Necessary and Sufficient Conditions for Oscillations of Neutral Delay Equations with Several Positive and Negative Coefficients

In thisPositive and (l)PaPer,we eonsider thenegative eoeffieients ofoseillations of neutral delay equations with、o山 the form·习k-1十玄。,·(卜r。卜全·,·(卜。,))十 XZ夕.、、d一dtJ.。、x(‘一u、)一名h:x(‘一。:)=o,where the eoeffieients and the delays areequation of(1)15non一negative constants.The Charaeteri“tieN(2)F(几):=‘+‘习。‘e一“·卜‘习r,e一‘’,+习。、e一“”一习h:e一‘’一0. ‘二lj一1论一15,1 our main result 19 the following theorem. Theorem All solutions of(l)oseillate if …     

一道征解题的推广

《中学数学有这样一道题:1034年第3;件门题与解答栏中设(1十x工:).二ao+a lx一{a:x名+…+a:。x“口,吐明a。=aZ一{一a,一:一a一i-a3十ae+…二al一!一a一+a,+,二…=3一1。现在我们将其推,’‘到一般清形:设(l一x一。x么又卜文).二‘。一卜a lx+a:x“+…+a:(、_,)工.(“),则a。+a‘·”二al+ak+1十a么k+1十,·‘二’·‘二ak_1十一,,a:七十a zk_l+a:、_:十…=k一‘.这.里n,幻寸自然数,且k》乳 证明:一戊们知达x“=l的k..根为eos(2敝/k)十葱5 in(2二兀厂k)(m=0,1,2,…,k一1入如呆记., 弓=‘o:(’二/k)一卜1 51”(见二/k), 则cos(几一,:二,k)一…     

一道习题的联想与再推广

〔原命题〕已知。·b·c=l,且。b+。+1共。,则: a .be几-下一.一犷一丁十不一甲了一下二十一一:一一~甲~了=口O十口十1 OC+O十1 CO十C十1 这是一道有关初中数学竞赛资料中常有的一题,它的证明技巧胜很强.学)91年1期《一道习题的推广及应用》一文,把该题推广为如下命题: (.)浙江《中学教研》(数[推广I]若Ilx,一,,且f(k)二x*:*·,…x·x:xZ一x卜:+‘*x。·,…x·‘,xZ”’‘,一,+“’劣杯‘·‘+二‘+1(j(k)笋0)则:艺漏一,拓二l-L推广11」若兀,,=A护0,_且f(l)二x,xZ…二。一,+x lx2…z,一:+一+二,:2+,.+l,f〔k)=二.公.,,…之,劣:才:…x,…     

多边形形状的判断

利用向旦判断 例1已知斌+斌十斌=。,〕丽劝+「瓦丙卜几j户井二l,判断△尸,尸2尸。的形状· 解丫武十斌+斌二o, :.斌十斌一斌, ,.(斌十斌)2一(一斌),,即{斌}’+}斌},+2斌·斌=l斌}‘. ,.l斌}一!成}钊斌}一1, .斌·斌一合,:’(斌:斌}Cos二尸:oPZ一合, 匕PI 01〕2=120: 同理,乙尸;〔护3二匕尸ZOp3二120‘. .’.△尸,pZ尸3是正三角形. 例2在△ABc中,设茄二。,成二b,庙-。,若a·b=b·。二。·。,判断△ABc的形状. 解’.‘a十b十c=O, ‘a+b=一e,(a+b)2=eZ,即aZ+bZ+Za·b=eZ(1) 同理,bZ+。2+Zb·。=aZ(2)川一(2),得aZ一eZ+2(a·吞一‘·e…     

Goldbach数的例外集合（Ⅳ）

本文续文献【lj给出了E(z)~O(砂’s)的全部证明过程’.一、w‘(Y)和w(Y)及w(Y,种的估计令1,若肠=劝,0,若为沪劝,和EI.、={l,若‘=牙刀,10,若芍尹牙璐,口.万.r、..、 一一 x’ E对0(。镇:,一‘,令e(。,石)一0;对。>:,令e(。,x‘)二0,对:,一,<。(二,并且。是素数,令e(。,X’)二X,(”)log”一E0.、+EI.、沪一’·当扩一‘<”镇‘以及”不是素数时,令“(”,筋)一E0·、:+筑·、犷卜1. ,,理‘,设k)‘丁,“是一个可数集合,C‘·,是实变量·的复值函数,而且满足条件馨}。(a)}<+co.记、:(‘)一习。(。)。(a‘),,>o,则有 .CS丁二,}牙:〔:)}Zd…     

数学问题解答

1990年10月号问题解答 (解答由问题提供人给出). .676·若·bc等。、试证:方程aZ’+”·+普一。、bxZ+C:。一奇·。及C:2+一卜令一“至少其一有实根. 且兀a‘一1.试证:亚(。+。‘))(。+1”证.令方程ax:十“‘+子-。、阮2+。:+草 4及。2十二+△8.则b4=O的判别式依次为△:、△:及证.(l)显然九=1时,命题成立. (2)假设。=。时,有五。‘=1: 五(。+a‘))(m+1)“·(3)当,=无+1时-若a‘=1(云=1,2,…,无+1),△l+△2+△s=bZ一ae+eZ一ba+aZ一cb一音〔202+2“’+2·’一2·“一2“一2“·〕一合〔‘。一“,2+(“一“,2+(一,’〕》。即△卜△2、及△3…     

谈一道因式分解题的应用

在l4i学因式分解内‘序‘扣画式护,护王。‘一3。b‘、.熟冬.现攀只脚朴较简的二种若夕掩节十乡冬+e“3。。。;、常见这祥对可二此题,·道越,,、分添分解演踌濒一一执。十;、。了〔萨扮、价小、朴一。污 乙,,.月、甸。确)a戒,尔J。,卜3叻“护。b、。‘.。‘(a七好‘)〔(。+b)’卜‘“+句见+、‘,“〕 右和厂.一;‘“冲+等(。衬+七)(。’千6“+eZ一ub一be一。。) 山此,‘容易礴到以下}、、个戈撇的结论.吸一)着a;+6十。=o,则了:aa+b“+‘·“”3 abc.(2)角于丈。+b+c)(。“+b“+e“一ab一be一e的 若设a>o,吕>今屯_咚>o几.·熨!1 11!。+b+。>…     

两个条件不等式及其应用

命题一不相等的正数a、b、c、‘,。为最大数,若。各式相乘可得+‘一b+一则‘,,“‘,‘2,告+令>士十于 证明(1)由题设可得a一。二b一d>O二b>d. 设a一b二c一建=‘,则‘>0,且a二‘+吞,e=汉+‘ .’.耐=(‘+b)注=从+记,倪=b(d十心)=沉+倪 比较两式,,.’b>‘,‘>O,:.“>血,:.加>毗 (2),.’a、b、c汉均为正数,a+滚=石+e,酥>吐刊二令>宁,:告+专>朴告推论不相等的正数。、b、。,若2b二。十。,则(l)‘子应用举例:例l,日N,证明:!(证明略) (·l)2<(粤户,.…!<(岑,·,综上所述…,匀竺宁)’, 例:已知·。N一列,求证士+南十:+六+汾’· 证…     

由“特殊”到“一般”解题例偶

特例即间题的特殊情形,由演绎法易匆,若‘个(全粉)命题真,则其特例亦真:若其特例不真,则其(全称)命题亦不真.以此为依据,可角来解某些问题.用于求待定东教倪己知(二一寸浓写‘3)-,B,C的值.通十男一l Bx一卫 C条i’户二刘限J,男一.盆 一去分母得·“+‘:‘.才(x一,)(x一’)+任(一’+C(二一)(x;二). 取,=,,得才一吝:二·:得B一3, ,-.’卜“-一2’--一’‘一‘一号·饨·)(二一s)万.令得二、用于求硒教位俐.对一切卖数二,夕,都有l(,y).l(,)l(夕)且l(0)价O,求j(1.8.). 解取少确,得l(o)一f(x)·f(o).又八。)呐o,故有f(幻一l,从而得八1“仑)一…     

含有三角函数的一个积分公式

定理:设f(x)在La,a十ZT〕上可积(T>0)甲(x)在〔a,a十T〕上可积,且满足条件:了(Za+一{f(t)己‘+2,一)一,(二)+,(二),贝。有{f(二)‘:- O}T{叫‘)dr{:‘T,“’“’证明:J了(·)‘一{:‘’,(·)‘·十{口+2个f(x)‘:.在右端第二个积分中,令‘=2a+ZT一‘,‘任〔a,a+TJ一则当:二a+T时,t=a+T;二二a+2少时,t=a;又由条件:f(2。+ZT一t)=一f(t)+p(t),因此{:‘’r了(·)‘一{:‘r,‘·,‘二 实用中验证函数满足条件f(Za+ZT一劝二一f(x)+中(x)井不困难,因为我们总可取p(x)二f(Za+ZT一:)+f仁).问题在于甲(:)是否容易积分.而当甲(:)为零,常数或…     

第十八届美国数学奥林匹克试题与解

对于每一个正整数:,.定义 。二1 .1 .1S。=1+.令+令十…十,土. ‘气·一’2,3”n’饥=S:十召2十S:十…+S益_Tl 2卜臀价+.二+,登 户卜 邓声U试求使T,,屯。,”a改:。s。一b和Ul。。。二e习:。8,一d几o相似文献   

一道代数题的多种解法与推广

有这样一道常见的代数题砚目.二y’之‘一。:一万 (3)t盆一(a一:)t+z“一az若实数羌’、’满足等式{x+y+之~a,夕2+少,+之名山(z)(s)知二、y是方程o22其中a>“·求证·。《二(争,。‘,蜡‘。‘:、粤。· 本文先从几个不同的方面给出它的五种证法,后再将它推广到一般情形. 证法一(判别式法)然+誓一。的两根.因X、,为实数, ·“△一(口一,,一‘(之“一+誓)》。由此得“啼‘争·同理可证。命蜡“,““夕、号口·(以下各证法中均省略这句话, 证法二,(解析几何法) (1),(2)的几何意义是直线二十y=a一z与圆.由已知得·{x十y=a一二. 尹么‘“十y“一…     

数学问题解答

1990年12月号问石解答 (解答由问肠提供人给出)686.设f(x) =〔3+tg:“tg(x+l)“+tgx。 +tg(x+l)“〕一’.违l,饥,=:,联结GD.试求习f(‘)的值.证记ADDBBEECCFFAKB.GC-解由于,当a。一l时牛+兴一,(*) l十口1十0 当x+梦=45“时(1十tgx)·(l+rg少)=2所以(1+tgl“)·(1+tg44。)=2, (1+tgZ”)·(1+tg43。)=2即(1+tgl“)·(l+tgZ。).(l+tg43“)(l+tg44。) 22HE.S‘o衬万=S。。,IDGD// KB△通GD、△月KB,AD GD GH万万-一万石一二万万△GDH~△BKH.一器“:CG“““’ l1 l+1饥即lm=l+1.(*)同样有。n=二十1,、二(1+tgl“)·(l+tgZ“…     

关于L~1收敛的若干定理

引言设S。(x)=习akeo。欠:,D。(x)=生+2艺eos欠x,“(.’’(x)=击燕“兮’‘x),其中 斗氏一2s梦,(x)==艺七’ak 西.备0,e。,(、二十华),当s。(x)收敛时;己其极限为,(x),假如存在。>。,使 、乙/”一口”、les.…l甘.lse、.flwelesesl.esl沙BV一,)那末称数列(q户是拟单调的。对r=卜,:客“·,么一,相似文献   

平均值法的应用

如采用平均位决,就不存在这个问题了!如何取千均仙、?从条件a十Zb+加二招素成。十乙+b一{一。十。十““丁2,12/6=20显燕丹 实际上可均泣应取‘解、狡口二x+2,乙二夕十e,c=:+2,则(x十幻十以犷十助+以之十幻=12, :.x十2刀十3万=O。故砂十2乙艺」一乳之=(x+幻“一卜2(y魂一幻2十十3(:+幻“二相似文献   

数学问题解答

1”0年8月号问题解答 (解答由间题提供人给出)已、 =叮。.夕了一。。织· D\奋l ‘inGsin(0+C)‘666.、证明o<甲<要时, ‘中相似文献   

平方差公式的妙用

平方差公式 o,一去,卿(。+‘)(a一b)是大家安硒的.这里我们介绍它在一类数列的求和与承积中的妙用. 翻1求:+s+…+(:。+一)(”〔N)的值. 筋:.,”+r.〔(。+z)阵,〕·z .〔(人+一)+。〕·〔(n+一)一,) .(”+J)一。吕. .’.原式.(2,一1)+(少一2“)+…+(。十1),一丹‘. .”‘+2”.例生求扣卜l1.·…(”一‘+1汹你娜2二(企二一1,(21+一、(:,一r)2:’一’十1二一、.2里 2忿一1一1原式二(2:+一)(2:+z)(:。+1)…(2:‘一‘+i) l忿2:一l夕攀一l一1—一’“”’一二f-22一1 .2 似上解法,的差积变形上. 二、.二一之.妙在何处釜妙就妙在刊用平方差公式例l…     

问题与解答

一本期问题 1若x、万满足椭圆方程x“/1984十g活=1985,求证.x一卜岁.‘1985. 2求证‘鉴’4*,能被1 05。,整除,商为1 985汤。 3设x、夕)0,且x+,=1 986,求别‘’‘’的最大值。 南昌华东交大附中叶柯提供 4设无为正整数,且一元二次万程(无一1)x生一Px十k二o有两个正整数根,试求k“P(pp+无“)+l的值。 5第四世纪,有个希腊数学家在他所著的算术书中,有一道这样的问题: x‘一60为一个完全平方数,求x,你能不能解答? 6已知x、,、:为三个正实数,且x一卜y十z=3,1/x+1/,+r/z=3,求x“,忿+:,的值 皖祈门芦溪木材收购知长进球提供 7如果二、n、P是方程x…     

Ⅰ平均不等式值得怀疑

已知j(x+毖)一卜:二一,。·求f(、)的最,J、放, 显然,j(x+扣一+少厂‘。翔{,:·10“2一10=一8,对于仃二,l念实数x都成立,Jlx2是有f(“+鉴)的最小值为一”,即j(二)的最小值为一”.然而,当我们用如卜解法时,上述结论便站不住脚了.解:j(二+」一)一二2+l一xo一(二.+I XX‘X单 令l=x+1.则j(l)=t:一12)一”. 劣 .’./(l)的最小有‘:为一12,即f(二)的最小心,i为一!2. 山此,既然足求报小值,则当[(x)…=一12(.:一8>,12)莫属了,’ 山此查蒸,一卜述过程即向人家说明一卜均不等式的成立依得礼、旋,!Ⅰ平均不等式值得怀疑@周玉合$河北迁安一中~~…     

数学问题解答

l。,l年12)J号l,l:l题解答(解答山问题提供人给出) 746.没扩一梦一:,一o,试将护一y3一护分解为一次因式之积. 解令梦二x(os0,:xsino朋11 x3一夕,一之3一x3(1 co、)‘I声、in30)二一x3 (eos20一eos”0+SinZ口一Sin“白)x3〔eo、28 (l一eoso)}sin28(l一Sino)1一23 !(l一5 in“0)(l一。、(,50)门一eos”0)(l一 5 in口)」一23(1‘·、,50)(1 sino)(2{。050, 5 1 ns)一(x一x c.,50)(x一x 5 1 no)(Zx士xeos口‘ x sino)万一(x一梦)·(x一二)·(Zx十夕+二) 747.已知空l’l一1四边形AB‘’D中,ABZ}CDZ二B尸卜从f.试求:注c’jBD所成的角. BC…