上期课外练习解答

高一年级1.( 1)易知△ABC为直角三角形 .由OC2 =OA×OB ,得 4×OB2 =42 ,∴　OB =2 ,　OA =8.过A( -8,0 ) ,B( 2 ,0 )的抛物线解析式设为 :y =a(x +8) (x -2 ) .将C( 0 ,4)代入得　a =-14 .∴　y =-14 (x +8) (x -2 ) .( 2 )易求得D( -3 ,2 54) ,S△ADC=12 [2 54-48× ( 8-2 ) ]× 8=13 .2 . -3 016x2 -2 ( 5 -k)x +16>0 Δ1 =( 5 +k) 2 -14 2 <0Δ2 =( 5 -k) 2 -162 <0 -19相似文献   

用构造法证明不等式

证明不等式时 ,从研究题目的条件与结论入手 ,巧妙构造方程、函数、不等式、数列、图形等 ,可以使不等式获得简捷证明 ,下面从四个方面谈谈怎样用构造法证明不等式 .1　寻觅题设或结论的固有规律进行“构造”例 1　已知a>b>c.求证 1a-b+ 1b-c+1c-a >0 .简析 :寻觅题设条件a >b>c的固有规律 ,若令x1>x2 >0 ,则必有a=x1+c,b=x2 +c .用构造方程a =x1+c ,b=x2 +c(x1>x2 >0 )去证明 ,简洁明快 .证明　因为a>b>c可构造方程a =x1+c,b =x2 +c(x1>x2 >0 ) ,将它们分别代入特征式 ,得 1a-b + 1b-c + 1c-a =1(x1+c) - (x2 +c) + 1x2 +c-c +1c- (x1+c) =…     

两条直线关系的点拨（高二、高三）

一、运用向量求直线方程新课本特点之一是引入向量 ,这里提供一个运用向量巧妙求直线方程的例子 .例 1　过点P(3 ,0 )作一条直线 ,使它夹在两直线 2x- y - 2 =0和x +y +3 =0之间的线段AB恰被P点平分 ,求此直线方程 .解 :设OA =(x1 ,2x1 - 2 ) ,OB =(x2 ,-x2 -3) ,而OP =(3,0 ) .则PA =(x1 - 3,2x1 - 2 ) ,PB =(x2 - 3 ,-x2 - 3) .∵PA +PB =O .∴ (x1 +x2 - 6,2x1 -x2 - 5) =(0 ,0 ) .　即x1 +x2 - 6=02x1 -x2 - 5 =0 ,　解得x1 =1 13x2 =73 .∴A 1 13 ,1 63 .所以 ,直线方程为 8x -y- 2 4 =0 .二、运用两条直线重合的条件新课本对…     

综合题新编选登

题 8 2 　已知函数 f(x) =- x3 +ax2 +b(a,b∈R) .1)若函数 y=f(x)图象上任意不同的两点连线斜率小于 1,求证 :- 3相似文献   

女子奥赛题的另证

这是《中学生数学》2009年10月(上)的《女子奥赛题的巧证》题:(第四届中国女子数学奥林匹克)设正实数x,y满足x3+y3=x-y,求证:x2+4y2<1.本文给出另一种巧妙的证明方法,与大家共赏.证明∵x,y为正实数     

综合题新编选登

题 8 8 　已知数列 {an},{bn}且a1=b1=1,an + 1=an+ 3bn,bn + 1=an+bn,记xn =anbn.1)求xn + 1与xn 的关系式 .2 )判断数列 {|xn - 3| }的单调性 .3)求数列 {xn}的极限值 .4 )求证 :|x1- 3| + |x2 - 3| +… +|xn - 3| <3+ 1.解　 1)xn + 1=an + 1bn + 1=an+ 3bnan +bn=anbn+ 3anbn+ 1=xn + 3xn + 1,其中x1=a1b1=1.2 )xn + 1- 3=xn+ 3xn+ 1- 3=( 1- 3) (xn- 3)1+xn.∵x1=1,xn + 1=xn + 3xn + 1,∴xn >0 .∴ |xn + 1- 3| =3- 11+xn|xn - 3|<( 3- 1) |xn - 3|<|xn - 3| .　 {|xn - 3| }为递减数列 .3)由 2 )知 :n >1时 ,0 <|xn - 3| <( 3- 1) |x…     

运用相等关系证明不等式

许多恒等式在一定条件下 ,可以轻易转化为不等式 ,因而 ,利用相等关系证明不等式是一种重要方法 .例 1　若a>b >c,求证 :a2a-b+b2b-c>a +2b +c.(第 32届乌克兰IMO试题 )证明 :　不难寻找如下等式 :a2a-b+b2b-c=(a2 -b2 ) +b2a -b +(b2 -c2 ) +c2b-c ,于是 a2a-b+b2b-c=a+b+b2a -b +b+c+c2b-c=a+2b+c+b2a-b+c2b-c;考虑 b2a-b+c2b-c>0 ,故 a2a -b+b2b-c>a+2b+c.例 2　设x1 ,x2 ,… ,xn 为正数 ,求证 :x21 x2+x22x3+… +x2 n -1 xn+x2 nx1≥x1 +x2 +… +xn.(1 984年全国高中数学联赛试题 )证明 :　显然 ,x21 x2 +x22x3 +… +x2 n -1 xn +x2 n…     

向量不等式a·b≤|a|·|b|的应用

对于任意两个向量 a,b,有不等式 a.b≤|a|. |b|当且仅当向量 a与 b同向时为等式 .此不等式结构简单 ,形式隽永 ,内涵丰富 .运用它处理某些与不等式相关的代数问题简捷明快 ,颇具特色 .1　求函数的最值例 1　求函数 f(x) =3x +2 +44- x2 的最大值 .解　令 a =(3,4 ) ,b =(x,4 - x2 ) ,则 f(x) =a . b +2 ,|a|=5 ,|b|=2 .故 f(x)≤ |a|. |b|+2 =12 ,当且仅当 a与 b同向 ,即 3x=44 - x2 >0时取等式 .解之　 x =65 .故当　 x =65 时 ,f(x) m ax =12 .例 2　求实数 x,y的值 ,使得 f(x,y) =(1- y) 2 +(x +y - 3) 2 +(2 x +y - 6 ) 2取得最小值 . (…     

问题与解答

一本期问题 1 已知一直角三角形的面积为S,周长为l,求以二直角边为二根的一元二次方程。 2 求证(π-3.1415926) (π-3.1415927)≥-2.5×10~(-15) 陕西富平美原中学八五级郭翔宇提供 3 若x、y为实数,且有 y=(1-x~2)~(1/2)+(x~2-1)~(1/4)/2x-3求log_(1/2)(x+y)的值. 4 已知2x+5y+4z=0.3x+y-7z=0,求证 x+y-z=0. 5 已知锐角△ABC中有cosA+cosB-cos(A+B)=3/2,求证△ABC为等边三角形。     

函数单调性的应用

单调性是函数的一个基本性质 ,该性质有广泛的应用 ,主要用于如下几个方面 :1　比较两个数的大小例 1　比较log2 (x + 1)与log2 ( 2x + 3)的大小 .简析　从题设的两个对数 ,便联想起y =log2 u在 ( 0 ,+∞ )上是单调函数 ,因此只要比较两个真数的大小 ,原题就可获解 .解　由 x + 1>0 ,2x + 3>0 ,解得x >- 1.当x >- 1时 ,有 0 - 1,且x≠ 0 ,n∈N ,n≥ 2 ,求证 :( 1+x) n>1+nx .简析　欲证 ( 1+x) n >1+nx ,需…     

初二代数第一学期期中自测题

A组题一、判断题 (每小题 2分 ,共 1 0分 )1 .x5-y5=(x2 -y2 ) (x3 +y3 ) (　 ) .2 .(x -y) n=(y-x) n(n为偶数 ) (　 ) .3 .x6-y6=(x3 -y3 ) (x3 +y3 )=(x -y) (x2 +y2 ) (x3 +y3 ) (　 ) .4.(a -b) 2 -(a +b) 2 =2a4(　 ) .5 .8a3 -6a2 +2a的公因式是 2a (　 ) .二、选择题 (每小题 3分 ,共 2 4分 )1 .1 6a2 +2m +b2 是一个完全平方式 ,那么m的值是 (　 ) .A .± 4ab　B .± 1 6ab　C .± 3 2ab　D .1 6ab2 .下列分解因式错误的是 (　 ) .A .4a2 -1 =( 2a +1 ) ( 2a -1 )B .a4-64=(a2 +8) (a +2 2 ) (a -2 2 )C .a4+1 =(a2 -1 ) (a2 -…     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课　题　整式与分式的求值适用年级　初中二年级学期　 2 0 0 3— 2 0 0 4学年度第一学期训练目的典型范例　　已知x + y=1,x2 + y2 =2 ,求x7+ y7的值 .分析与解答　所求式与已知式关系甚远 ,考虑添设辅助式 (中间元素 )x3+ y3与x4 + y4 ,沟通它们之间的联系 ,缩短它们之间的距离 .分析与解　∵　x +y =1,　x2 +y2 =2 ,∴　xy =12 [(x + y) 2 -(x2 + y2 ) ]=12 (12 -2 ) =-12 ,x3+y3=(x +y) (x2 -xy + y2 )=1× (2 + 12 ) =52 ,x4 + y4 =(x2 + y2 ) 2 -2x2 y2=2 2 -2 (-12 ) 2 =72 .故　x7+ y7=(x3+ y3) (x4 + y4 ) -(x4 y3+x3y4 )=(x3+ y3)…     

一类不等式的图象解法

例1,解不等式(x+7)~(1/2)>x+((x+1)~2-4x)~(1/2) 解:原不等式变形为 (x+7)~(1/2)>x+|x-1|在同一坐标系中分别作出函数y=(x+7)~(1/2) 与y=x+|x-1|的图象交于A、B(x_A相似文献   

用向量证明不等式两例

由向量的内积:a·b=|a|·|b|·cosθ, 可得 因为 -1≤cosθ≤1, 所以有 这个结论在证明不等式时常常用到. 例1 已知口a2+b2+c2=1,x2+y2+z2= 1,其中a、b、c、x、y、z均为实数,求证: -1≤ax+by+cz≤1. 证明 设p=(a,b,c), q=(x,y,z), 则 ,即.     

上期课外练习参考解答

初一年级1.依题意有x3 + y6=3x5 + y12 =4解得 x =75y =-13 2 .所以　A B =75A +B-13 2(A + 1) (B + 1) ,3 4=757-13 22 0 =14 43 5 .2 .注意到　A1 =A2 -7,A3=A2 + 7,所以　A1 +A2 +A3=A2 -7+A2 +A2 +7= 3A2 = 48,A2 =16.于是表中这个大月的日期为 :星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六12 3456 78910 1112 1314 1516 171819 2 0 2 12 2 2 32 4 2 52 6 2 72 82 930 313 .∵　 90 1 0 =(9× 10 ) 1 0 =91 0 × 10 1 0<10 1 0 × 10 1 0 =10 2 0 ,∴　 90 1 0 <10 2 0 .初二年级1.由已知a2 -b2 =17b(a +b) ,当a +b≠ 0时 ,a…     

试题研讨(13)

题 1　 (2 0 0 3年安徽省春季高考试题 )设α、β为 x2 - x - 1=0的根 ,且α>β,令 cn =αn -βn　 (n∈ N+) .(1)求 c1 ,c2 ,c3 ;(2 )证明 :1α2 n-1 +1α2 n >1c2 n-1 +1c2 n;(3)证明 :∑nk=11ck <α.命题溯源　数列与不等式相结合的题型是高考命题中的一个“热点”,在全国各地的综合测试卷中出现的频率较高 .1998年及2 0 0 2年高考都是以这类题型作为压轴题 ,它能很好的考查学生知识转化为能力的水平层次 .原题思路　 (1)解方程 x2 - x - 1=0得α =1+52 ,　β =1- 52 ,则c1 =α-β=5 ,c2 =α2 -β2 =5 ,c3 =α3 -β3 =2 5 .(2 )易得α+…     

利用导数解不等式问题

本文举例说明导数在解(证)不等式中的应用. 例1 解不等式 8/(x+1)3+10/x+1-x3-5x>0. 解 设f(x)=x3+5x,因为f'(x)=3x2+5>0,∴f(x)在R上是单调递增函数.原不等式等价于f(2/x+1)>f(x),∴2/x+1>x,解得x<-2或-1相似文献   

代数替换证不等式

证不等式,技巧性很强。用三角代换法者屡见不鲜。但若另辟蹊径,巧用本文中的代数代换,又可别开生面,另有一番情趣。例1 已知a,b∈R求证a~2+ab+b~2-3a-3b+3≥0 证明令x=1/2(a+b), y=1/2(a-b), 则a=x+y, b=x-y,于是原式左边=(x+y)~2+(x~2-y~2)十(x-y)~2 -3〔(x+y)+(x-y)〕+3=3x~2+y~2-6x+3=3(x-1)~2+y~2≥0。例2 已知a,b∈R~+,求证(当且仅当c=b时,取等号)。证明:令x=1/2(a+b),y=1/2(a-b),则a=x     

借分点公式解一类不等式

议定理x任(二，，x:)幼存在一个正数几，使了=卫+叔2 1+几‘利用上述的分点公式定理，可以巧解一类不等式a0并借助根域法(一2x2一x+4一O的两根为一1士甲丽4，了+3J一1一O的两根为一3士、/丽2 )可解得x任一3一训丽2一1一甲丽4一3+甲产万2一1+勺崛百4 )，这就是原不等式的解.(解答略)注此题若按常规解法，不仅要求解两个:、_一:、3扩一工一7_.3工2一了一7__、一分…     

巧化齐次式妙证不等式

若不等式两边各项的次数相等 ,不妨称之为齐次不等式 .如均值不等式中 ,ａ2 +ｂ2 ≥2ａｂ ,是齐二次不等式 ,ａ +ｂ+ｃ3 ≥ 3 ａｂｃ是齐一次不等式 ,对某些非齐次不等式的证明 ,若能结合题设条件 ,将低次项的次数适当升高 ,从而将原不等式转化为齐次不等式来处理 ,往往会产生出奇制胜的解题效果 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ+ｂ +ｃ=1.求证 :ａｂ +ｂｃ+ｃａ≤ 13 .分析　所证不等式左边是二次式 ,右边是一个常数 ,即零次式 .由已知　ａ +ｂ+ｃ =1,∴　　　 (ａ+ｂ+ｃ) 2 =1,从而所证不等式可化为齐二次不等式ａｂ +ｂｃ+ｃａ≤ 13 (ａ +ｂ+ｃ) 2 ,即　ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ａｂ +ｂｃ+ｃａ .而　左边 -右边= 12 [(ａ-ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 +(ｃ -ａ) 2 ] ≥ 0 ,∴　原不等式成立 .例 2　已知 ｐ3 +ｑ3 =2 .求证 :ｐ+ｑ≤ 2 .分析　所证不等式左边为一次式 ,右边为零次式 ,考虑到已知等式是一个三次式 ,从而将所证不等式两边立方 ,得 (ｐ+ｑ) 3 ≤ 8,∵　ｐ3 +ｑ3 =2 ,　∴　 8=4( ｐ3 +ｑ...