构造法解三角函数题

一、构造数列等差 (等比 )中项求三角函数值例 1已知sinα +cosα =15 ,α∈ (0 ,π) ,求tanα =?解　∵　sinα +cosα =2× 110 ,∴　sinα、110 、cosα成等差数列 ,设公差为d ,sinα =110 -d ,cosα =110 +d .∵　sin2 α +cos2 α =1,知d =± 710 ,当d= -710 时sinα =810 ,cosα =-610 ,tanα =-43 ;当d =710 时 ,sinα =-610 <0与α∈ (0 ,π)不符 ,∴　tanα =-43 .例 2已知sinαcosα =122 5 ,α∈ (0 ,π4) ,求tanα =?解　∵　sinαcosα =122 5 =(125 ) 2 ,∴　sinα、 125 、cosα成等比数列 ,设公比为 q ,∴　sinα =125 q ,…     

不容忽视函数定义域

研究函数的性质 ,若忽视了定义域往往会出现失误 .若首先考虑定义域 ,有时还有意想不到的收获 .一在求函数值域时不容忽视函数定义域例 1已知 3sin2 α + 2sin2 β =2sinα ,求7sin2 α + 4sin2 β的最小值 .错解　∵　sin2 β=-32 sin2 α +sinα ,∴　原式 =sin2 α + 4sinα =(sinα + 2 ) 2 -4 .当sinα =-1时 ,有最小值 -3 .分析　 7sin2 α + 4sin2 β≥ 0 ,可见上面所求最小值明显不合理 .问题出在定义域上 ,先求sinα的范围 :由 0≤sin2 β =-32 sin2 α +sinα≤1,求出 0≤sinα≤ 23 ,可见sinα =0时 ,有最小值 0 .例 2求y =x + 1…     

错在哪里

题目 :已知 sin2α=a,cos 2 a=b,则 tan(a π4)的值为 (　　 ) .(A) 1 a b1 - a b　　　 (B) a - b 1a b- 1(C) 1 ab (D) b1 - a解法 1　因为1 a b1 - a b=1 sin 2α cos 2α1 - sin 2α cos 2α=1 2 tanα1 tan2α 1 - tan2α1 tan2α1 2 tanα1 tan2α 1 - tan2α1 tan2α=1 tanα1 - tanα=tan(α π4) .所以选 (A) .解法 2　因为a - b 1a b- 1 =sin 2α- cos 2α 1sin 2α cos 2α - 1　 =2 sinα .cosα- (1 - 2 sin2α) 12 sinα .cosα (1 - 2 sin2α) - 1　 =sinα(cosα sinα)sinα(cosα- sinα) =cosα …     

2002年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)试题及解答

参考公式三角函数的积化和差公式sinα cosβ =12 [sin(α β) sin(α -β) ]cosα sinβ =12 [sin(α β) - sin(α -β) ]cosα cosβ =12 [cos(α β) cos(α -β) ]sinα sinβ =- 12 [cos(α β) - cos(α -β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ c) l;其中 c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长 .球体的体积公式V球 =43πR3 ,其中 R表示球的半径 .1.选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1)不等式组 x2 - 1<0x2 - 3x <0 的解集是 (　…     

三角“条件求值”问题的一些解法

1　代入法例 1　已知 tgα .ctgβ =5,求 sin(α β) .csc(α -β)值 .解　∵　　　 tgα .ctgβ =5,∴　 sin(α β) csc(α -β) =sin(α β)sin(α -β)=sinαcosβ cosαsinβsinαcosβ - cosαsinβ=tgαctgβ 1tgαctgβ - 1=5 15- 1=32 .2　配凑法例 2　已知 π2     

公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释

在直角坐标系内单位圆上设A (cosα ,sinα) ,B (cosβ ,sinβ)(其中α ,β∈R) ,则OA———→ =(cosα ,sinα) ,OB———→ =(cosβ ,sinβ) .又　 |OA———→| =|OB———→| =1,OA———→·OB———→ =cosαcosβ +sinαsinβ ,cos(α -β) =cos∠BOA =cos〈OA———→ ,OB———→〉 .而OA———→·OB———→ =|OA———→|·|OB———→|cos〈OA———→ ,OB———→〉=cos〈OA———→,OB———→〉=cos(α-β) ,∴　cos(α -β) =cosαcosβ +sinαsinβ .公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量解释$山…     

四面体的一个体积公式--三面角的棱面角公式的一个应用

文 [1 ]给出了三面角中棱与面所成角与三面角之间的关系如下 :定理 1　在三面角S—A1 B1 C1 中 ,三个面角∠C1 SB1 =α ,∠A1 SC1 =β,∠A1 SB1 =γ ,且棱SA1 和平面C1 SB1 所成的棱面角为θ1 ,棱SB1 和平面A1 SC1 所成的棱面角为θ2 ,棱SC1 与平面A1 SB1 所成棱面角为θ3,则cosθ1 =cos2 β+cos2 γ- 2cosαcosβcosγsinα ,cosθ2 =cos2 γ+cos2 α- 2cosαcosβcosγsinβ ,cosθ3 =cos2 α +cos2 β- 2cosαcosβcosγsinγ .(三面角的棱面角的余弦公式 )文 [2 ]给出了定理 1的一个简证 .受定理 1启发 ,如图 ,若分别在SA1…     

一个条件,多种结论

若α、β、γ满足: sinα sinβ sinγ=0 (1) cocα cosβ cosγ=0 (2)则有 sinα=-(sinβ sinγ)(3) cosα=-(cosβ cosγ) (4) (3)的平方加上(4)的平方得: cos(β-γ)=-1/2 (5) 这是我们要证的第一个结论由(5)还可得:β-γ=2/3π 2kπ其中k∈Z。同理可证:γ-α=2/3π 2kπ,α-β=2/3π 2kπ、因此,在(1)、(2)条件下,有结论:α、β、γ依次相差2/3π 2kπ,(k∈Z)——这是要证的第二个结论。     

再谈一类三角问题解的讨论

题目 1已知cosα -cosβ =12 ,sinα -sinβ =- 13,求cos(α +β) ,sin(α +β) ,cos(α - β) ,sin(α -β) .解　设z1=cosα +isinα ,z2 =cosβ +isinβ则 |z1|=|z2 |=1,且由题意可得z1-z2 =12 - 13icos(α +β) ,sin(α +β)即为z1z2 的实部和虚部 ;cos(α - β) ,sin(α - β)即为 z1z2的实部和虚部 ;1)∵z1z1=|z1|2 =1,z2 z2 =|z2 |2 =1,易得z1z2 =- z1-z2z1-z2=-12 - 13i12 +13i=- 513+1213i,即cos(α +β) =- 513,sin(α +β) =1213.2 )设 z1z2=z1z2z2 z2=z1z2 =1z2 z1=x .∵ (z1-z2 ) (z1-z2 ) =z1z1-z1z2 -z2 z1+z2 z2 ,∴ (12 - …     

三倍角公式一用

平面三角中三倍角公式是 sin3α=3sinα-4sin~3α。 cos3α=4cos~3α-3cosα。三倍角公式应用较广,它可以解决一些证明、求值、三角方程、应用题等问题。三倍角公式可以变化成如下形式: sin3α=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α) 〈S〉 cos3α=4cosαcos(60°-α)cos(60°+α) 〈C〉 tg3α=tgα·tg(60°-α)tg(60°+α) 〈T〉证明:sin3α=3sin-4sin~3α=4sinα(3/4-sin~2α)=4sinα(sin60°-sina)(sin60°+sinα)=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α)。     

为几例三角题解把脉

三角函数是中学数学的重要内容之一 ,它除具有一般函数性质外 ,还具有一系列特殊的性质 ,同学们在求解时 ,稍有不慎就会“误入歧途”且不易觉察 .本文为几例三角题解把把脉 ,望同学们能从中有所领悟 .病因 1　忽视三角函数的有界性例 1　已知sinαcosβ =12 ,求t =sinβcosα的范围 .病解　把sinαcosβ =12 与t=sinβcosα相加 ,得sin(α +β) =12 +t .∵ - 1≤sin(α +β)≤ 1,∴ - 1≤ 12 +t≤ 1,即 - 32 ≤t≤ 12 .诊断　未能充分挖掘正、余弦函数的有界性 .事实上 ,由sinαcosβ =12 ,得sin(α +β) +sin(α - β) =1,即sin(α +β) =1…     

数学娱乐

值域与最值值域最值紧相连 ,均值二次最觉见 .换元变形巧转化 ,变生为熟功可建 .单调结合定义域 ,利用导数更简便 .由数到形能互化 ,选择合理是关键 .(山西黎城一中　王多强提供　 0 4 76 0 0 )解应用题应用解题先分析 ,背景过程看仔细 ,研究对象要明确 ,建立模型表题意 ,找出横纵关系量 ,选用定理要适题 ,作图书写规范化 ,结果检验合实际 .(湖北随州第三中学胡理华、陈泽凯提供　 4 41 31 8)巧记诱导公式水平不变铅垂变 ,符号原函看象限 .三倍角公式歌诀三四立 ,四立三 ;中间横个小扁担 .解释 :sin3α =3sinα - 4sin3α ,cos3α =4cos3α …     

对“一个有用的三角等式”的进一步讨论

84年第6期《中学数学》发表了“一个有用的三角等式”,此公式应用甚广,且形式可推广到任何三角函数,利用积化和差公式不难证得:4sinαsin(π/3-α)sin(π/3+α)=sin3α (1)4cosαcos(π/3-α)cos(π/3+α)=cos3α (2) 显然(1)与(2)互除即得关于正(余)切的等式: tgαtg(π/3-α)tg(π/3 +α)=tg3πα。 (3) 由(1)与(2)将得正(余)割公式 secαsec(π/3-α)sec(π/3+α)=4sec3α (4) 从(1)的证明过程,求β=?时,将有; 4sinαsin(β-α)sin(β-α)=3sinα, (5) 经验证知β=π/3、2π/3、4π/3时(5)也成立。     

勿忘(0)~(1/2)=0

我们知道 0 =0 ,但在解题过程中 ,却常常忽视了 ,这反映了我们考虑问题的片面性 .例 1　当α、β取什么范围内的值时 ,式子sin2αcosβ有意义 ?错解　由 sin2 α≥ 0知　 sin2 αcosβ≥ 0等价于 cosβ≥ 0 .即β∈ [2 kπ - π2 ,2 kπ π2 ](k∈ Z) .分析　因为学生牢记“实数的平方为非负数”,即α∈ R时 ,sin2 α≥ 0 .所以由sin2 αcosβ≥ 0推导出 cosβ≥ 0 .事实上 ,这漏掉了另一种情况 :sinα =0 ,cosβ∈ R时原式也有意义 .即α =kπ,且β∈ R,k∈ Z.正解　原式有意义等价于 cosβ≥ 0或sinα =0 .解得β∈ [2 kπ - π2 ,2 k…     

2003年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ=12 〔sin(α+ β) +sin(α- β)〕cosαsinβ =12 〔sin(α+ β) -sin(α- β)〕cosαcosβ =12 〔cos(α+ β) +cos(α- β)〕sinαsinβ=- 12 〔cos(α + β) -cos(α- β)〕正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′+c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一 选择题( 1 )同新课程卷 ( 2 )( 2 )圆锥曲线 ρ=8sinθcos2 θ的准线方程是(A) ρcosθ=- 2 (B) ρcosθ=2(C) ρsinθ=- 2 (D) ρsinθ=2( 3)同新课程卷 ( 3)( 4 )…     

三角题的解析证法

有些三角题若用三角法求解则解法冗长 ,教材中的两角差的余弦公式是利用单位圆上的点的坐标给予证明的 .这给予我们启示 ,若有 f( cosα,sinα) =0 ,注意到 sin2α +cos2 α=1 ,我们可以把点 P( cosα,sinα)看成单位圆 x2 + y2 =1与曲线 f ( x,y) =0的交点 .因此某些三角题可以用解析法求解或证明 ,这样做还可以帮助学生融化贯通各科知识 .例 1　△ ABC中cos A sin A 1cos B sin B 1cos C sin C 1=0 .求证 :△ ABC为等腰三角形 .图 1证明　由条件知 :单位圆上三点P1( cos A,sin A) ,P2 ( cos B,sin B) ,P3 ( cos C,sin C)三点共线…     

错题一例

某参考资料中有这样一道习题 :已知 tan3 A、tan A是方程 x2 6x 7=0的两根 ,求 2 sin2 A - cos4A - 12 cos2 A - cos4A - 1 的值 .解法 12 sin2 A - cos4A - 12 cos2 A - cos4A - 1 =- cos2 A - cos4Acos2 A - cos4A=- 2 cos Acos3 A2 sin Asin3 A =- 1tan A . tan3 A∵　 tan3 A、tan A是方程 x2 6x 7=0的两根∴　 tan3 A . tan A =7∴　 2 sin2 A - cos4A - 12 cos2 A - cos4A - 1 =- 17.上述解法先把结果化简 ,再利用韦达定理 ,很快算出答案 ,方法简单巧妙 .但有不少同学从已知出发 ,把 A求出来 ,但求出的是另一答案 :解…     

对一道三角函数问题四种解法的剖析

题目已知sin2α=a,cos2α=b,则tan(α π4)的值为()(A)b1-a.(B)1 ab.(C)1 a b1-a b.(D)a-b 1a b-1.解法1 tan(α π4)=sin(α π4)cos(α π4)=2sin(α π4)cos(α π4)2cos2(α π4)=sin(2α π2)1 cos(2α π2)=cos2α1-sin2α=b1-a,所以选(A).解法2 tan(α π4)=sin(α π4)cos(α π4)=2sin2(α π4)2sin(α π4)cos(α π4)=1-cos(2α π2)sin(2α π2)=1 sin2αcos2α=1 ab.所以选(B).解法3 tanα=sinαcosα=2sinαcosα2cos2α=sin2α1 cos2α=a1 b,所以tan(α π4)=tanα tanπ41-tantαanπ4=a1 b 11-a1 b=1 a b1-a b,所以选(C…     

一道三角不等式的引申推广

最近笔者得到一个漂亮简洁的三角不等式(引理1),并由此引申、推广出若干个优美的三角不等式,现介绍如下,供参考.引理1设α,β均为锐角,则有1sin2α 1sin2β≥2sin(α β),当且仅当α=β时取等号.证1sin2α 1sin2β≥21sin2αsin2β=1sinαcosβ·cosαsinβ≥2sinαcosβ cosα     

运用两个比例定理巧解三角题

在求解某些三角函数题时 ,通过揭示题目中的比例关系 ,运用等比定理和合分比定理可得到简捷巧妙的解决 .等比定理是指 :若 b1a1=b2a2 =b3a3=… =bnan =k ,则b1+b2 +b3+… +bna1+a2 +a3+… +an=k(其中a1+a2 +a3+…+an≠ 0 ) .合分比定理是指 :若 ba =dc ,则 a -ba +b=c -dc+d(其中a +b ,c +d≠ 0 )或 a +ba -b=c +dc-d(其中a -b ,c -d≠ 0 ) .下举几例以说明 .例 1　求证 :1) 1+sin2θ -cos2θ1+sin2θ +cos2θ=tanθ ;2 ) 1+secα +tanα1+secα -tanα=secα +tanα .证明　 1)因为tanθ =sinθcosθ=2sinθ·cosθ2cos2 θ =sin2θ1+cos2…