证的第一个结论由(5)还可得:β-γ=2/3π 2kπ其中k∈Z。同理可证:γ-α=2/3π 2kπ,α-β=2/3π 2kπ、因此,在(1)、(2)条件下,有结论:α、β、γ依次相差2/3π 2kπ,(k∈Z)——这是要证的第二个结论。     

构造法解三角函数题

一、构造数列等差 (等比 )中项求三角函数值例 1已知sinα +cosα =15 ,α∈ (0 ,π) ,求tanα =?解　∵　sinα +cosα =2× 110 ,∴　sinα、110 、cosα成等差数列 ,设公差为d ,sinα =110 -d ,cosα =110 +d .∵　sin2 α +cos2 α =1,知d =± 710 ,当d= -710 时sinα =810 ,cosα =-610 ,tanα =-43 ;当d =710 时 ,sinα =-610 <0与α∈ (0 ,π)不符 ,∴　tanα =-43 .例 2已知sinαcosα =122 5 ,α∈ (0 ,π4) ,求tanα =?解　∵　sinαcosα =122 5 =(125 ) 2 ,∴　sinα、 125 、cosα成等比数列 ,设公比为 q ,∴　sinα =125 q ,…     

运用两个比例定理巧解三角题

在求解某些三角函数题时 ,通过揭示题目中的比例关系 ,运用等比定理和合分比定理可得到简捷巧妙的解决 .等比定理是指 :若 b1a1=b2a2 =b3a3=… =bnan =k ,则b1+b2 +b3+… +bna1+a2 +a3+… +an=k(其中a1+a2 +a3+…+an≠ 0 ) .合分比定理是指 :若 ba =dc ,则 a -ba +b=c -dc+d(其中a +b ,c +d≠ 0 )或 a +ba -b=c +dc-d(其中a -b ,c -d≠ 0 ) .下举几例以说明 .例 1　求证 :1) 1+sin2θ -cos2θ1+sin2θ +cos2θ=tanθ ;2 ) 1+secα +tanα1+secα -tanα=secα +tanα .证明　 1)因为tanθ =sinθcosθ=2sinθ·cosθ2cos2 θ =sin2θ1+cos2…     

应用万能公式解竞赛题

在众多竞赛题中,虽然不是三角题目,但若能类比万能公式,往往可以推陈出新.本文撷取几例以供参考. 1.应用于证明不等式(或恒等式) 例1 已知x,y,z为正实数,且 求证:证明考虑要证式子的特点,可作代换x=tanα,y=tanβ,z=tanγ,其中α,β,γ均为锐角,则已知可化为sin2α sin2β sin2γ=2,同时cos2α cos2β cos2γ=1,而     

一组角度公式及其应用

定理　若OB与OC确定的平面为α ,OA为平面α的一条斜线 ,且AB⊥α ,若记∠AOB =θ1,∠BOC =θ2 ,∠AOC =θ ,二面角C -OA -B的大小为β ,则图 1　定理证明用图cosθ =cosθ1·cosθ2 (1)cosβ =tanθ1tanθ (2 )sinβ =sinθ2sinθ (3)简析 :要证明 (1) ,只需过B作BD⊥OC于D即可 (如图 1) ;要证明 (2 ) ,(3) ,则过B作BE⊥OB于B ,且使BE∩OC =E ,然后过B作BF⊥OA于F ,再连结EF .可以证明图 2　定理证明用图∠BFE =β(如图 2 ) ,具体证明从略 .例 1　如图 3,球O的截面BCD把球面面积分成1∶3两部分 ,BC是截面圆的直径 ,…     

错在哪里

题目 :已知 sin2α=a,cos 2 a=b,则 tan(a π4)的值为 (　　 ) .(A) 1 a b1 - a b　　　 (B) a - b 1a b- 1(C) 1 ab (D) b1 - a解法 1　因为1 a b1 - a b=1 sin 2α cos 2α1 - sin 2α cos 2α=1 2 tanα1 tan2α 1 - tan2α1 tan2α1 2 tanα1 tan2α 1 - tan2α1 tan2α=1 tanα1 - tanα=tan(α π4) .所以选 (A) .解法 2　因为a - b 1a b- 1 =sin 2α- cos 2α 1sin 2α cos 2α - 1　 =2 sinα .cosα- (1 - 2 sin2α) 12 sinα .cosα (1 - 2 sin2α) - 1　 =sinα(cosα sinα)sinα(cosα- sinα) =cosα …     

一道三角函数题的复数解法

我们先看下面这道题及其常规解法.题目:已知cosA+cosB+cosC=0,sinA+sinB+sinC=0,求证:cos3A+cos3B+cos3C=3cos(A+B+C),sin3A+sin3B+sin3C=3sin(A+B+C).解法一:由条件可得cosA+cosB=-cosC,sinA+sinB=-sinC,则(cosA+cosB)2+(sinA+sinB)2=1.     

一类离心率范围问题的统一结论

1　题目已知椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 ) ,F1,F2 是焦点 ,如果C上存在一点P ,使∠F1PF2 =α(0° <α<180°) ,则椭圆离心率的范围是sin α2 ≤e <1.证明　方法 1:设 |PF1| =m ,|PF2 | =n ,∠PF2 F1=θ,则∠PF1F2 =180° - (α +θ) .在△F1PF2 中 ,根据正弦定理得 :msinθ=nsin[180° - (α +θ) ]=2csinα,根据比例性质及诱导公式得m +nsinθ +sin(α +θ) =2csinα.因m +n =2a ,故 2asinθ +sin(α +θ) =2csinα,所以e =ca =sinαsinθ +sin(α +θ)=2sinα·cos α22sin α2 +θcos α2=sin α2sin(α2 +θ)≥sin α2 ,当…     

2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

第Ⅰ卷　　参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 [sin(α β) sin(α- β) ]cosαsinβ=12 [sin(α β) -sin(α- β) ]cosαcosβ=12 [cos(α β) cos(α - β) ]sinαsinβ =- 12 [cos(α β) -cos(α - β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一、选择题( 1 )设集合M ={(x,y) ｜x2 y2 =1 ,x∈R ,y∈R},N ={(x ,y) ｜x2 -y=0 ,x∈R ,y∈R},则集合M∩N中元素的个数为 (　　 )(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3…     

研究三角函数性质的法宝——“三个一”

高一学生分析问题时最缺乏的就是目标意识,有的同学拿到三角函数性质的题目,想半天都没有一个明确的解题方向,其实所有这类问题都是首先将目标三角函数化为“三个一”:y=Asin(ωx+φ)+k的形式,即一个角的一种函数名称的一次式的形式,因为课本中三角函数的每一种性质都是由“三个一”型三角函数而展开讨论的,我们只有将目标三角函数化归成这种模型,才能使用课本结论灵活解题·例1求函数y=sin3xsin3cxos+22cxos3xcos3x+sin2x的最小值.分析只需将目标三角函数化简为“三个一”:y=Asin(ωx+φ)+k的形式即可·解法1因为sin3xsin3x+cos3xcos3x=(sin3xsinx)sin2x+(cos3xcosx)cos2x=21[(cos2x-cos4x)]sin2x+21[(cos2x+cos4x)cos2x]=21[cos2x+(cos2x-sin2x)cos4x]=21(cos2x+cos2xcos4x)=21cos2x(1+cos4x)=cos32x,∴y=cos32xcos22x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+4π).当sin(2x+π4)=-1时,y...     

构造平面向量,解决三角问题

平面向量的引入 ,不仅给传统的中学数学增添了新的活力 ,也为一些三角问题的解决提供了新的思路 .下面就如何利用向量这一有力工具 ,简捷而巧妙地解决某些三角问题作一粗浅的探讨 .例 1　求sin2 2 0° +cos2 5 0° +sin2 0°cos5 0°之值 .解　构造向量a =(3sin2 0° ,sin2 0°) ,b =(3cos5 0° ,-cos5 0°) ,则a +b =(3(sin2 0° +cos5 0°) ,sin2 0° -cos5 0°)=(2 3sin30°cos10° ,2cos30°sin (- 10°) ) =(3cos10° ,- 3sin10°) .由 (a +b) 2 =a2 +2a·b +b2 ,有3=4sin2 2 0° +2 (3sin2 0°cos5 0° -sin2 0°cos5 0°) +4cos2 5 0…     

坐标法·图形特征·三角等式

题目:已知Sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0(α、β、γ是任意实数),求证:sin3α+ sin3β+sin3γ=3sin(α+β+γ)、cos3a+cos3β+cos3γ=3cos(α+β+γ),此题在《数学通讯》1986年11期《问题解答》栏里用复数的有关知识进行了证明,一般资料上也是这样证明的,下面我从单位圆的角度给出一个简捷证法,     

三角题的解析证法

有些三角题若用三角法求解则解法冗长 ,教材中的两角差的余弦公式是利用单位圆上的点的坐标给予证明的 .这给予我们启示 ,若有 f( cosα,sinα) =0 ,注意到 sin2α +cos2 α=1 ,我们可以把点 P( cosα,sinα)看成单位圆 x2 + y2 =1与曲线 f ( x,y) =0的交点 .因此某些三角题可以用解析法求解或证明 ,这样做还可以帮助学生融化贯通各科知识 .例 1　△ ABC中cos A sin A 1cos B sin B 1cos C sin C 1=0 .求证 :△ ABC为等腰三角形 .图 1证明　由条件知 :单位圆上三点P1( cos A,sin A) ,P2 ( cos B,sin B) ,P3 ( cos C,sin C)三点共线…