向量共线和不共线

预备知识 :方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 .规定 0 → 与任一向量平行 .任一组平行向量都可移到同一条直线上 ,因此平行向量也叫做共线向量 .由预备知识易证定理 1.定理 1　一组平行向量共线 ,0→ 与任一向量共线 .定理 2　向量ｂ→ 与非零向量ａ→ 共线的充要条件是有且只有一个实数λ ,使得ｂ→ =λａ→ .(参见新教材高一《数学》第一册下第 10 4页 )定理 3　ａ→ ,ｂ→ 具备下列情况中的任何一种情况 ,都可以说ａ→ ,ｂ→ 共线 .1)ａ→ ,ｂ→ 中至少有一个为 0 → ;2 )ａ→ ,ｂ→ 都不为 0 → ,存在一个实数λ ,使得ｂ→=λａ→ …     

向量王国的小天使——零向量

纵观向量王国,零向量具有其它向量所没有的特性:①长度为0的向量叫做零向量,记作0 ;②规定0与任一向量平行;③零向量与零向量相等;④对于零向量与任一向量a ,有a + 0 =0 +a =a ;⑤规定零向量的相反向量仍是零向量;⑥规定0a =0 ;⑦0 =( 0 ,0 ) ;⑧规定零向量与任一向量的数量积为0 ;⑨当A =B时,AB表示零向量,它的方向不定.这些似乎都是零向量的“荣耀”,不过许多概念和定理却大有把零向量排斥在外之举,如:①定义:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量;②定理:向量b与零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b =λa ;③定理:a∥b(b…     

平面向量 复数

5.1　向量的概念及运算内容概述1.向量是区别于数量的一种量 ,它由大小和方向两个因素确定 .向量有三种表示法 :一是用有向线段 ,二是用字母 a或 AB,三是用坐标 a =(x,y) .注意共线向量 (也称平行向量 ,方向相同或相反的向量 )与相等向量 (方向相同且模相等 )的联系与区别 .2 .向量的运算有加法、减法、数乘向量和向量的数量积四种 .注意前三种向量运算的几何表示和四种运算的坐标表示 .3.向理的基本定理及相关性质(1)两个非零向量平行的充要条件 :a∥ b　 　 a =λb.设 a =(x1,y1) ,b =(x2 ,y2 ) ,则a∥ b　 　 x1y2 - x2 y1=0 .(2 )两…     

向量问题中的待定系数法

中学数学中有一重要解题方法———待定系数法 ,在新教材平面向量问题中也有着广泛的应用 ,下面举例说明 .例 1　向量ａ→ =(1 ,1 ) ,且ａ→ 与ａ→ 2ｂ→ 的方向相同 ,求ａ→·ｂ→ 的取值范围 .解　由已知 ,向量ａ→ =(1 ,1 )为确定的向量 ,向量ｂ→ 为可变向量 ,但满足“ａ→ 与ａ→ 2ｂ→ 的方向相同”的条件 ,只须设ａ→ 2ｂ→ =λａ→ ,其中λ >0 .把ａ→·ｂ→ 表示成λ的式子 ,再由λ >0确定其范围 .解　∵ａ→ 与ａ→ 2ｂ→ 的方向相同 ,且ａ→ ≠ 0 → ,∴设ａ→ 2ｂ→ =λａ→ ,其中λ >0 ,则ｂ→ =λ - 12 ａ→ .∴ａ→·…     

平行公理是一条平面几何公理

《中学生数学》2 0 0 1年 1 0月上期所发表的《用定义证明直线和平面平行的判定定理》是误解、误用平行公理之一例 .为了便于说明 ,先将该文证法照抄如下 :图 1已知 :直线ａ 平面α ,直线ｂ α ,ａ∥ｂ(如图 1 ) ,求证 :ａ∥α .证明　设点Ｐ是平面α内的任意一点 ,则Ｐ∈ｂ或Ｐ ｂ .若Ｐ∈ｂ ,由ａ∥ｂ ,知Ｐ ａ ;若Ｐ ｂ ,仍有Ｐ ａ .不然 ,则Ｐ∈ａ .在α内过Ｐ作直线ｃ∥ｂ ,又ａ∥ｂ ,根据过直线外一点有且只有一条直线与之平行 ,可知ａ、ｃ应为同一条直线 .从而ａ α ,与已知ａ α相矛盾 .因此 ,Ｐ ａ .综上 ,α内任意一点Ｐ…     

向量基本定理中λ_1和λ_2的几种求法

《全日制普通高级中学教科书 (试验修订本·必修 )数学第一册 (下 )》第 1 0 6页给出了平面向量的基本定理 :“如果ｅ1 、ｅ2 是同一平面内的两个不共线向量 ,那么对于这一平面内的任一向量ａ ,有且只有一对实数λ1 、λ2 ,使ａ =λ1 ｅ1 +λ2 ｅ2 ” .那么如何求λ1 、λ2 呢 ?本文试图给出几种经常用到的方法 .一、直接法　通过几何图形 ,由向量ｅ1 、ｅ2出发求得向量ａ ,从而求出实数λ1 、λ2 .例 1　在△ＯＡＢ的边ＯＡ、ＯＢ上分别取Ｍ、Ｎ ,使ＯＭ∶ＯＡ =1∶3,ＯＮ∶ＯＢ =1∶4,设线段ＡＮ和线段ＢＭ交于Ｐ点 ,且设ＯＡ———→ =ａ…     

5平面向量复数

5.1 向量的概念及运算 内容概述 1.向量是区别于数量的一种量,它由大小和方向两个因素确定.向量有三种表示法:一是用有向线段,二是用字母a或AB,三是用坐标a=(x,y).注意共线向量(也称平行向量,方向相同或相反的向量)与相等向量(方向相同且模相等)的联系与区别.     

直线向量的参数形式在解题中的运用

全日制普通高级中学数学教科书(实验修订本·必修)第二册(下B,P_(28))(人民教育出版社, 2003)给出共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a =λb.其中介绍一个推论:如果L为经过点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对于任一点     

构造向量,巧证不等式

现行新教材 (试验修订本必修 )中新增加的平面向量 ,具有代数形式和几何直观的双重身份 .向量引入中学课本 ,大大拓宽了解题的思路与方法 ,本文举例说明如何构造向量 ,利用其性质证明不等式 .1　应用 | ｐ| - | ｑ| ≤ ｐ± ｑ ≤ ｐ + ｑ公式 | ｐ| - | ｑ| ≤ ｐ± ｑ ≤ ｐ + ｑ 中等号在向量 ｐ , ｑ共线时才可能成立 .例 1　设ａ ,ｂ为不相等的实数 ,ｆ (ｘ) =1+ｘ2 ,求证 :ｆ(ａ) - ｆ(ｂ) <ａ -ｂ ,ａ +ｂ >ｆ(ａ) + ｆ(ｂ) .分析 :构造向量 ｐ =(1,ａ) , ｑ =(1,ｂ) ,ａ ,ｂ为不相等的实数 ,因此向量 ｐ , ｑ不共线 …     

巴卜斯定理的向量证法与六点共线问题

1　引言和预备知识向量是非常有用的一个数学工具 .它把许多几何学问题的研究从定性深入到定量 ,能够充分体现数学教学中的数形结合思想 .向量解决共线问题相当方便直接 ,它是解决共线问题的一种新途径 ,让人耳目一新 .本文用向量代数的方法证明了喻为古希腊几何的天鹅之歌的巴卜斯定理和给出了六点共线的一个充要条件 .引理 1　 (三点共线的充要条件 )设ａ =ＯＡ ,ｂ =ＯＢ ,ｃ =ＯＣ ,则Ａ ,Ｂ ,Ｃ三点共线的充分必要条件是存在不全为零的实数α,β,γ ,满足方程组 :αａ+βｂ+γｃ=0 ,α +β+γ=0图 1引理 2　如图 (1 )所示 ,ａ=ＯＡ ,ｂ…     

向量学习六注意

注意1 要区别向量a与实数a 向量a既有大小又有方向,它的大小就是向量a的模(长度),记作|a|,|a|是一个非负实数.两个向量不可以比较大小.它们之间的关系只能说是相等或不相等,平行或不平行,共线或不共线,a>b或a|b|表示向量a的长度大于向量b的长度.而实数a只有大小,没有方向,两个实数之间可以比较大小.     

共线与共面向量定理的引申与应用

定理1 （共线向量定理）：对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b的充要条件是，存在实数λ使a=λb。（见高中教材第二册（下B））     

“线面”平行判定定理的直接证明

直线和平面平行的判定 :如果平面外一条直线和平面内一条直线平行 ,那么这条直线和这个平面平行 .我发现一般证明这道题都是使用反证法 ,但我认为既然反证法可以 ,那么直接证法也必定行得通 .以下是我思考出的直接证明 .已知 :ａ 平面α,ａ∥ｂ ,ｂ 平面α ,求证 :ａ∥α .证明　在平面α上任取一个不在ｂ上的点Ａ .∵Ａ ｂ ,图 1　证明用图∴可过Ａ在α内作直线ｃ∥ｂ .而ａ α ,ｃ与ａ不重合 ,∵ａ∥ｂ ,∴ａ∥ｃ,∴Ａ ａ .又直线ｂ上所有点都不在ａ上 .由Ａ的任意性可知平面α上所有点都不在ａ上 ,由直线与平面平行的定义可知ａ∥α…     

巧用z与的关系解题

在复数学习中 ,经常遇到涉及以实数或纯虚数为条件或判断复数为实数或纯虚数的问题 .如果按照常规 ,根据概念来分析与判断 ,有时计算非常复杂 .下面关于ｚ与 ｚ的两个命题能提供一条途径 ,使得上述计算简化 ,同时能加深对复数概念的理解 .命题 1　复数ｚ为实数的充要条件是 : ｚ=ｚ .证　设ｚ =ａ ｂｉ,则 ｚ =ａ -ｂｉ.ｚ∈Ｒ ｂ =0 ｚ = ｚ .命题 2　设ｚ≠ 0 ,则ｚ为纯虚数的充要条件是 ｚ =-ｚ .证　∵ｚ≠ 0 ,设ｚ =ａ ｂｉ,则ａ ,ｂ不全为 0 .ｚ为纯虚数 ａ =0且ｂ≠ 0 ａ ｂｉ ａ -ｂｉ=0 ｚ ｚ =0 .例 1　设复数α ,β ,…     

谈有关向量教学中的几点建议——中学数学笔谈之十七

在人民教育出版社出版的高级中学试验课本《数学Ⅱ》(1993年第二版)中,编入了“平面向量”一章,并用以证明三角函数中的和差公式.正如教材一开始所说,这样的确有利于数学的进一步学习以及学习物理等课程.为了贯彻“少而精”的教学原则,这里提出有关这部分教材写法中的几点建议,供教师们教学中参考.关于向量的加、减法运算,教材中用几何方法作了简洁、明晰的阐述.但在向量倍积(数乘)的一段,证明分配律λ(ａ ｂ)=λａ λｂ(ａ,ｂ为向量,λ为实数)(1)时,用代数方法分别讨论了λ为自然数和正分数时等式成立,而对其它情况(包括λ为无理数和负数)…     

平面向量学习中应注意几个问题

人教社出版的高中数学第一册 (下 )第五章《平面向量》对初学者来说 ,容易与学过的数的性质及平面几何知识产生混淆 .为了避免错误出现 ,笔者认为同学们在学习时应注意以下几个问题 .1　“实数ａ ,ｂ ,ｃ ,且ａｂ =ａｃ,ａ≠ 0推出ｂ =ｃ”这一性质在向量的乘法运算“·”中不成立例 1　举例说明“ａ→·ｂ→ =ａ→·ｃ→ 且ａ→ ≠ 0 → ,则ｂ→ =ｃ→”不真 .解　取 |ａ→| =1,|ｂ→| =22 ,ａ→ 与ｂ→ 的夹角为 4 5° ,|ｃ→| =12 ,ａ→ 与ｃ→ 的夹角为 0° .显然ａ→·ｂ→ =ａ→·ｃ→ =12 ,但ｂ→ ≠ｃ→ .2　实数乘法中 ,“如果ａｂ…     

争鸣

问题 6　 某教师在讲授“ａ ,ｂ全为0”的否定时 ,采用如下方式进行 .“ａ ,ｂ全为 0” ,即是ａ =0且ｂ =0 .我们把ａ =0且ｂ =0记作一个命题 ｐ ,只有当ａ =0且ｂ =0时命题 ｐ才是真命题 ,其它情况都是假命题 ,它们都属于非 ｐ .非 ｐ包含三种情况 :①ａ =0且ｂ≠ 0 ;②ａ≠ 0且ｂ =0 ;③ａ≠ 0且ｂ≠ 0 ,这三种情况概括为 :ａ ,ｂ中至少有一个不等于 0 ,即ａ ,ｂ不全为 0 ,因此“ａ ,ｂ全为 0”的否定 (即非ｐ)应该是“ａ ,ｂ不全为 0” .上述讲授方式是否科学 ?问题 7　 下面的陈述是否恰当 :“或”命题是两个命题至少有一个存在的复合命…     

对一道习题答案的思考

高中数学课本 (试验修订本 )第一册 (下 )第 10 3页第 7题 :已知向量ａ→ ,ｂ→ ,求作向量ｃ→ ,使得ａ→ +ｂ→ +ｃ→=0 →,表示ａ→ ,ｂ→ ,ｃ→ 的有向线段能构成三角形吗 ?教参给出的答案是可以构成三角形 ,严格地说 ,答案是错误的 .图 1　辨析用图如图 ,令ＯＡ =ａ→ ,ＡＢ→=ｂ→ ,ＢＯ→ =ｃ→ .此时向量ａ→ ,ｂ→ ,ｃ→ 共线 ,虽然满足ａ→ +ｂ→ +ｃ→=ＯＡ +ＡＢ +ＢＯ =0 →,但显然有向线段ＯＡ ,ＡＢ ,ＢＯ不能构成三角形 ,所以答案应该是不一定构成三角形 .那么若表示ａ→ ,ｂ→ ,ｃ→ 的有向线段能构成三角形 ,图 2　辨析用…     

平面向量基本定理的相关性质及应用

平面向量的基本定理是平面向量坐标表示的基础,说明了同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.即:如果e_1,e_2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ_1,λ_2,使a=λ_1e_1 λ_2e_2.这一对有序实数决定了向量a与基底向量e_1,e_2的位置关系.下面就实数λ_1,λ_2的变化所反映的向量a与基底向量e_1,e_2的几种位置关系作一些初     

一题三变话“四心”

近年来,随着平面向量的引入,与三角形的“四心”(内心、外心、重心、垂心)有关的几何问题已经成为各种考试考查的热点,求解这类问题的基本策略是利用好以下两个判定向量平行与垂直的基本性质.性质1a⊥b(a,b为非零向量)a·b=0.性质2存在唯一实数λ,使a=λb(b≠0)a∥b(b≠0)a与b(