Fibonacci数列的又一重要应用

由初始条件f0=1，f1=1及递推关系fn=fn-1＋fn-2（n≥2）所确定的数列{fn}n≥0叫做Fibonacci数列，fn叫做Fibonacci数．fn的通项公式为。     

关于FIBONACCI数列的注记

关于ＦＩＢＯＮＡＣＣＩ数列的注记＊陈木法（北京师范大学数学系１００８７５）新近的文［１］和［２］研究了Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列（简称为Ｆ数列）的一些性质，笔者发现这些结果大多容易从文［３］的两条基本性质导出．因而略作说明所谓Ｆ数列，乃是Ｆ０＝０，Ｆ１＝...     

Fibonacci数列通项公式的四个直接证明

分别用初等方法,分析学中的生成函数方法,线性代数中矩阵的对角化方法以及几何变换的方法给出了Fibonacci数列通项公式的四个较为简单的直接证明.     

Fibonacci数列模p~r的周期性研究

对任意素数p、正整数r,Fibonacci数列{Fn}对pr取模构成一个数列{an}.若{Fn}的最小正周期为T,则{an}的最小正周期为pr-1T,首次提出该定理,并用数学归纳法进行了证明.此外对任意正整数m,不加证明地给出了{Fmod m}的周期性定理.     

Fibonacci数列的模数列的周期性

对于Fibonacci数列{Fn}以及给定的正整数m,由Fn关于模m的最小非负剩余an,构成一个新的数列{an},称为Fibonacci数列的模数列.本文利用初等数论的知识和数学归纳法,证明了Fibonacci数列的模数列是周期数列,并且是纯周期数列.     

一个几何模型与一组递推数列

本文利用一个简单的几何模型,构建一组包括Fibonacci数列在内的递推数列.1　一个几何模型在△ABC中,设∠ACB=90°,AC=k2(k∈N),BC=1.在AB上截取AE=AC,则BE=k2 4-k2.令w=k2 4-k2.连结CE,作EF⊥EC,EF交BC于F,FG⊥EF,FG交BE于G,如此无限作下去,则△BEF、△BFG、…与△BCE相似,相似比依次为w,w2,w3,…,wn,…(1)作CM⊥EC,CM交BA延长线于M,NM⊥CM,NM交BC延长线于N,如此无限作下去,则△BMC、△BNM,…与△BCE相似,相似比依次为1w,1w2,1w3,…,1wn,…(2)2　构建一组递推数列数列(2)与数列(1)的对应项分别相加得1w w,1w…     

黄金分割与Fibonacci数列

我们所能经历的最美好的事物是神秘，这是真正的艺术和科学的摇篮中的基本情感；对未知的事物不感到好奇的人，与行尸走肉和熄灭的蜡烛没什么两样．     

Fibonacci数列倒数的无穷和

利用初等方法以及取整函数的性质研究了Fibonacci数列三次倒数的求和问题,获得了该和式倒数取整后的确切值,也就是给出了一个包含Fibonacci数列有趣的恒等式.     

Fibonacci数列的模数列的周期的一个性质

Fibonacci数列的模数列是周期数列,并且是纯周期数列.利用模数列的定义,讨论了Fibonacci数列的模数列的周期的一个性质,证明了下列结果:假设m1与m2为不同的正整数,Fibonacci数列{Fn}的模数列{an(m1)}与{an(m2)}的最小正周期分别为T1与T2,则模数列{an([m1,m2])}的最小正周期为[T1,T2].     

关于连续Fibonacci数的公式

关于连续Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数的公式简超（武汉铁路成人中专４３００１２）设Ｆｎ表示Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数：Ｆ１＝Ｆ２＝１，Ｆｎ＋２＝Ｆｎ＋Ｆｎ＋１，ｎ＝１，２，３，…并约定Ｆ０＝０．本文给出关于连续Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数的几类公式，并证明文［１］的猜想成立...     

Fibonacci数列的概率性质

本文得到了从Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列｛Ｆｎ｝∞ｎ＝１中（有放回）随机取ｍ（≥２）项其最大公因子为Ｆｎ０的概率。从而概括和推广了文献［１—４］中的结果。     

斐波那契数列在解题中的应用

在《数学通讯》2008年组编的增刊《高中数学竞赛专辑》P124第8题中,其解答构造数列求解,学生不易想到,由于其递推关系可用特征根方程求通项。但通项较复杂,不易得结论．笔者在推导过程中发现递推关系中的系数满足斐波那契数列性质．对此题进行了研究,下面便是推导过程．     

递推数列特征方程的来源探究及应用

递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法,递推数列问题能力要求高,内在联系密切,蕴含着不少精妙的数学思想和方法.而近几年高考对于递推数列的考查也比比皆是,文[1],文[2]详细探讨了几种递推数列的通项公式的求法,在解决二阶常系数线性递推数列及分式型递推数列时,提到了特征方程法.但是没有给出使用这种方法的依据.笔者在与同行的交流中,发现很多老师,也仅仅是作为一种方法技巧告诉学生,至于为什么这样做?特征方程如何来的?都没有给出明确的解释.问渠那得清如许,为有源头活水来,笔者经过翻阅资料,思考后终于使这一问题迎刃而解.     

数学日记三则——递推数列通项的求解

3月 1 9日　星期一今天 ,在“递推数列”的学习中 ,有一个例题 ,通过大家共同讨论 ,得到三种解法 .例题　已知数列 {ａｎ}满足 :ａ1=1,ａｎ 1=2ａｎ 1,求该数列的通项ａｎ.解法 1　由已知可得　ａ1=1,ａ2 =3,ａ3=7,ａ4=15 ,由此猜测ａｎ=2 ｎ- 1.用数学归纳法证明 :①当ｎ =1时 ,猜想显然成立 .　②假设ｎ =ｋ时猜想成立 ,即ａｋ=2 ｋ- 1.当ｎ =ｋ 1时 ,ａｋ 1=2ａｋ 1=2 (2 ｋ- 1) 1=2 ｋ 1- 1.可见当ｎ =ｋ 1时命题也成立 .综合① ,②知 ,对于一切自然数ｎ命题均成立 .解法 2　由已知有ａｎ=2ａｎ - 1 1,ａｎ- 1=2ａｎ - 2 1,… ,ａ…     

“魔（n,k）方”与广义Fibonacci数列

文 [1 ]讨论“魔八方”问题 ,证明了符合条件的ｎ等于ｘ ｙ ,ｘ,ｙ为满足不定方程ｘ2 ｘｙ-ｙ2 1 =0的任一组正整数解 ,并找到了方程的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ解 .结束时提出方程是否只有Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ解的问题 .本文将Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列与“魔八方”问题进行了推广 ,在此基础上对该文作者的问题作了彻底的回答 .1　Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的推广Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列是指下面的数列1 ,1 ,2 ,3,5,8,1 3,2 1 ,34,55,89,1 44 ,…… .此数列可以用递推公式表示如下ａ1 =1 ,ａ2 =1ａｎ =ａｎ- 1 ａｎ- 2 ,ｎ≥ 3. (1 )为了本文的讨…     

从Fibonacci数列到黄金分割数一法

利用F 数列的性质构造出一闭区间套,由实数连续性“套”出黄金分割数,特点是可作较优化的任意次逼近.     

Fibonacci模π数列的周期性与渐近性

本文讨论Fibonacci模π数列：yn＋2=（yn＋1＋yn）modπ以及与它相联系的差分方程的周期性与渐过性．     

如何发现数列的周期性

如果题目中给出数列递推公式（相邻项之间的等式）,要求出某一项,又不可能逐个去求出该项的前面各项时,这就预示该数列是周期数列,我们可以先求出数列的周期,求出一个周期内的各项,便可求出数列的任何一项．那么如何发现是周期数列呢？下面作一些总结．