综合题新编选登

题 4 9　 设数列 {ａｎ}为等差数列 ,且ａｎ<ａｎ + 1,前 6项的平方和为 70 ,立方和为0 .1 )求 {ａｎ}的通项ａｎ;2 )在平面直角坐标系内 ,直线ｌｎ 的斜率为ａｎ,且与曲线 ｙ =ｘ2 相切 ,与 ｙ轴交于Ｂｎ,记ｂｎ=|Ｂｎ + 1Ｂｎ| ,求ｂｎ;3)对于 2 )中数列 {ｂｎ},求证 :ｓｉｎｂ1+ｓｉｎｂ2 +… +ｓｉｎｂｎ <32 .解　 1 )依题意 ,有 :ａ21+ａ22 +ａ23 +ａ24+ａ25 +ａ26=70 ,ａ3 1+ａ3 2 +ａ3 3 +ａ3 4+ａ3 5 +ａ3 6=0 .∵ {ａｎ}为等差数列 ,∴ａ1+ａ6=ａ2 +ａ5 =ａ3 +ａ4.若ａ1+ａ6>0 ,得到 :ａ3 1+ａ3 6=(ａ1+ａ6) (ａ21+ａ1ａ6+ａ26)>0…     

等差数列的又一个性质

结论　已知数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}是两个公差均不为零的等差数列 ,如果ａｋ1=ｂｌ1=ｃ1,ａｋ2 =ｂｌ2 =ｃ2 ,其中ｋ1,ｋ2 ,ｌ1,ｌ2 ∈Ｎ ,且ｋ1<ｋ2 ,ｌ1<ｌ2 ,那么等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的各项一定是数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公共项 .证　设数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公差分别是ｄＡ 与ｄＢ,且ｄＡ≠ 0 ,ｄＢ≠ 0 .等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的第ｎ项可表示为ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2-ｃ1) ,ｎ∈Ｎ .下面证明ｃｎ 是数列 {ａｎ}中的某一项 .数列 {ａｎ}的通项公式是ａｎ=ａ1+ (ｎ -1 )ｄＡ,令ａ1+ (ｘ - 1 )ｄＡ=ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2 -ｃ1)=ａ…     

数列极限、数学归纳法

选择题1　下列命题正确的是 (　　 )(Ａ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=α ,则ｌｉｍｎ→∞ａ2 ｎ=α2 .(Ｂ)若ｌｉｍｎ→∞ ａ2 ｎ=α2 ,则ｌｉｍｎ→∞ａｎ=±α.(Ｃ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=α ,ｌｉｍｎ→∞ ｂｎ=β,则ｌｉｍｎ→∞(ａｎｂｎ) =αβ .(Ｄ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=∞ ,ｌｉｍｎ→∞ ｂｎ=0 ,则ｌｉｍｎ→∞ ａｎ·ｂｎ=0 .2　若 |ａ 2 | 2ｂ - 1=0 ,ａ ,ｂ∈Ｒ ,则无穷等比数列ａｂ ,ｂ ,ｂａ ,…的各项和为 (　　 )(Ａ) - 2 .　 (Ｂ) - 23.　 (Ｃ) 34 .　 (Ｄ) 2 .3　若ｌｉｍｎ→∞[12 - (ｒ1 ｒ) ｎ]=12 ,则ｒ的取值范围是(　　 )(…     

一道课本习题的商榷

全日制普通高级中学教材 (试验修订本 (必修 )人民教育出版社编 )《数学》第一册 (下 )Ｐ 15 1复习参考题Ｂ组练习第 4题 :已知ａ +ｂ =ｃ,ａ -ｂ =ｄ ,求证 :|ａ| =|ｂ| ｃ⊥ｄ .我们认为由ａ +ｂ =ｃ,ａ -ｂ =ｄ ,|ａ| =|ｂ|并不能推出ｃ⊥ｄ .例 1　当ａ =ｂ=0时 (此时 |ａ| =|ｂ| ) ,则ｃ =ｄ =0 .例 2　当ａ =ｂ≠ 0时 (此时 |ａ| =|ｂ| ) ,则ｄ =0 .例 3　当ａ =-ｂ≠ 0时 (此时 |ａ| =|ｂ| ) ,则ｃ=0 .以上三例虽然有 |ａ| =|ｂ| ,但均不能推出ｃ⊥ｄ(因为 0与任一向量平行 ) .综上所述 ,此题有误 .笔者认为应改为 :已知ｃ ,ｄ为非…     

一类含绝对值函数图象的简便作法

对于 ｆ(ｘ) =|ａ1ｘ ｂ1|± |ａ2 ｘ ｂ2 |±…± |ａｎｘ ｂｎ|这类含绝对值的函数的图象 ,一般的作法是分区间进行讨论化成分段函数 ,然后作分段函数的图象 .这一作法计算量大而繁锁 ,下面介绍一种作这类函数图象的简便方法 .函数 ｆ(ｘ) =|ａ1ｘ ｂ1|± |ａ2 ｘ ｂ2 |±…± |ａｎｘ ｂｎ|中 ,不妨设ａｉ>0 (ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) .又设 |ａｉｘ ｂｉ|=0的根为ｘｉ 且ｘ1<ｘ2 <… <ｘｎ(若不满足ｘ1<ｘ2 <… <ｘｎ,可化成这种形式 ) .令Ａ =ａ1±ａ2 ±…±ａｎ,Ｂ=ｂ1±ｂ2 ±…±ｂｎ,那么作 ｆ(ｘ)图象的方法如下 :第一步 :求点 .…     

更正一道习题的解答

本刊 2 0 0 1年 2 0期第 3 2～ 3 3页上有一道题为 :8.已知ａ ,ｂ ,ｃ为某一直角三角形的三边长 ,ｃ为斜边 ,若点Ｍ (ｍ ,ｎ)在直线ａｘ +ｂｙ - 2ｃ =0上 ,则ｍ2 +ｎ2 的最小值为.在同期 3 3页上给出解答为 :依题意 ,有ａ2 +ｂ2 =ｃ2 ,且ａｍ +ｂｎ =2ｃ ,∴ａｍ +ｂｎ≤ａ2 +ｍ2 +ｂ2 +ｎ22=ｃ2 +ｍ2 +ｎ22 .即ｍ2 +ｎ2 ≥ 4ｃ -ｃ2 =- (ｃ- 2 ) 2 +4,∴当ｃ=2时 ,ｍ2 +ｎ2 的最小值为 4.本解答结果是正确的 ,但过程有错误 .事实上 ,4ｃ-ｃ2 =- (ｃ - 2 ) 2 +4有最大值 4,由ｍ2 +ｎ2 ≥ 4ｃ -ｃ2 ,4ｃ -ｃ2 ≤ 4不能得出ｍ2+ｎ2 ≥ 4,这是…     

例说平面向量数量积的应用

平面向量数量积是平面向量的重点内容 ,它以独特的运算方式将两个向量的长度和夹角有机地联系在一起 ,为许多数学问题的解决提供了强有力的工具 .1　用于等式的证明例 1　已知ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =1,求证 :ａ2 +ｂ2 =1.证明　设ｍ =(ａ ,1-ａ2 ) ,ｎ =(1-ｂ2 ,ｂ) ,向量ｍ与ｎ的夹角为 φ ,则ｍ·ｎ =ａ 1-ｂ2 +ｂ 1-ａ2 =|ｍ| |ｎ|ｃｏｓφ=1.∵ |ｍ| =|ｎ| =1,∴ｃｏｓφ =1,φ =0° .∴ｍ =ｎ ,即 ａ =1-ｂ2 ,ｂ =1-ａ2 .两式平方相加 ,得ａ2 +ｂ2 =1.例 2　设α ,β∈Ｒ+,求证 :ｃｏｓ(α - β) =ｃｏｓαｃｏｓβ+ｓｉｎαｓｉｎβ .图…     

一道联考试题的讨论

湖北省部分重点中学 2 0 0 3届第一次联考数学试卷上有这样一道题 :已知 f(x) =ax2 +bx +c,如果x∈ [-1 ,1 ]时 ,均有 | f(x) |≤ 1 .1 )求证 :|c|≤ 1 ;2 )当x∈ [- 1 ,1 ]时 ,试求 g(x) =|cx2+bx +a|的最大值 ;3)试给出一个这样的 f(x) ,使 g(x)确实取到上述最大值 .命题者的解答如下 :解　∵x∈ [- 1 ,1 ]时 ,| f(x) |≤ 1恒成立 ,令x =0 ,得 |c|≤ 1 .2 )∵g(x) =|cx2 +bx +a|=|cx2 -c+c+bx +a|≤ |cx2 -c| + |c+bx +a|=|c| ( 1 -x2 ) + |c +bx +a|≤ |c| + |c+bx +a| ,由于函数 φ(x) =|c +bx +a|在 [- 1 ,1 ]的端点处取到最大值 .所以…     

对一个不等式的深入思考

问题　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4.这是《数学教学》2 0 0 1年第 6期问题栏的一道新题 ,我们的深入思考是 :从次数方向探索 ,对自然数ｎ ,此题有无推广的新题呢 ?推广 1　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :1 )对于 1≤ｎ≤ 4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤ 2ｂｎ 均成立 ;2 )对于ｎ >4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤2ｂｎ不能成立 .证　 1 )由原不等式ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4的证明过程易知 ,其等号当且仅当ｃｏｓＢ =12 ,且ｂ2 =ａｃ,即ａ =…     

圆锥曲线定义与范围联用事半功倍

高级中学试验修订本数学第二册 (上 )第八章介绍了圆锥曲线的定义和范围 ,在解决有关问题时 ,若能灵活运用它们 ,则可事半功倍 .例 1　 ( 1 998年希望杯赛题 )Ｅ ,Ｆ是椭圆ｘ24 + ｙ2 =1的左 ,右焦点 ,Ｐ是椭圆上的动点 ,则 |ＰＥ|·|ＰＦ|的最小值是 .解　由椭圆第二定义知 |ＰＥ|·|ＰＦ| =ｅ| ａ2ｃ-ｘＰ|·ｅ| ａ2ｃ+ｘＰ| =|ａ -ｅｘＰ|·|ａ +ｅｘＰ| =|ａ2 -ｅ2 ｘＰ2 | =| 4- 34ｘ2 Ｐ| .由椭圆范围知ｘ2 Ｐ≤ａ2 =4 .∴ |ＰＥ|·|ＰＦ|ｍｉｎ =| 4- 34·4 | =1 .例 2　 ( 2 0 0 2年全国高考题 )点Ｐ( 1 ,0 )到曲线 ｘ =ｔ2ｙ =2ｔ(…     

归纳、猜想、证明——求数列通项的一种思路

数学归纳法是证明关于自然数ｎ的命题的一种方法 .在解数列题中 ,我们可用数学归纳法得到所求数列的通项 ,当然 ,先要进行观察、归纳与猜想 .例 1　设无穷数列 {ｂｎ}的前ｎ项和为ｃｎ,且ｂｎ+ｃｎ=ｎ (ｎ∈Ｎ) .(1)求证 :数列 {1-ｂｎ}为等比数列 ;(2 )求ｌｉｍｎ→∞1ｎ2 (ｃ1 +ｃ2 +… +ｃｎ) .分析　首先观察 :ｎ =1时 ,ｂ1 +ｃ1 =2ｂ1 =1有ｂ1 =12 ;ｎ =2时 ,ｂ2 +ｃ2 =ｂ1 + 2ｂ2 =2 ,有ｂ2=34;ｎ =3时 ,ｂ3+ｃ3=ｂ1 +ｂ2 + 2ｂ3=3 ,有ｂ3=78,……由 (1)提示知 1-ｂ1 =12 ,1-ｂ2 =14 ,1-ｂ3=18,……故猜想 1-ｂｎ=(12 ) ｎ,即　ｂｎ=1…     

2001春季高考(理工类)第20题的别解

200 1年北京市、内蒙古自治区、安徽省春季高考 (2 0 )题是 :在 1与 2之间插入ｎ个正数ａ1,ａ2 ,ａ3,… ,ａｎ,使这ｎ 2个数成等比数列 ;又在 1与 2之间插入ｎ个正数ｂ1,ｂ2 ,ｂ3,… ,ｂｎ,使这ｎ 2个数成等差数列 .记Ａｎ=ａ1ａ2 ａ3…ａｎ,Ｂｎ=ｂ1 ｂ2 ｂ3 … ｂｎ.1 )求数列 {Ａｎ}和 {Ｂｎ}的通项 ;2 )当ｎ≥ 7时 ,比较Ａｎ 与Ｂｎ 的大小 ,并证明你的结论 .下面 ,本文给出一种有别于参考答案的解答 .解　 1 )　设等比数列的公比为 ｑ ,等差数列的公差为ｄ ,则据题意得ａｎ=ｑｎ 1=2 ,ｂｎ=1 (ｎ 1 )ｄ =2 ,即 ｑｎ 1=2 ,(ｎ …     

构造数列的和或积证明不等式

一类与自然数有关的不等式证明题是高考的热点问题 ,最常规的证明方法是数学归纳法和放缩法等 .但数学归纳法证明往往过程较繁 ;用放缩法时则盲目性较大 .对于两个数列 {ａｎ}与 {ｂｎ} ,有下面的结论 :1)若ａｎ<ｂｎ,则ａ1+ａ2 +… +ａｎ<ｂ1+ｂ2 +…+ｂｎ;2 )当ａｎ>0 ,ｂｎ>0时 ,若ａｎ<ｂｎ,则ａ1·ａ2 ·…·ａｎ<ｂ1·ｂ2 ·…·ｂｎ.证明某些数列不等式时若能利用此性质 ,则可使证明过程简捷明快 .1　ａ1+ａ2 +… +ａｎ<Ｂｎ 型可以构造数列 {ｂｎ} ,使得ｂ1+ｂ2 +… +ｂｎ=Ｂｎ,只需证明ａｎ<ｂｎ 即可例 1　 (1992年“三南”高考试…     

一个复数设置问题的探究

问题　应用复数知识求函数 ｙ =ｘ2 + 9+ｘ2 - 2ｘ + 5的最小值 .在一次课堂练习中 ,笔者提出以上问题 ,第一步同学们都能将此函数式化为ｙ =ｘ2 + 9+ (ｘ - 1) 2 + 4 ,转化为利用复数的模的性质来求解 .但在第二步设复数具体解的时候 ,所设复数可以说五花八门 ,而所得结果不外乎两种 ,简录四种如下 :(以下ｘ均为实数 )1)设复数ｚ1=ｘ + 3ｉ,ｚ2 =ｘ - 1+ 2ｉ,则原函数可化为 ｙ =|ｚ1| + |ｚ2 |≥ |ｚ1-ｚ2 | =| 1+ｉ| =2 .2 )设ｚ1=ｘ + 3ｉ,ｚ2 =1-ｘ - 2ｉ,则原函数可化为 ｙ =|ｚ1+ |ｚ2 |≥ |ｚ1+ｚ2 | =| 1+ｉ| =2 .3)设ｚ1=ｘ + 3ｉ…     

综合题新编选登

题 73　 双曲线 x2a2- y2b2 =1(a >0 ,b >0 )的左、右焦点分别为F1,F2 ,点P(x0 ,y0 )是双曲线右支上一点 ,且x0 >2a .I为△PF1F2 的内心 ,直线PI交x轴于Q点 ,若 |F1Q| =|PF2 | ,当a ,b变化时 ,求I分PQ的比λ的取值范围 (见图 1) .解　设双曲线半焦距为c ,则c =a2 +b2 .∵I为PQ的内分点 ,则λ =PIIQ=|PI||IQ| .由内角平分线定理知|PI||IQ| =|PF1||F1Q| =|PF2 ||F2 Q| .又∵ |F1Q| =|PF2 | .∴|PI||IQ| =|PF1||PF2 | ,可得|PI| - |IQ||IQ| =|PF1| - |PF2 ||PF2 | =2a|PF2 | ,|PI||IQ| =|F1Q||F2 Q| ,可得|PI| …     

同侧得负 异侧得正

设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1 (ａ >0 ,ｂ >0 )上的任意一点 ,双曲线的焦点是Ｆ1( -ｃ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 ) ,易知双曲线的焦半径公式为 |ＰＦ1| =|ａ +ｅｘ0 | ,|ＰＦ2 | =|ａ-ｅｘ0 | .如何快速去掉绝对值符号呢 ?笔者发现 ,若Ｐ ,Ｆ1(Ｆ2 )在 ｙ轴的同侧 ,则|ＰＦ1| =- (ａ +ｅｘ0 ) ,|ＰＦ2 | =- (ａ -ｅｘ0 ) ;若Ｐ ,Ｆ1(Ｆ2 )在 ｙ轴的异侧 ,则|ＰＦ1| =ａ +ｅｘ0 ,|ＰＦ2 | =ａ -ｅｘ0 .以上方法可简记为 :同侧得负 ,异侧得正 .对于双曲线ｙ2ａ2 - ｘ2ｂ2 =1 (ａ >0 ,ｂ >0 )而言 ,也有类似的结论 .例 1　 ( 1 988年上海…     

椭圆、双曲线原始方程的研究所得

高级中学试验修订本《数学》第二册 (上 )(必修 )Ｐ92和Ｐ1 0 5分别从椭圆和双曲线定义出发 ,得到集合Ｐ ={Ｍ | |ＭＦ1| + |ＭＦ2 |=2ａ}和Ｐ ={Ｍ | |ＭＦ1| - |ＭＦ2 | =± 2ａ},进而又得到(ｘ +ｃ) 2 + ｙ2 + (ｘ -ｃ) 2 + ｙ2 =2ａ( 1 )(ｘ +ｃ) 2 + ｙ2 - (ｘ -ｃ) 2 + ｙ2=± 2ａ ( 2 )我们将 ( 1 ) ,( 2 )分别叫做椭圆和双曲线的原始方程 .若将之作适当的变式研究 ,则得第 ( 1 )式的两边平方 ,得ｘ2 + ｙ2 +ｃ2 + (ｘ +ｃ) 2 + ｙ2 ·(ｘ -ｃ) 2 + ｙ2 =2ａ2 .由定义知 :(ｘ +ｃ) 2 + ｙ2 =|ＭＦ1| ,(ｘ -ｃ) 2 + ｙ2 =|ＭＦ2 | ,ｘ…     

用一个数列题的求解来看此题的设计

1　一个数列例题例题　在数列 {ａｎ}中 ,Ｓｎ 1 =4ａｎ 2 ,ａ1 =1 .(ｎ∈Ｎ)(1 )设ｂｎ =ａｎ 1 - 2ａｎ,求证 :数列 {ｂｎ}是等比数列 .(2 )设ｃｎ =ａｎ2 ｎ,求证 :数列 {ｃｎ}是等差数列 .(3 )求数列 {ａｎ}的通项公式及前ｎ项和公式 .如果按部就班地做 ,这道题并不难 .但是若抛开 (1 )、(2 )问直接解答 (3 )就需要坚实的数列基础知识 ,分析如下 :解　由Ｓｎ 1 =4ａｎ 2　　① ,知Ｓｎ 2 =4ａｎ 1 2②② -①得 :Ｓｎ 2 -Ｓｎ 1 =4(ａｎ 1 -ａｎ)即 :　　　ａｎ 2 =4(ａｎ 1 -ａｎ)转化为已知首项ａ1 =1及连续三项的递推关系式 ,求ａｎ …     

2002年全国各地高考模拟试题集锦——解析几何

选择题1.(杭州市第二次质检题 )如果直线ｌ将圆ｘ2+ ｙ2 - 2ｘ - 4ｙ =0平分 ,且不通过第四象限 ,则直线ｌ的斜率的取值范围是 (　　 )(Ａ) [0 ,1].　　　　　 (Ｂ) [12 ,2 ].(Ｃ) [0 ,12 ]. (Ｄ) [0 ,2 ].2 .(黄冈中学 5月模拟 )已知动点Ｐ(ｘ ,ｙ)满足10 (ｘ - 1) 2 + (ｙ - 2 ) 2 =| 3ｘ + 4 ｙ| ,则Ｐ点的轨迹是 (　　 )(Ａ)椭圆 . (Ｂ)双曲线 .(Ｃ)抛物线 . (Ｄ)两相交直线 .3.(黄冈中学 5月模拟 )直线ａｘ +ｂｙ +ｃ =0(ａｂｃ≠ 0 )与直线 ｐｘ + ｑｙ +ｍ =0 (ｐｑｍ≠ 0 )关于 ｙ轴对称的充要条件是 (　　 )(Ａ) ｂｑ =ｃｍ . (Ｂ)…     

“|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|”的补注及应用

“|a| - |b|≤ |a±b|≤ |a| + |b|”是高中数学新教材第二册 (上 )第 2 0页的一个重要不等式定理 ,它是处理含有绝对值问题的一个重要工具 ,课本限于篇幅 ,主要介绍它在证明不等式中的应用 ,而其它方面很少涉及 ,且何时取等号也未指明 ,本文对此加以补充并例谈其应用 .1　定理的补注1)等号成立的条件|a +b| =|a| + |b|当且仅当ab≥ 0 ;|a -b| =|a| + |b|当且仅当ab≤ 0 ;|a| - |b| =|a +b|当且仅当 (a +b)b≤ 0 ;|a| - |b| =|a -b|当且仅当 (a -b)b≥ 0 .2 )不等号成立的条件|a +b| <|a| + |b|当且仅当ab <0 ;|a -b| <|a| + |b|当且仅当ab …