Fibonacci数的一组整除特征

Fibonacci数列 {Fn}定义如下 :F0 =0 ,F1=1 ,Fn +1=Fn+Fn - 1(n =1 ,2 ,… ,) ,我们把{Fn}中每一项Fn 叫做一个Fibonacci数 .本文将讨论Fibonacci数Fn 被某些整数整除的特征 .在其证明过程中所用到的关于整除、最大公约数、最小公倍数以及同余的一些简单性质 ,恕不一一列作引理 .此外 ,证明过程中还用到下列数据 :F0 =0 ,F1=1 ,F3=2 ,F4 =3,F5=5,F9=34,F10 =55,F15=6 1 0 ,F16 =987,F2 7=1 96 41 8,F2 8=31 781 1 ,等等 ,这些数据 ,都不难利用Fibonacci数列的定义直接计算得到 .以下的引理是后面定理的证明过程所必须的 .引理 1 […     

正Fibonacci数的标准分解式中因子5的指数

根据Fibonacci数列的定义,利用初等数论的知识和数学归纳法,讨论了正Fibonacci数Fn的标准分解式中因子5的指数与下标n的关系,得到下列结论:正Fibonacci数Fn的标准分解式中因子5的指数,与下标n的标准分解式中因子5的指数一致.     

利用Fibonacci数列解题

Fibonacci数列本身就有很大的魅力 ,吸引着许多数学爱好者去学习和研究 .这里我们将视角定位在如何利用该数列去解决一些数学竞赛中的问题 .Fibonacci数列是指由下面的递推式定义的数列 {Fn}:F0 =F1 =1,Fn + 2 =Fn+ 1 +Fn ,n =0 ,1,2 ,…可以利用特征方程的方法求出其通项公式 ,也可以用数学归纳法证出其许许多多的性质 .但在这里我们更多的是用到其本身 ,而不是它的性质 .例 1(第 5 2届波兰数学竞赛试题 )　考虑数列 {xn}:x1 =a ,x2 =b ,xn + 2 =xn + 1 +xn,n =1,2 ,… ,这里a ,b∈R .对任意c∈R ,如果存在k ,l∈N ,k≠l ,使得xk =xl=…     

尾数恰含k个零的正Fibonacci数

根据正Fibonacci数Fn的标准分解式中,因子2和因子5的指数的性质,利用初等数论的知识,讨论了尾数恰含k个零的正Fibonacci数Fn的下标n的特征,并证明了:对于任意大的正整数k,都存在着尾数恰含k个零的正Fibonacci数.     

卢卡斯数列与斐波那契数列的递归关系研究

法国数学家Edward Lucas曾将数列0,1,1,2,3,4,8,13…命名为斐波那契数,随之而来的则是另外一个数列2,1,3,4,7,11,18…这就是人们所说的卢卡斯数列.卢卡斯数列(下左)与斐波那契数列(下右)有着相同的递归方程,但其首项不同. { Ln+2=Ln+Ln+1L0=2 L1=1 {Fn+2=Fn+Fn+1{F0 =0{F1 =1 事实上,在卢卡斯数列与斐波那契数列中呈现了许多相似的性质.在斐波那契数列中,如果p是q的因子,那么斐波那契数Fp同样是Fq的因子.例如,3是6的因子,那么F3=2也是F6=8的因子.     

一个问题的解决

本文将解决文[1]末提出的如下问题： 问题1 求函数y-^n∑i=1Fi｜x-Fi｜的最小值，其中x∈R,{Fn}n≥0为Fibonacci数列，它由F0=0,F1=1,Fn＋2=Fn＋1＋Fn（n∈N）确定。     

一个问题的解决

本文将解决文[1]末提出的如下问题:问题1求函数y=∑ni=1Fi|x-Fi|的最小值,其中x∈R,{Fn}n≥0为Fibonacci数列,它由F0=0,F1=1,Fn 2=Fn 1 Fn(n∈N)确定.引理1当且仅当x∈[a,b]时,函数y=|x-a| |x-b|(a,b,x∈R,a相似文献   

斐波那契数列的通项

大家都知道斐波那契（Fibonacci Number）关于兔子繁殖的故事．兔子每月的数量依次为一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377…,设这个数列记为{Fn}：F1,F2,F3,F4,…,Fn,…,易知,F1=F2=1,从第3项起每一项都等于它的前两项的和,     

一类非线性递归序列的极限

探讨了形如Fn+2=a1Fnb1+1+a2Fbn2+1,n 1的非线性递归序列{Fn}的极限问题,给出了在满足一定条件时,序列{Fn}的极限值与初始值无关.     

Fibonacci数列与三道不等式的指数推广

著名的斐波那契 (Fibonacci)数列具有以下一个重要性质 :设 F1 =F2 =1 ,Fn 2 =Fn 1 Fn,n≥ 1 ,则Fn 3 =2 Fn 1 Fn.文 [1 ] [2 ] [3] [4]曾先后涉及到三道不等式 ,笔者发现其字母指数恰按斐波那契数列呈现 .请看 :问题 1　 (第 2 6届 USAMO赛题 )证明对所有正实数 a、b、c     

Fibonacci数列的又一重要应用

由初始条件f0=1，f1=1及递推关系fn=fn-1＋fn-2（n≥2）所确定的数列{fn}n≥0叫做Fibonacci数列，fn叫做Fibonacci数．fn的通项公式为。     

一道竞赛题的朴素证法

由递推关系Fn+2=Fn+1+Fn(n∈N)和F0=1,F1=1所确定的数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,…叫做裴波那契数列.……     

费波那契数的封闭特点

由 a1=1 ,a2 =1 ,an+2 =an+ an+1,可得著名的费波那契数列1 ,1 ,2 ,3,5,8,1 3,2 1 ,34,55,89,1 4 4,…人们曾探索了费波那契数列的许多有趣性质 ,比如文 [1 ]所给出的重要结论 :( 1 ) Fn+d .Fn- d - F2n =( - 1 ) n- d+1F2d( n≥ d) ;( 2 ) Fn Fn+4 - Fn+1Fn+3=2 .( - 1 ) n- 1;( 3) Fn Fn+4 + Fn+1Fn+3=2 F2n+2 .等等 .笔者发现费波那契数的有关运算有封闭特点 ,即运算结果仍是费波那契数 .笔者给出如下的定理　 Fn Fn+d - Fn+1Fn+d- 1=( - 1 ) n+1Fd- 1　 ( d≥ 2 ,n、d∈ N) .证明　 Fn =15[( 1 + 52 ) n -( 1 - 52 ) n].利用 1 …     

Fibonacci数列模p~r的周期性研究

对任意素数p、正整数r,Fibonacci数列{Fn}对pr取模构成一个数列{an}.若{Fn}的最小正周期为T,则{an}的最小正周期为pr-1T,首次提出该定理,并用数学归纳法进行了证明.此外对任意正整数m,不加证明地给出了{Fmod m}的周期性定理.     

渐近非扩张非自映射的收敛定理(英文)

设E是实的一致凸Banach空间,K是E的一个非空闭凸集,P是E到K上的非扩张的保核收缩映射.设T1,T2,T3:K→E分别是具有数列{hn},{ln},{kn}[1,∞)的渐近非扩张非自映射,使得sum (hn-1) from n=1 to ∞<∞,sum ((ln-1)) from n=1 to ∞<∞及sum (n=1(kn-1) from n=1 to ∞<∞,且F=F(T1)∩F(T2)∩F(T3)={x∈K:T1x=T2x=T3x}≠Ф.定义迭代序列{xn}:x1∈K,xn+1=P((1-αn)xn+αnT1(PT1)n-1yn),yn=P((1-βn)xn+βnT2(PT2)n-1zn),zn=P((1-γn)xn+γnT3(PT3)n-1xn),其中{αn},{βn},{γn}[ε,1-ε],ε是大于零的实数.(i)如果T1,T2,T3中有一个是全连续的或者半紧的,则{xn}强收敛于某一点q∈F;(ii)如果E具有Frechet可微范数或者满足Opial’s条件或者E的对偶空间E~*具有Kadec-Klee性质,则{xn}弱收敛于某一点q∈F.     

Fibonacci数列的模数列的周期的一个性质

Fibonacci数列的模数列是周期数列,并且是纯周期数列.利用模数列的定义,讨论了Fibonacci数列的模数列的周期的一个性质,证明了下列结果:假设m1与m2为不同的正整数,Fibonacci数列{Fn}的模数列{an(m1)}与{an(m2)}的最小正周期分别为T1与T2,则模数列{an([m1,m2])}的最小正周期为[T1,T2].     

连通的K_{n}-残差图

m-K_{n}-残差图是由P. Erd\"{o}s, F. Harary和M. Klawe等人提出的, 当m=1时, 他们证明了当n\neq1,2,3,4时, K_{n+1}\timesK_{2}是唯一的具有最小阶的连通的K_{n}- 残差图. 首先得到了m-K_{n}-残差图的重要性质, 同时证明了当n=1,2,3,4时, 连通K_{n}-残差图的最小阶和极图, 其中当n=1,2时得到唯一极图; 当n=3,4时, 证明了恰有两个不同构的极图, 从而彻底解决连通的K_{n}-残差图的最小阶和极图问题. 最后证明了当n\neq1,2,3,4时, K_{n+1}\timesK_{2}是唯一的具有最小阶的连通的K_{n}-残差图.     

非线性递归数列的极限

探讨了形如Fn+p=pΣ1=1α1Fbin+i,≥1的非线性递归数列{Fn)的极限问题,给出了在满足一定条件时,数列{Fn}极限存在且与初始值无关.     

正项等比数列的一类递推公式

文 [1]作者在某些特定形式下 ,研究了等差数列的一类递推公式 .笔者受此启发 ,研究了相应的正项等比数列的一类递推公式 ,设数列 {an}的前n项之积为Tn,则对形如Tn=f(n ,an)的递推公式所确定的数列 {an},在一定特定形式下是一个等比数列 .笔者经初步探索 ,得到如下结果 .命题 1　已知正项数列 {an}的前n项之积为Tn,若对任意的自然数n均有Tn =( pan) n ( 1)　其中p为正常数 ,则数列 {an}为等比数列 .证　由已知 ,当n≥ 2时 ,Tn + 1=(pan + 1) n + 1( 2 )( 2 )÷ ( 1)得　　 an - 1n + 1pann=1( 3)由 ( 3)得 ann + 2 pan + 1n + 1=1( 4)( 4)…     

求数列前n项和的三种方法

<正>在我校一次质量检测试卷中,有一道数列题,原题如下:在等差数列{a_n}中,a_2=5,a_1+a_3+a_4=19.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{b_n}前n项和为S_n,且S_n+a_n-1/2ⁿ=λ(λ为常数),令c_n=b_(n+1()n∈Nn=λ(λ为常数),令c_n=b_(n+1()n∈N⁺).求数列{c_n}的前n项和T_n.