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题 8 5　 旅客在车站排队购票 ,并且排队的旅客可视为匀速的增加 .当车站开放一个售票窗口时 ,需要 4 0分种将等待购票的旅客的车票全部售出 (即每名排队旅客可购得一张所需车票 ) ;当车站同时开放两个售票窗口时 ,只需 15分钟便可将全部购票的旅客的车票售出 .在春运期间 ,有一班增开过站客车进站运送旅客 .因时间紧张 ,所有排队购票的旅客必须在 5分钟内全部购票上车 (假设等待购票旅客都乘坐该车 ,并且购票后立即上车 ) ,问此时车站最少要同时开放几个售票窗口 ?解　设售票开始时排队购票的旅客有x人 ,排队的人数每分钟增加 y人 ,每个售…     

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题 92 　 (扇形材料的下料问题 )要想在一块圆心角为α (0 <α <π) ,半径为R的扇形铁板中截出一块面积最大的矩形 ,应该怎样截取 ?求出这个矩形的面积 .解　 1)当 0 <α≤ π2 时 ,有两种截取的情形 :情形 1:如图 1,矩形的一条边落在半径上 ,设AB =x ,AD =y ,Rt△AOD中 ,OD =ysinα,△ODC中 ,∠ODC =π -α ,由余弦定理得R2 =x2 + y2sin2 α- 2·x· ysinαcos(π -α)≥2xysinα+2xycosαsinα ,∴xy≤ R2 sinα2 (1+cosα) =12 R2 tan α2 .当且仅当x =ysinα时等号成立 ,结合xy =12 R2 tan α2 ,易求 y =Rsin α2 ,OD =R2cos …     

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题 8 7　 在某建筑工地 ,需要将钢管、木条、木板等材料从楼梯运到不同的楼层 ,由于受楼梯空间所限 ,其长度也有所限制 .现有一空间 (如图 1所示 ) :先从宽为 2米的巷道 ,转入一宽为 1.5米的楼梯道 ,其高度为 3.5米 .1)若将钢管从楼梯运到楼上 ,其最大长度为多少 ?2 )若将宽为 1.5米的矩形木板 (厚度不计 ) ,从楼梯运到楼上 ,其长最多为多少 ?解　如图 1,将钢管AB运到楼上 ,要使AB最长 ,则A应触到天花面 ,B触及地面 ,A在地面射影为C .则有 :AC =3.5 (m) ,AB =3.5 2 +BC2 ,AB要最长 ,只要BC最长 .∴问题转化为在水平面上求BC的最大值…     

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题 8 3　 A1,A2 ,A3 ,A4这 4位同学去购买编号分别为 1 ,2 ,3,… ,1 0这 1 0本不同的书 ,为了节约经费和相互交流的方便 ,他们约定各人购买书的本数相同 ,任 2位同学均不能买全这 1 0本书 ,任 3位同学均买全这1 0本书 .问每人至少买几本书 ?解　设Ai 买的书的号码构成的集合为Ni,i=1 ,2 ,3,4 ,u ={1 ,2 ,… ,1 0 }.当 1≤i≠j≠k≤ 4时 ,有Ni∪Nj∪Nk={1 ,2 ,… ,1 0 },∴ 3|Ni|≥ |Ni∪Nj∪Nk|=1 0 ,∴ |Ni|≥1 03,∴ |Ni|≥ 4 ,i =1 ,2 ,3,4 .若 |Ni| =4 ,不妨设使 |Ni∪Nj| (i≠j)取得最小的是 |N1∪N2 | .如果 |N1∪N2 |≤ 5,…     

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题 95 　天燃气管道轮兰线管理公司 (以下简称管道公司 )所管理的从塔里木盆地的轮南到兰州的输气管道总长约 2 5 0 0公里 ,管道半径 1米 .管道公司每天从塔里木油田购进的天燃气的纯度为10 0 ,价格为 0 .8元 / m3 ,输入管道的气速度为 10米 /秒 .管道公司每天分早、中、晚三次向兰州送气 ,共送气 5个小时 (因为兰州市每天用气高峰期是早、中、晚三次做饭时间 ,共约 4小时 ,兰州煤气公司已将原来的煤气厂、液化气站建成了贮气仓库 ,可将高峰期时多送的天燃气贮存起来供非高峰期时使用 ) .在天燃气运输过程中 ,管道公司建立了一些高压泵站…     

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题 75 　有一旗杆高 1 2米 ,从它的顶端挂下 2条长 1 3米的绳子 ,拉紧绳子 ,把它的下端放在地平面两点 ,而这两点和旗杆的脚不在同一条直线上 ,如果这两点和旗杆脚的距离都是 5米 ,请问旗杆和地面垂直吗 ?并证明你的结论 .解　旗杆与地面垂直 .证明如下 :图 1　题 75图如图 1 ,在△ＰＯＡ中 ,ＰＯ =1 2米 ,ＰＡ =1 3米 ,ＯＡ =5米 ,有ＯＡ2 +ＰＯ2 =ＰＡ2 ,所以∠ＰＯＡ=90°,同理∠ＰＯＢ =90° ,得ＰＯ⊥ＯＡ ,ＰＯ⊥ＯＢ .又Ｏ ,Ａ ,Ｂ不在一直线上 ,由线面垂直的判定定理可得 :ＰＯ⊥地面 .背景材料　本题的素材来源于一学生在学习立体…     

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题 6 3　 某小区要建一座八边形的休闲小区 ,它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ＡＢＣＤ和ＥＦＧＨ构成的面积为2 0 0平方米的十字形地域 .计划在正方形ＭＮＰＱ上建一座花坛 ,造价为每平方米4 2 0 0元 ;在四个相同的矩形上 (图中阴影部分 )铺花岗石地坪 ,造价为每平方米 2 1 0元 ;再在四个空角上铺草坪 ,造价为每平方米80元 .1 )设总造价为Ｓ元 ,ＡＤ长为ｘ米 ,试建立Ｓ关于ｘ的函数关系式 ;2 )当ｘ为何值时Ｓ最小 ;并求出这个最小值 .图 1　题 6 3图解　 1 )设ＤＱ =ｙ米 ,ＡＤ =ｘ米 ,则ｘ2 + 4ｘｙ =2 0 0 ,∴ ｙ =2 0 0 -ｘ24ｘ …     

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题 6 7　 某种期刊销售定价如下 :Ｃ(ｎ) =6ｎ ,若 1≤ｎ≤ 2 4 ;5 .5ｎ ,若 2 5≤ｎ≤ 4 8;5ｎ ,若ｎ≥ 4 9.这里ｎ表示订购书的数量 ,Ｃ(ｎ)是订购ｎ本书所付的钱款数 (单位 :元 )1)有多少个ｎ使得存在ｍ >ｎ ,买ｍ本书的钱比恰好买ｎ本书所花的钱少 ?2 )若一本书的成本是 4元 ,现有两人买书 ,每人至少买 1本 ,两人共买 6 0本 ,则期刊社至少能赚多少钱 ?至多能赚多少钱 ?解　 1)由Ｃ (2 5 ) =137.5 ,Ｃ (2 4 ) =14 4 ,Ｃ(2 3) =138,Ｃ(2 2 ) =132 .有Ｃ(2 5 ) <Ｃ(2 3) <Ｃ(2 4 ) .由Ｃ(49) =2 4 5 ,Ｃ(48) =2 6 4,Ｃ(47) =2 5 8.5 ,Ｃ(46…     

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题 8 1　 夏天 ,广州电网用电短缺 :每天从早晨 8点整到下午 6点整为用电正常期 ,每小时缺电 30 0万千瓦 ;从下午 6点整到晚上 1 0点整为用电高峰期 ,每小时缺电 750万千瓦 ;从晚上 1 0点整到次日早晨 8点整为用电低谷期 ,每小时缺电 1 0 0万千瓦 .广州电力局拟向广西电网购买电量来维持电网的正常运转 (广西电网有足够多的富余电量可调配 ) ,但所购电量是一个定值 (即广州电网不管是处于用电高峰期 ,还是用电低谷期 ,买入的电量相同 ) .因此 ,电量买多了 ,低谷期时就造成了浪费 ;买少了 ,高峰期时又不够用 .为此 ,广州电力局拟建一座调峰蓄…     

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题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

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题 8　现在农田灌溉普遍使用喷灌设备 ,一套设备由一台口径为 0 .1米的抽水机和数节型号一样的输水软管组成 ,当用ｎ (ｎ∈Ｎ ,ｎ≤ 10 )节串连对接在抽水机出水口处的输水软管输水时 ,抽水机的出水速度ｖ(米 /秒 )是ｎ的一次函数 ,当ｎ =1时 ,ｖ =6,当ｎ= 3时 ,ｖ =5 .若将要浇的某块地划分为 10等份 ,每份所需水量相同 ,10份地由远到近依次需用 10 ,9,… ,2 ,1节串连的软管输水 ,记用ｎ节串连的软管输水所用的时间为ｔ(秒 ) .经测量知 :ｎ =1时 ,ｔ =60 0秒 .1)将ｔ表示为ｎ的函数 .2 )浇好此块地所用的总水量为多少立方米 ?解　 1)设ｖ =…     

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题 1 　某车间有 10台同类型的机床 ,每台机床配备的电动机功率为 10千瓦 ,已知每台机床工作时 ,平均每小时实际开动 12分钟 ,且开动与否是相互独立的 .1)现因当地电力供应紧张 ,供电部门只提供 5 0千瓦的电力 ,这 10台机床能够正常工作的概率为多大 ?2 )在 1)的条件下 ,一个工作班的 8小时内 ,不能正常工作的时间约是多少 ?解　 1)设 10台机床中实际开动的机床数为随机变量 ξ,由于车床类型相同 ,且机床的开动与否相互独立 ,因此 ξ～B(10 ,p) .其中 p是每台机床开动的概率 ,由题意 p =126 0 =0 .2 ,所以P(ξ =k) =Ck10 ×0 .2 k× 0 .81…     

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题 6 0　(单利下等额还款问题 )某人年初向建行货款 10万元 ,年利率为 5 % ,且这笔借款分 10次等额归还 (不计复利 ) ,每年一次 ,并从借后次年开始归还 .若还款方式有如下两种方案 :甲 :将 10万元分成 10份 ,ａ1,ａ2 ,… ,ａ10 (ａ1>ａ2 >… >ａ10 ) ,第一次归还第一份ａ1元及其 1年利息 ;第二次归还第二份ａ2 元及其 2年利息 ;……第十次归还第 10份ａ10元及其 10年利息 .乙 :将 10万元分成 10份 :ａ1,ａ2 ,… ,ａ10 (ａ1<ａ2 <… <ａ10 ) ,第一次归还第一份ａ1元及其 10万元一年利息 ;第二次归还第二份ａ2 元及其 (10 5-ａ1)元一年利息 ;…     

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题1　某企业有一条价值a万元的生产流水线,要提高该生产流水线的生产能力,提高产品的增加值,就要对流水线进行技术改造,假设增加值y万元与技改投入x万元之间的关系满足1y与(a- x)x2 成正比例.2当x =a2 时,y=a32 .30≤x2 (a- x)≤t,其中t为常数且t∈[0 ,2 ].1)设y=f(x) ,求出f(x)的表达式,并求其定义域;2 )求出增加值y的最大值,并求出此时的技改投入x值.解　1)设y=f (x) =k(a- x ) x2 ,因当x =a2时,y=a32 .故a32 =k(a- a2 ) (a2 ) 2 ,∴k=4 ,从而有y=4 (a- x) x2 .因0≤x2 (a- x) ≤t,解得0≤x≤2 t1+ 2 ta,于是f(x) =4 (a- x) x2 (0≤x≤2 t…     

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题 78　 某人从报社买进本市晚报的价格是每份0 .5元 ,卖出的价格是每份 1.0元 ,卖不掉的以每份0 .2元退回报社 .在一个月 (30天 )里 ,有 2 0天每天卖出 10 0份 ,其余 10天每天卖 5 0份 ,但每天从报社买进的份数必须相同 .他应该每天从报社买多少份 ,才能使所得的利润最大 ?最大利润是多少 ?解　设此人每天从报社买ｘ份 (5 0≤ｘ≤ 10 0 ) ,则每月卖出 (2 0ｘ +10× 5 0 )份 ,退回 10 (ｘ - 5 0 )份 .设 ｆ(ｘ)为每月所得的利润 .由于每份报纸卖出得利 0 .5元 ,退回亏损 0 .3元 ,则ｆ(ｘ) =0 .5 (2 0ｘ +10× 5 0 ) - 0 .3× 10 (ｘ - 5 0 )…     

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有4个相同的电池,每个的电动势都是ε,内阻都是r,把它们按①,②,③,④,⑤五种电路连接,对任何电阻为R的负载供电,要使负载得到的电功率最大,可以淘汰的电路是.解　②,③.电功率N =I2 R ,对同一个负载R ,电流强度I越大时,电功率越大.I1=4εR + 4r=12ε3R + 12r,I2 =3εR + 2r+ r2=12ε4R + 10r,I3 =2εR +r + r3=12ε6R + 8r,I4=2εR + 12 ·2r= 12ε6R + 6r,I5=εR + 14 r=12ε12R + 3r.显然6R + 8r>6R + 6r,I3 相似文献