小品中的数学悖论

前不久从电视中看到了这样一则小品：一个卖桔人,正在出售１００斤鲜桔,桔价是每斤１元．这时来了两个古怪的买桔人,其中一个光买桔皮,另一个光买桔肉．卖桔人想了想说：“我的鲜桔１元１斤,如果光卖桔皮按３元４斤,光卖桔肉按７元６斤,你们看怎么样？”两位买者欣然同意,于是买卖成交．算帐时卖桔人发现他仅收入了９５．８元（注：１００斤鲜桔出桔皮和桔肉各半）,而不是１００元,怎么会是这样呢？卖桔人大惑不解．卖桔人所碰到的这个问题实质上是数学悖论中售货悖论的翻版,要想弄清这个问题,我们先来看一看什么是售货悖论．一…     

数学悖论撷芳

大量的数学推理中，常常出现从看来合理或公认合理的知识背景中推导出有悖常理或两个相互矛盾的结果，即悖论．这些悖论，领域广泛，存在于许多分支之中，既具有极强的幽默色彩，又具有极强的思辨品格．我们无法穷尽这些“上帝的秘密”，但在整个人类文明的长河中，它是人...     

悖论与数学基础问题(Ⅰ)

This expository article is motivated by two well-known antinomies. The first is the extended Zeno paradox concerning two persons playing at a ball, passing theball to and fro within 1/2,1/4,1/8,…, minutes successively, and questioning the place of the ball at the end of one minute. The second antinomy is that of Engels concerning the real infinitude of successively generated finite ordinals. In order to explain away or give answer to these two antinomies, we have constructed a kind of non-Cantorian model for the sequence of natural numbers by the aid of Van Osdol-Takahashi's ultrapower (extended real number field) ^*R. In what follows are a few definitions and some propositions discussed in this article.     

悖论与数学基础问题(Ⅱ)

在本文中,主要讨论悖论定义问题,此外,还将对‘悖论的起源’、‘数学三次危机’和‘Zermelo解决悖论的方案’等内容作简要的综述和评论。至于Russell对悖论的解决方案与悖论成因等内容的讨论将在本文的续篇中给出。     

悖论与数学基础问题(补充)

在我们的文章(Ⅲ)中,曾从认识论角度讨论了悖论的成因。这里还可进一步指出,单侧面的抽象概念思维(单相性抽象巴维)和超限度的概念思维(无限制扩张式的抽象思维)往往是导致推理形式矛盾的基本原因。 从反映论观点看,凡是客观上具有某种对立统一的结构属性的对象(例如兼具有潜无限与实无限双重性质的无限性对象,兼具有‘连续性’与‘点积性’双重环节的时间连续统与直线连续统等等),在数学的单相性抽象形式思维里,均可能导致形式推理上的悖论。事实上,每一个数学概念都要求确定性和纯一性,它只能一意地反映客体对象中本来相互     

悖论与数学基础问题(Ⅲ)

本文主要讨论恶性循环原则与类型混淆原则的划分。这是由于我们在一些场合发现有把两个原则混为一谈的情形而引起的。在这个讨论中,我们把“非直谓定义法”划分为广义、狭义和等价式三种情形。本来是没有这种划分的,现在这样做,首先是因为Russell的恶性循环原则指出:‘没有一个整体能包含一个只能借助于这个整体定义的元素’,既有‘只能’,当然应有‘并非只能’的情形。因此,‘只能’和‘并非只能’将是可以得到区分的。另外,‘总体G就是被定义的对象H’显然是‘只能借助总体G来定义H’的一个特殊情形,因此,‘只能’和‘等价式’也将是可以区分的。而对非直谓定义法作了如上的划分之后,将有助于我们对恶性循环原则与类型混淆原则的直观性了解,因之针对等价式非直谓的类型混     

漫谈数学悖论的方法论意义

我们知道,数学理论体系的和谐完美,历来是数学家工作的奋斗目标之一。如果某一数学理论体系中出现了(逻辑)矛盾,那么该体系就算不上和谐完美。正因为如此,人们不愿看到,在他们公认为完美无缺的某一数学理论体系之中出现数学悖论。然而,数学发展史清楚地告诉我们,那些新颖独特的数学思想方法。和谐统一的数学理论体系。又大多是在数学悖论的发现和排除过程中产生并发展起来的。这就不得不使我们认真思考并充分肯定数学悖     

两个有趣的数学悖论

本文从实变函数的测度解释了油漆罐的面积无限,而体积有限的悖论.从分形理论解释了Koch雪花曲线的周长无限,而所围的面积有限的悖论.     

悖论与数学基础问题(补充二)

如文(Ⅰ)所述,“抛球问题”是由西方数理哲学家作为zeno悖论的引伸而提出来的(见本刊1982年第三期)。很明显,如果把时间连续统的数学模型取成标准实数集R的话,则该问题将无从产生,也就谈不上有何悖论,原因是抛球运动对时点t=1并无定义。 另一方面,如果把时间连续统的数学模型取成为非标准实数连续统R,则时点t的变域将包括半开区间[0,1)内一切非标准的与标准的实数点。于是“时间t到达1”的含义可解释为“时点t按其标准部份(standard part)取到标准实数1”。这就是说,“时点     

与数学危机相关的理论：芝诺悖论

大家或许听说过这样一则小故事：有一个理发师“给所有不自己理发的人理发”,那么请问谁给理发师理发？ 想出来了吗？在这个故事中是找不到人给理发师理发的。这就是数学史上一个有名的悖论（所谓悖论是指与人的直觉和日常经验相矛盾的命题,     

悖论与分式方程

数学上有一个著名的“2 =1悖论” .通过证明得出 2 =1的结论 .具体过程如下 :证明　设ａ =ｂ ,则ａ2 =ａｂ .ａ2 -ｂ2 =ａｂ -ｂ2 .(ａ +ｂ) (ａ -ｂ) =ｂ(ａ -ｂ) ,ａ +ｂ =ｂ ,ｂ +ｂ =ｂ ,2ｂ =ｂ ,2 =1.这个看似天衣无缝的证明 ,其实并不严密 .第 4步 (ａ +ｂ) (ａ -ｂ) =ｂ(ａ -ｂ)到第 5步ａ +ｂ =ｂ ,是两边同时除以 (ａ -ｂ) ,但我们假设ａ =ｂ ,所以ａ -ｂ =0 ,因此我们是在两边同时除以 0 ,于是出现了悖论 .利用这个悖论可以很好地说明分式方程增根的问题 .为了明晰起见 ,将这几步重新书写于下 ,并添补上最关键的一步 .(ａ +ｂ) (…     

康托定理与理发师悖论

1什么是悖论我们给悖论下一个进行式的定义:悖论就是导致矛盾但原因不明的推理.根据这一定义,一旦矛盾的原因找到了,悖论也就不再是悖论了.另外,矛盾的原因应该比较难于察觉.这一定义可能与许多文献中对悖论的定义不同.笔者主张这一定义.     

Russell悖论的变形与ZFC的正则公理——对无根基悖论和多值逻辑悖论的评析与介绍

§0 引言 沈有鼎先生在[1]中构造了几个著名的悖论,即所谓‘无根基和有根基悖论’、‘循环与非循环悖论’和‘n循环与非n循环悖论’。我们首先用通俗的自然语言把这几个悖论陈述出来,再介绍ZFC系统中正则公理AxR的几种等价形式,然后利用AxR的这些等价命题对上述三个悖论进行分析,即可看出它们都是变了形的Russell悖论,并且很自然地得到结论;Russell悖论和上述三个悖论中所构造的集合,皆不在ZFC系统中,因而这些悖论将不在ZFC系统中出现。     

中房悖论

中房集团被国资委钦定为以房地产开发为主业。如此单纯与专注的主业，在央企中可谓罕见。然而，目前其下属上市公司却戴着ST的帽子，处境尴尬。中房集团下属中住地产借壳S＊ST重实，而弃自家“壳”于不顾，其背后很可能是中房集团控制力缺失的现实。在主业问题上，行政指认与市场选择之间存在的冲突与悖论，于中房集团显露无遗。     

统计学悖论

《从惊讶到思考》是《科学美国人》编写的一份介绍数学中各种悖论的科普资料。现已有中译本出版。为引起读者兴趣，我们摘录其中有关统计的几个小故事。     

谈谈谎言、悖论与逻辑

谎言与逻辑 谎言与逻辑是对立的,不相容的。人们总是使用逻辑学这一科学武器来识别谎言,分析谁是说谎者,或者透过谎言去洞察事实真相。我们试举几例来说明这一点。 1.张三说:“我从来都是说谎”。现在问:张三这句话是真话还是谎言?经过逻辑思维的判断,可以肯定,张三现在说的这句话是谎言。因为张三永远说真话,显然不成立,所以只有两种可能性:张三有时还     

数学期刊的现状与发展

本文从数学期刊的特点及其发展趋势两方面阐述数学期刊的发展状况.     

漫谈数学发展及其与社会发展的关系

着重从数学研究的特性,讨论了数学的定位;数学发展的几个阶段;数学发展与社会发展的关系中存在的某些一般规律性;数学的现状和制约数学发展的一些本质上的社会因素等几个问题.分析了我们应该如何认识数学,以及数学未来的发展在客观上应该遵从的一些规律.     

硬币悖论问题

<正>1982年5月1日的美国高考试卷中出现了一道数学选择题目如下:如图1所示,圆A的半径是圆B半径的13,圆A沿着圆B滚动,请问圆A滚动回到起始点的话本身一共转了几圈?候选选项:(A)3/2(B)3(C)6(D)9/2(E)9出题者的意图是选择(B)(3圈),但是实际正确答案是4圈,备选项里没有正确答案.据说当时参加考试的30万考生中只有3人做对了,出题者也做错了.这道题目很容易让人掉进陷阱,第一次接触这种题目的学生往往会直接选择(B),得到真正答案后觉得不可思议.由于圆A和圆B像两个大小硬币,因此这个问题后来被人们称之为硬币悖论.     

运输问题悖论

运输问题是线性规划中一个很重要的问题,现在已经知道有许多种解法,最常用的有位势法等。下面来介绍在运输问题中出现的一个奇怪现象,国外称这种现象为运输问题悖论(Transportation paradox)。某一位调度员上个月用位势法做了一个煤的调运方案(见表1)。