如何求解“给值求角”问题

“给值求角”问题的求解分为两步走 ,缺一不可 :1 )根据题设条件 ,求角的某个三角函数值 ;2 )讨论角的范围 ,必要时 ,还需根据已知三角函数值缩小角的范围 ,从而确定角的大小 .例 1　已知tan(α - β) =12 ,tanβ =- 17,且α ,β∈ ( 0 ,π) ,求 2α - β的值 .分析 :已知条件启发我们应求该角的正切值 ,并用拆角“手段”将角 2α - β分拆成2 (α - β) + β .讨论时应尽可能缩小角的范围 .解　∵tan( 2α- β) =tan[2 (α- β) + β]=tan2 (α- β) +tanβ1 -tan2 (α- β)tanβ.又　∵tan2 (α - β) =2tan(α - β)1 -tan2 (α - β) =4…     

解一道课本习题后的思考

问题　已知α + β +γ =ｎπ(ｎ∈Ｚ) ,求证ｔａｎα +ｔａｎβ +ｔａｎγ =ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ .这是现行高一数学课本(试验修订本·必修·下册 )中的一道习题 .证完此题以后继续进行一些思考与探索 ,将会发现新的问题 ,得到新的结论 ,受到新的启发 .思考 1　此习题的逆命题正确吗 ?请看以下推证 :∵ｔａｎα +ｔａｎβ +ｔａｎγ =ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ ,∴ｔａｎα +ｔａｎβ=-ｔａｎγ +ｔａｎαｔａｎβｔａｎγ=-ｔａｎγ(1-ｔａｎαｔａｎβ) .又∵ｔａｎαｔａｎβ≠ 1(如果ｔａｎαｔａｎβ =1,那么ｔａｎα+ｔａｎβ =…     

两角互余的几个等价条件

结论 1　已知α ,β为税角 ,ｋ≥ 0 ,则α +β=π2 的充要条件是ｓｉｎｋ + 2 αｃｏｓｋβ + ｓｉｎｋ + 2 βｃｏｓｋα =1 .证　必要性是显然的 ,充分性 :ｓｉｎｋ + 2 αｃｏｓｋβ + ｓｉｎｋ+ 2 βｃｏｓｋα =1 =ｃｏｓ2 β +ｓｉｎ2 β .ｓｉｎｋ + 2 α-ｃｏｓｋ + 2 βｃｏｓｋβ =ｓｉｎ2 β(ｃｏｓｋα -ｓｉｎｋβ)ｃｏｓｋα .假设α + β >π2 ,则α >π2 - β ,β >π2 -α ,∵α ,β ,π2 -α ,π2 - β∈ 0 ,π2 ,∴ｃｏｓα <ｃｏｓ π2 - β =ｓｉｎβ ,　ｃｏｓβ <ｃｏｓ π2 -α =ｓｉｎα ,从而ｓｉｎｋ + 2 α -ｃ…     

错在哪里？

题目 :已知α,β∈ - π2 ,π2 ,tanα =2m ,tanβ=m - 1 ,且α +β<π4 ,求m的取值范围 .这是某参考书上的一个习题 ,解答如下 :由α,β∈ - π2 ,π2 ,且α +β<π4 知-π <α+β<π4 .(1 )当 - π2 <α +β <π4 时 ,tan(α +β)= 3m - 1- 2m2 +2m +1 ,由于 y=tanx在 - π2 ,π4 上是增函数 ,得 3m - 1- 2m2 +2m +1 <1 ,解得 - 1 - 1 74相似文献   

一道错题

错题　 (本刊 2 0 0 2年第 14 ,16期Ｐ31第 15题 )设α ,β ,γ∈ 0 ,π2 ,且ｓｉｎα +ｓｉｎγ =ｓｉｎβ ,ｃｏｓα+ｃｏｓγ =ｃｏｓβ ,则 β -α等于 (　　 )(Ａ) - π3.　 (Ｂ) π6 .　 (Ｃ) π3或 - π3.　 (Ｄ) π3.错因　因α ,β ,γ都是锐角 ,故ｓｉｎα ,ｓｉｎβ ,ｓｉｎγ及ｃｏｓα ,ｃｏｓβ ,ｃｏｓγ均为正值 ,于是 0 <ｓｉｎα <ｓｉｎβ及0 <ｃｏｓα <ｃｏｓβ ,从而ｓｉｎ2 α +ｃｏｓ2 α <ｓｉｎ2 β +ｃｏｓ2 β ,矛盾 .题设条件不相容 ,原题是一道错题 .修正　将条件“ｃｏｓα +ｃｏｓγ =ｃｏｓβ”换为“ｃｏ…     

两个三角函数恒等式及其应用

定理 1　设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓαｓｉｎ(β -γ) ｃｏｓβｓｉｎ(γ -α) ｃｏｓγｓｉｎ(α - β) =0 . (1)　　定理 2　设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｓｉｎαｓｉｎ(β -γ) ｓｉｎβｓｉｎ( γ -α) ｓｉｎγｓｉｎ(α - β) =0 .(2 )证　构造二元一次方程组ｘｃｏｓα ｙｃｏｓβ =ｃｏｓγｘｓｉｎα ｙｓｉｎβ =ｓｉｎγ(3)(4 )由 (3) ,(4 )两式可得　　ｘｓｉｎ(α - β) =ｓｉｎ(γ - β) (5)　　ｙｓｉｎ(α - β) =ｓｉｎ(α -γ) (6 )将 (3)式两边同乘ｓｉｎ(α - β)后 ,再将 (5) ,(6 )两式代入即得定理 1.将 (4 )式…     

用图形法再解一道习题

在文 [1 ]中提出这样一个题目 :设 - 2π <α <β<-π ,求 2α- β的范围 .图 1我们用图形法给出另一种解法 ,并很直观地给出一般情况下的结论 .建立如图 1的坐标系 ,易见α ,β的范围是图 1中的阴影部分 .设 2α- β =t则 β =2α -t表示直线 .由于α ,β的取值范围是图 1中的阴影部分 ,所以π <-t<3π即　 - 3π相似文献   

一类三角函数求值问题的错解分析

高一学生在学习三角函数时 ,常会遇到一类三角函数求值问题 .他们在解决这类问题时 ,由于对已知条件挖掘不深 ,常会出现解答错误 .笔者通过几个例题加以说明 ,仅供参考 .例 1　已知ｔｇα =17,ｔｇβ =13且 0 <α <π2 ,0 <β <π2 .那么α 2 β的值是 (　　 )　　 (Ａ) π4 .　 (Ｂ) 5π4 .　 (Ｃ)π .　 (Ｄ) π4 或5π4 .错解 :∵ｔｇ2 β=2ｔｇβ1-ｔｇ2 β=231- 19=34,ｔｇα=17,　　∴　ｔｇ(α 2 β) =ｔｇα ｔｇ2 β1-ｔｇα·ｔｇ2 β=17 341- 17× 34=1.　　又∵　 0 <α <π2 ,0 <β <π2 ,　　∴　 0 <α 2 β <3π2 ,…     

一个猜想的推广

文 [1 ]提出并证明了下述的猜想 :设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ+,ｉ =1 ,2 ,…ｎ ,α>0 ,则有 :∑ ｂα+1ｉａαｉ≥ (∑ｂｉ) α+1(∑ａｉ) α ,当且仅当 ａｉｂｉ =∑ａｉ∑ｂｉ时等号成立 .本文给出上述猜想的推广并证明 :定理　设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ+,ｉ =1 ,2 ,…ｎ .1 )当α >0 ,β >0 ,α+β<1时∑ａαｉｂβｉ ≤ｎ1-α- β(∑ａｉ) α(∑ｂｉ) β;2 )当 β <0 ,α<0或α≥ 1 -β时∑ａαｉｂβｉ ≥ｎ1-α- β(∑ａｉ) α(∑ｂｉ) β.证明　首先有Ｊｅｎｓｅｎ不等式 (见文 [2 ])设ａｉ ∈Ｒ+,ｉ=1 ,2 ,…ｎ.则1ｎ∑ａαｉ ≥ (1ｎ∑ ａｉ)α　 (α …     

一个条件,多种结论

若α、β、γ满足: sinα sinβ sinγ=0 (1) cocα cosβ cosγ=0 (2)则有 sinα=-(sinβ sinγ)(3) cosα=-(cosβ cosγ) (4) (3)的平方加上(4)的平方得: cos(β-γ)=-1/2 (5) 这是我们要证的第一个结论由(5)还可得:β-γ=2/3π 2kπ其中k∈Z。同理可证:γ-α=2/3π 2kπ,α-β=2/3π 2kπ、因此,在(1)、(2)条件下,有结论:α、β、γ依次相差2/3π 2kπ,(k∈Z)——这是要证的第二个结论。     

一道例题结论的推广

本刊文 [1 ]用三角形的一个重要性质巧妙地证明了该文的例 4:设α ,β为锐角 ,且ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β =ｓｉｎ(α β) ,求证 :α β =π2 .本文推广这个结论 (从以下定理 1的证明中还可找到上述结论的简捷证明 ) .定理 1　设α ,β均为第一象限的角 ,则ｓｉｎα =><ｃｏｓβ ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β=><ｓｉｎ(α β) .证　有ｓｉｎα ,ｃｏｓα ,ｓｉｎβ ,ｃｏｓβ均为正数 ,所以ｓｉｎα =><ｃｏｓβ ｓｉｎα =><ｃｏｓβｃｏｓα =<>ｓｉｎβ ｓｉｎα·(ｓｉｎα -ｃｏｓβ) =><0 =><ｓｉｎβ(ｃｏｓα -ｓｉｎβ) ｓｉｎα…     

对一道例题的再思考

文[1 ]中王佩其老师分析了例1因为没有挖掘隐含条件而致错.其实,该题我们也可以这样巧妙地求解:构造三角形,通过三角形的性质达到问题解决.例1　(文[1 ]例1 )已知锐角α,β,γ满足sinα-sinβ=-sinγ,cosα-cosβ=cosγ,求α- β的值.解　由题意可得sinα+sin(π+ β) +sin(π-γ) =0 ,cosα+cos(π+ β) +cos(π-γ) =0 ,设A(sinα,cosα) ,B(sin(π+ β) ,cos(π+ β) ) ,C(sin(π-γ) ,cos(π-γ) )是△ABC三个顶点的坐标,则易知原点O ( 0 ,0 )是△ABC的重心.又因为△ABC的三个顶点到原点的距离都等于1 ,所以O ( 0 ,0 )还是△ABC…     

应用万能公式解竞赛题

在众多竞赛题中,虽然不是三角题目,但若能类比万能公式,往往可以推陈出新.本文撷取几例以供参考. 1.应用于证明不等式(或恒等式) 例1 已知x,y,z为正实数,且 求证:证明考虑要证式子的特点,可作代换x=tanα,y=tanβ,z=tanγ,其中α,β,γ均为锐角,则已知可化为sin2α sin2β sin2γ=2,同时cos2α cos2β cos2γ=1,而     

数论问题

(续上期 )例 9　证明 :对任意自然数n ,数 [( 3+5) n]+ 1被 2 n 整除 .这里 [x]表示实数x的整数部分 .证　论证的要点是给予 [( 3+ 5) n]的一个不同的 (但适用的 )表示 .为此 ,我们考虑数α =3+ 5的共轭数 β =3- 5,它们由整系数二次方程x2 - 6x + 4=0相关联 :是该方程的两个根 .记un=αn+ βn.我们现在易于导出 {un}(n≥ 1 )的递推公式 :以αn 乘α2 - 6α + 4=0 ,及 βn 乘 β2 - 6 β+ 4=0 ,并将结果相加 ,即得un + 2 =6un + 1- 4un,n≥ 1 ( 5)因u1=6 ,u2 =2 8都是整数 ,故由 ( 5)及归纳法知所有的un 都是整数 .注意 0 <3- 5<1 .故 0 <β…     

Tensor products of complementary series of rank one Lie groups

We consider the tensor product π_α ? π_βof complementary series representations π_α and π_β of classical rank one groups SO_0(n, 1), SU(n, 1) and Sp(n, 1). We prove that there is a discrete component π_(α+β)for small parameters α and β(in our parametrization). We prove further that for SO_0(n, 1) there are finitely many complementary series of the form π_(α+β+2j,)j = 0, 1,..., k, appearing in the tensor product π_α ? π_βof two complementary series π_α and π_β, where k = k(α, β, n) depends on α, β and n.     

对2003年一道春季招生压轴题的三问

20 0 3年春季高考数学 (理工类 )的压轴题是 :设α ,β为ｘ2 -ｘ - 1 =0的根 ,且α >β ,令ｃｎ=αｎ- βｎ(ｎ∈Ｎ) ,1 )求ｃ1,ｃ2 ,ｃ3 ;2 )证明 :1α2ｎ -1+ 1α2ｎ>1ｃ2ｎ -1+ 1ｃ2ｎ;3)证明 :∑ｎｋ=11ｃｋ<α .读罢该题和看了参考答案后 ,产生以下三问 .1　ｃｎ 怎么求∵α ,β是方程ｘ2 -ｘ - 1 =0的根 ,∴α2 -α - 1 =0 .∴　　　αｎ-αｎ -1-αｎ -2 =0 ( 1 )同理　　　βｎ- βｎ -1- βｎ -2 =0 ( 2 )( 1 ) - ( 2 )得　αｎ- βｎ- (αｎ -1- βｎ -1) -(αｎ -2 - βｎ -2 ) =0 .即　　ｃｎ-ｃｎ-1-ｃｎ -2 =0 . ( 3)( 3)即是…     

挖掘隐含条件去伪存真

解三角函数求值问题时 ,如果漫不经心 ,就可能得出多值的答案 ,而正确答案又应比它少 .如何去伪存真 ,这就需要我们深入挖掘题目中隐含条件 ,合理筛选 .例 1　已知ｔａｎ(α -β) =12 ,ｔａｎβ =-17,α ,β∈ (0 ,π) ,求 2α -β.错解　∵　 2α -β=2 (α -β) + β ,∴　ｔａｎ(2α -β) =ｔａｎ[2 (α -β) + β]　 =ｔａｎ2 (α -β) +ｔａｎβ1-ｔａｎ2 (α -β)·ｔａｎβ,ｔａｎ2 (α -β) =2ｔａｎ(α -β)1-ｔａｎ2 (α -β) =43,∴　ｔａｎ(2α -β) =1.∵　 0 <α <π ,0 <β <π ,∴　 0 <2α <2π ,-π <2α -β <2π .故　 …     

三角不等式的推广的简证

<正>文[1]给出了未加证明的如下三角不等式:若α、β、γ(0·(π/2))且tanαtanβtanγ=1,则sin~4α+sin~4β+sin~4γ≥(3/4).本文从指数及变量元数上将其推广并统一给出一个巧妙反证,供参考.     

三角函数线的妙用

同学们在学习三角函数时 ,大多比较注重三角函数的图象与性质 ,而对三角函数线重视不够 .其实用三角函数线解题直观、简捷 ,省时省力 .下面通过 6例以展示其解题的奇特功能 .例 1　若 0 <α <β <π2 ,试比较sinα -α与sinβ - β的大小 .此题求解方法繁多 ,今给出利用三角函数线的简捷求解方法 .图 1　例 1图解　如图 1 ,在单位圆中 ,CM与DN分别为角α ,β的正弦线 ,从而有12 (α -sinα) =S1为弓形ABC的面积 ,12 ( β -sinβ) =S2为弓形ACD面积 .显然S1sinβ - β.例 2　求…     

三角恒等式的应用

<正>题目(高中《数学》（必修）第一册（下）P₄₂第15题)已知α+β+γ=nπ（n∈z）,求证:tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ.这个三角恒等式,大多数同学都会证明,然而对于它的应用却不太清楚.为开阔同学们的视野,启迪思维,本文现将其应用及推广分别介绍如下: