华林问题g(4)的估值

<正> 华林问题是数论中的一个有名问题,命k表示固定的正整数,以 g(k)表示一个最小的正整数 S=S(k),使得对于任意一个 n>0不定方程     

(F_1,F_2)-攀援集的一些注记

研究(F_1,F_2)-攀援集的迭代不变性.定义了与正整数k相关的Furstenberg族的性质P(k)和Q(k).指出:对任意介于0,1之间的实数s而言,Furstenberg族M(s)具有性质P(k)和Q(k),其中■(s)表示非负整数集的所有上密度不小于s的无限子集构成的集族.据此证明了:对任意正整数k,S为系统(X,f)的(■(s),■(t))-攀援集当且仅当S为系统(X,f~k)的(■(s),■(t))-攀援集,其中s,t是介于0,1之间的任意给定的实数.     

围长对是(4,5)的最小正则图

我们把围长对是(g,h)的 k-正则图称为(k;g,h)-图;(k;g,h)-图的顶点的最少数目用 f(k;g,h)表示.本文证明了(?)我们还构造了最小(2s+1;4,5)-图,s≥1的无限族.这样,我们就完全解决了 Harary和 Kovács 提出的问题1.     

关于一个素数和一个素数的k次方和问题

设k≥2,Hk表示一个正整数n的集合,使对任意的正整数q,同余方程a+b2三n(modq)在模q的既约剩余系中有解a,b.Dk(N)表示n≤N,n∈Hk,但不能表成p1+p22=n的数的个数,其中p1,p2表示素数.则在GRH下,Dk(N)<<N1-1/k(h(k)+1)+ε,这里k=2,3;h(2)=2,h(3)=8.     

我为高考设计题目

题19 对于正整数k。用g（k）表示k的最大奇因数,例如：g（1）=1,g（2）=1,g（3）=3,…．记an=g（1）＋g（2）＋g（3）＋…＋g（2^n）,其中n为正整数．     

浅议数学归纳法及教学中易出现的问题

皮亚诺公理的第 5条性质 :任意一个正整数集合 ,如果包含 1 ,并且假设包含x ,也一定包含它的后继x + 1 ,那么这个集合包含所有的正整数 .这条性质就是数学归纳法的依据 ,通常称为数学归纳法原理 .这一原理可以用数学符号来表示 :数学归纳法原理 :如果S是正整数集合N+的一个子集 ,且满足 :① 1∈S ;　　②若k∈S ,则k + 1∈S ,那么S =N+.根据数学归纳法原理 ,可以得到数学归纳法 :设 p(n)是一列与正整数有关的数学命题 ,如果满足 :①p(n)当n =n0 (n0 是使 p(n)正确的最小正整数 )时正确 ,即 p(n0 )正确 ;②在假设 p(k) (k≥n0 ,k∈N+)正…     

一个采用组合信赖域与二阶线搜索技术的新的非单调大规模最优化方法

<正>1引言本文考虑求解大规模无约束最优化问题■f(x):(1.1)其中f:R~n→R是二阶连续可微的实值目标函数,n是一个比较大的正整数.在求解问题(1.1)时,通常的迭代法产生一个迭代点列x_0,x_1,x_2,…,其中x_(k+1)由x_k产生.在每一步迭代中,算法首先解一个信赖域子问题:■m_k(s)■g_k~T s+1/2s~TH_ks,s.t.||s||≤△_k,(1.2)     

关于Erds-Jacobson-Lehel问题的门槛(英文)

设σ(k ,n)表示最小的正整数m ,使得对于每个n项正可图序列 ,当其项和至少为m时 ,有一个实现含k+ 1个顶点的团作为其子图 .Erd s等人猜想 :σ(k ,n) =(k - 1 ) ( 2n-k)+ 2 .Li等人证明了这个猜想对于k≥ 5,n≥ k2 + 3是对的 ,并且提出如下问题 :确定最小的整数N(k) ,使得这个猜想对于n≥N(k)成立 .他们同时指出 :当k≥ 5时 ,5k- 12 ≤N(k)≤ k2 + 3.Mubayi猜想 :当k≥ 5时 ,N(k) =5k - 12 .在本文中 ,我们证明了N( 8) =2 0 ,即Mubayi猜想对于k =8是成立的     

微分多项式的零点及其相关的正规定则

对于平面区域D上的亚纯函数族F,F中的每个函数的极点重数至少为k,零点重数至少为s.设a,b为两个有限复数a≠0.若对于F中的每对函数f(z),g(z)∈F,f~((k))-af~3和g~((k))-ag~3分担b,则F在区域D内正规,其中k是正整数,k≥2.当k=2,有s=3;当k≥3时,有s=k.     

关于多项式系数的整除性

设n是正整数,k1,k2,…+k1=n的非负整数,正整数[nk1k2…ks]=n！/k1!k2!…k5!称为多项式系数,本文讨论了当n=a0+a1p+a2p^2+…arp^r,其中p为素数且p≤n,0≤ai&;lt;p(0≤i≤r);ki=a0^(i)+a1^(i)p+…+ar^(i)p^r,其中ki≤0,∑^si=1,ki=n,0≤ak^(i)p(0≤i&;lt;s)时多项式系数的整除性问题,得出的结果推广了著名的Lucas定理^[1].     

围长至少为5的平面图的injective-染色

图G的injective k-染色是指映射c:V(G)→{1,2,…,k},使有公共邻点的两个顶点u,v满足c(u)≠c(v),用X_i(G)表示使G有一个injective k-染色的最小正整数k.对g(G)≥5的平面图G,若△(G)≥20,证明了X_i(G)≤△+3.     

一个包含F.Smarandache LCM函数的猜想

对任意正整数n,著名的F.Smarandache LCM函数SL(n)定义为最小的正整数k,使得n|[1,2…,k],这里[1,2…,k]表示1,2…,k的最小公倍数.本文利用初等方法研究张文鹏在他所著的《初等数论》一书中提出的一个包含F.Smarandache LCM函数的猜想,并有了实质性进展.     

关于多项式系数的整除性

设 n是正整数 ,k1 ,k2 ,… ,ks 是适合 k1 +k2 +… +ks=n的非负整数 ,正整数 nk1 k2 … ks=n!k1 !k2 !… ks!称为多项式系数 .本文讨论了当n=a0 +a1 p+a2 p2 +… +arpr ,其中 p为素数且 p≤ n,0≤ ai相似文献   

一个包含Smarandache LCM函数的方程

对任意正整数n,著名的Smarandache LCM函数SL(n)定义为最小的正整数k,使得n|[1,2,…,k],其中[1,2,…,k]表示1,2,…,k的最小公倍数.本文利用初等方法研究一类包含Smarandache LCM函数方程的可解性,并获得了给定方程的所有正整数解.     

关于整数n的k次补数

设n为正整数,a(n)表示n的k次补数.本文的主要目的是研究a(n)的某些分布性质,并给出一个有趣的渐近公式.     

圈布尔矩阵类的幂敛指数集

在布尔运算下, 布尔矩阵A的幂敛指数和周期分别是使A^k=A^k+p成立的最小非负整数k和最小正整数p. 人们对周期的认识已经相当完善.给定满足一个不等式的正整数n和s, 利用组合分析确定了有向图含至少一个s -圈的n×n布尔矩阵的幂敛指数可以取得的数值.     

談談数学归納法

数学归納法是数学中一个很重要的工具,但初学者对它却是比较难于掌握的,如果学得不好,常常領会不到数学归納法的真意。一般,数学归納法可如下表述: 设有一个关于正整数n的命題,如果当n=1时該命題为真;又如果假設当n=k时該命題为真后,可以推出当n=k+1时該命題为真;那末該命題对一切正整数n为真。如果我們用“P(n)”表示一个含n的命題(n为正整数),那末上面一段話可以表述为: P(1) 真且由P(k)真可推得P(k+1)真,那末P(n)真。在上面那段用語言的敍述中,比較嚕嗦,难于一下子理解;在下面一段用式子的敘述中,比較清楚一些     

借“1／x＋a＋1／x＋b=1／x”发挥

题中方程的实数解 ,众所周知 ,仅当 ab>0时 ,x=± ab.如果 a,b∈ N ,a≠ b,且只需解这方程的正整数解 ,那么必须满足 ab=k2 ( k∈N) .本文仅借方程的构形 ,发挥它正整数解的功能 ,来揭示“一个单位分数表示为两个不同单位分数的和”的实质 . (注 1)由上得 :1k=1k a 1k b ( 1)令 k2 ( =ab) =pe11 · pe22 … peii … pett.( pi 为素数 ) .不难推出 ( 1)的不同表示法的种数 =d( k2 ) -12 .(其中 d( k2 ) =( e1 1) ( e2 1)… ( ei 1)… ( et 1) ) .令 ( 1)中 a=k2 ,b=1.经移项整理得1k( k 1) =1k-1k 1( 2 )由 ( 2 )可求出 ( n-1)个形如它左…     

涉及分担值的正规定则

设F是区域D上的一个亚纯函数族,k(≥2)是一个正整数,b是一个非零复数,M是一个正数.若对任意给定的f∈F,f的零点重数至少为k,且f(z)=0=|f~((k))(z)|≤M.如果对任意给定的函数f,g∈F,L(f)与L(g)的零点都为重零点,且L(f)与L(g)在区域D内分担b,则F在区域D内正规.     

关于整数集分拆的一个猜测的证明

设n为正整数,记rn=m ax{正整数m:可将集合{1,2,…,m}分为n个子集,使得在每一子集中方程xy=z(x>1,y>1)均无解}.高楠和刘红艳(数学的实践与认识,2005,35(5):151—152)给出了rn的一个下界估计rn n9,并猜测对任意给定的正整数k,当n充分大时有rn nk.本文对此猜测给以肯定回答,并证明了如下更强的结论:对任意给定的正整数k 4,当n>3k时有rn n2k+1.