两个“推广”的注记

贵刊文［１］、［２］给出了不等式：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）≥ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ｃ＋ａ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）（ａ,ｂ,ｃ＞０）（高中《代数》下册Ｐ３２第５题）的两个推广,读后颇受启发,作为两个推广的注记,本文对其中的指数作进一步的推广;推广１　设ａ、ｂ、ｃ、ｋ、ｍ、ｎ＞０,且ｍ≥ｋ,ｍ＋ｋ＝ｎ,则２（ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ）≥ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ＋ａｍ－ｋｂｋｃｋ＋ａｋｂｍ－ｋｃｋ＋ａｋｂｋｃｍ－ｋ≥ａｍ（ｂｋ＋ｃｋ）＋ｂｍ（ｃｋ＋ａｋ）＋ｃｍ（ａｋ＋ｂｋ）证明　现证前一个不等式,即证ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ≥ａｍ－…     

对2003年一道春季招生压轴题的三问

20 0 3年春季高考数学 (理工类 )的压轴题是 :设α ,β为ｘ2 -ｘ - 1 =0的根 ,且α >β ,令ｃｎ=αｎ- βｎ(ｎ∈Ｎ) ,1 )求ｃ1,ｃ2 ,ｃ3 ;2 )证明 :1α2ｎ -1+ 1α2ｎ>1ｃ2ｎ -1+ 1ｃ2ｎ;3)证明 :∑ｎｋ=11ｃｋ<α .读罢该题和看了参考答案后 ,产生以下三问 .1　ｃｎ 怎么求∵α ,β是方程ｘ2 -ｘ - 1 =0的根 ,∴α2 -α - 1 =0 .∴　　　αｎ-αｎ -1-αｎ -2 =0 ( 1 )同理　　　βｎ- βｎ -1- βｎ -2 =0 ( 2 )( 1 ) - ( 2 )得　αｎ- βｎ- (αｎ -1- βｎ -1) -(αｎ -2 - βｎ -2 ) =0 .即　　ｃｎ-ｃｎ-1-ｃｎ -2 =0 . ( 3)( 3)即是…     

等差数列的又一个性质

结论　已知数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}是两个公差均不为零的等差数列 ,如果ａｋ1=ｂｌ1=ｃ1,ａｋ2 =ｂｌ2 =ｃ2 ,其中ｋ1,ｋ2 ,ｌ1,ｌ2 ∈Ｎ ,且ｋ1<ｋ2 ,ｌ1<ｌ2 ,那么等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的各项一定是数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公共项 .证　设数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公差分别是ｄＡ 与ｄＢ,且ｄＡ≠ 0 ,ｄＢ≠ 0 .等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的第ｎ项可表示为ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2-ｃ1) ,ｎ∈Ｎ .下面证明ｃｎ 是数列 {ａｎ}中的某一项 .数列 {ａｎ}的通项公式是ａｎ=ａ1+ (ｎ -1 )ｄＡ,令ａ1+ (ｘ - 1 )ｄＡ=ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2 -ｃ1)=ａ…     

一个递推数列在实际问题中的应用

人教版高中课本《代数 (下册 )》Ｐ12 8页第 34题如下 :已知数列 {ａｎ}的项满足ａ1 =ｂ ,ａｎ 1 =ｃ·ａｎ ｄ,其中ｃ≠ 0 ,ｃ≠ 1.证明这个数列的通项公式是ａｎ=ｂ·ｃｎ (ｄ -ｂ)ｃｎ -1 -ｄｃ- 1.上述通项公式也可记作ａｎ=ｄ1-ｃ (ａ1 - ｄ1-ｃ)·ｃｎ -1它有一些实际的用场 .例 1　某地区有国土面积 150 0万亩 ,去年年底森林覆盖率为 17% ,由于自然灾害和各种人为因素对森林的破坏 ,每年森林覆盖面积损坏掉上年覆盖面积的 5% .政府和林业部门规划 ,从今年年初开始 ,每年年初进行一次人工植树造林 (设每年造林面积相同且全部成活 …     

On Minkowski Constant of Function Fields

§１．ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＬｅｔＫｂｅａｎａｌｇｅｂｒａｉｃｎｕｍｂｅｒｆｉｅｌｄｗｉｔｈｄｅｇｒｅｅｎ＝［Ｋ：Ｑ］,ＯＫａｎｄＤＫｔｈｅｒｉｎｇｏｆｉｎ－ｔｅｇｅｒｓａｎｄｔｈｅｄｉｓｃｒｉｍｉｎａｎｔｏｆＫｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ,ｒ２ｔｈｅ...     

Probabilistic Norm of Operators and Continuity of Bounded Operators

Ｔｈｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｂｅｔｗｅｅｎｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙａｎｄｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｏｐｅｒａｔｏｒｓｏｎａｇｅｎｅｒａｌｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃｎｏｒｍｅｄｌｉｎｅａｒｓｐａｃｅ（ｂｒｉｅｆｌｙ,ＰＮｓｐａｃｅ）ｗａｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄｕｎｄｅｒｓｏｍｅｈｙｐｏｔｈｅｓｅｓ（［１］,Ｔｈｅｏｒｅｍ２．４）．Ｔｈｅｐｕｒｐｏｓｅｏｆｔｈｉｓｐａｐｅｒｉｓｔｏｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｉｎｔｈｅｍｕｃｈｍｏｒｅｇｅｎｅｒａｌｓｅｔｔｉｎｇｂｙｍｅａｎｓ…     

多项式系数的杨辉三角形

多项式系数的杨辉三角形４３００６２湖北大学数学系曹钟璧众所周知，一个多项式ｆ（ｘ）＝Ｘｎ＋ｃ１ｘｎ－１＋…＋ｃｎ－１ｘ＋ｃｎ的系数Ｃｉ是由它的根ｒｉ的基本对称函数确定的，即推广了的韦达定理；本文将给出一个类似于杨辉三角形计算二项式展开式系数的算法，从...     

中国数学会计算数学学会年会征文通知

中国数学会计算数学学会年会拟于１９９９年１０月６—１０日在上海师范大学召开．会议热忱欢迎从事计算数学及其相关领域的科研、教学和工程技术人员参加．请欲参加会议者．于１９９９年４月３０日前将论文中文摘要（１０００字以内．内容包括;１．题目;２．作者;３．工作单位;４．摘要）．及其ＴＥＸ文件（用软件或ＥＭＡＩＬ）,以及回执寄至汤华中．张时珍：（１０００８０）北京２７１９信箱．中科院计算数学与科学工程计算研究所ＥＭＡＩＬＳ：ｔｈｚ＠ｌｓｅｃ．ｃｃ．ａｃ．ｃｎ;ｚｓｚ＠ｌｓｅｃ．ｃｃ．ａｃ．ｃｎ．会议筹备…     

常曲率空间中具平行平均曲率向量的子流形

本文利用第二基本形式的长度平方和平均曲率的关系研究常曲率空间中具平行平均曲率向量的子流形为全脐的ｐｉｎｃｈｉｎｇ问题，获得了一定条件下的最佳ｐｉｎｃｈｉｎｇ区间，并确定了ｐｈｉｎｃｎｉｎｇ区间端点处对应非全脐子流形的分类．     

归纳、猜想、证明——求数列通项的一种思路

数学归纳法是证明关于自然数ｎ的命题的一种方法 .在解数列题中 ,我们可用数学归纳法得到所求数列的通项 ,当然 ,先要进行观察、归纳与猜想 .例 1　设无穷数列 {ｂｎ}的前ｎ项和为ｃｎ,且ｂｎ+ｃｎ=ｎ (ｎ∈Ｎ) .(1)求证 :数列 {1-ｂｎ}为等比数列 ;(2 )求ｌｉｍｎ→∞1ｎ2 (ｃ1 +ｃ2 +… +ｃｎ) .分析　首先观察 :ｎ =1时 ,ｂ1 +ｃ1 =2ｂ1 =1有ｂ1 =12 ;ｎ =2时 ,ｂ2 +ｃ2 =ｂ1 + 2ｂ2 =2 ,有ｂ2=34;ｎ =3时 ,ｂ3+ｃ3=ｂ1 +ｂ2 + 2ｂ3=3 ,有ｂ3=78,……由 (1)提示知 1-ｂ1 =12 ,1-ｂ2 =14 ,1-ｂ3=18,……故猜想 1-ｂｎ=(12 ) ｎ,即　ｂｎ=1…     

一道数列习题的教学价值

高中代数下册Ｐ１２８有这样一道习题：已知数列｛ａｎ｝的项满足ａ１＝ｂ,ａｎ＋１＝ｃａｎ＋ｄ（）其中ｃ≠０,ｃ≠１,证明这个数列的通项公式是ａｎ＝ｂｃｎ＋（ｄ－ｂ）ｃｎ－１－ｄｃ－１．这是传统教材中仅有的一个递推数列习题．教材给出了通项公式,只要求用数学归纳法证明一下,这比直接求数列｛ａｎ｝的通项公式难度要低一些．新教材对递推数列要求有所提高,在原传统教材的基础上,增加并明确“递推公式也是给出数列的一种方法”,因此,直接求形如ａｎ＋１＝ｃａｎ＋ｄ型的通项公式,学生都应掌握．其实,这类问题在高考试…     

问题征解

有关不等式与组合几何的稿件邮送陈计（３１５２１１,宁波大学数学系;或ｃｈｅｎｄｉ○ａｎｂｕ．ｅｄｕ．ｃｎ）,平面几何与数学游戏的稿件邮送叶中豪（２０００３１,上海教育出版社数学编辑室;或ｓｈｅｄｕｐｈ○ａｍｓ．ｓｔｎ．ｓｈ．ｃｎ）,其它稿件邮送葛军（...     

问题征解

有关不等式与组合几何的稿件邮送陈计(315211,宁波大学数学系,或ｃｈｅｎｄｉ@ｎｂｕ.ｅｄｕ.ｃｎ),平面几何与数学游戏的稿件邮送叶中豪(200031,上海教育出版社数学编辑室,或ｓｈｅｄｕｐｈ@ｍｓ.ｓｔｎ.ｓｈ.ｃｎ),其它稿件邮送葛军(210097,南京师范大学数学系,或ｊｇｅ...     

一道课本不等式的再推广

文［１］对高中代数下册中的习题：已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）≥ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）（１）从变元指数上进行了推广，得到：若ａ，ｂ，ｃ＞０，ｋ，ｍ，ｎ∈Ｎ，ｍ＋ｋ＝ｎ，ｍ≥ｋ，则２（ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ）≥ａｍ（...     

The Initial Boundary Value Problem for Symmetric Long Wave Equations with Nonhomogeneous Boundary Value

Ｔｈｅ　Ｉｎｉｔｉａｌ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｆｏｒ　Ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　Ｌｏｎｇ　Ｗａｖｅ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　Ｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　ＶａｌｕｅＭｉａｏＣｈｃｎｘｉａ（苗晨霞）（Ｉｎｓｔｉ...     

一个代数不等式与一类几何不等式的指数推广

本文介绍一个代数不等式,应用它直接将一类常见的几何不等式进行指数推广．定理若ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ且ｎ≥２,则ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ３≥（ａ＋ｂ＋ｃ３）ｎ（＊）当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时等号成立．证当ｎ＝２时,∵ａ２＋ｂ２＋ｃ２３－（ａ＋ｂ＋ｃ３）２＝（ａ－ｂ...     

对一个不等式的深入思考

问题　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4.这是《数学教学》2 0 0 1年第 6期问题栏的一道新题 ,我们的深入思考是 :从次数方向探索 ,对自然数ｎ ,此题有无推广的新题呢 ?推广 1　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :1 )对于 1≤ｎ≤ 4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤ 2ｂｎ 均成立 ;2 )对于ｎ >4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤2ｂｎ不能成立 .证　 1 )由原不等式ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4的证明过程易知 ,其等号当且仅当ｃｏｓＢ =12 ,且ｂ2 =ａｃ,即ａ =…     

ON THE TOTAL COLORING OF GRAPH G ∨H

ＯＮＴＨＥＴＯＴＡＬＣＯＬＯＲＩＮＧＯＦＧＲＡＰＨＧ∨Ｈ￥ＸｕＢａｏｇａｎｇ（许宝刚）（Ｍａｔｈ．ｏｆＤｅｐｔ．，ＳｈａｎｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎａｎ２５０１００，Ｃｈｉｎａ．）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｔｏｔａｌｃｈｒｏｍａｔｉｃｎｕｍｂ...     

问题征解

本栏特邀主持人　陈　计　叶中豪　葛　军有关不等式与组合几何的稿件邮送陈计（３１５２１１,宁波大学数学系;或ｃｈｅｎｄｉ＠ｎｂｕ．ｅｄｕ．ｃｎ）,平面几何与数学游戏的稿件邮送叶中豪（２０００３１,上海教育出版社数学编辑室,或ｓｈｅｄｕｐｈ＠ｍｓ．ｓｔｎ．ｓｈ．ｃｎ）,其它稿件邮送葛军（２１００９７,南京师范大学数学系,或ｊｇｅ＠ｎｊｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ）问题２０１．浙江周晓东（ｚｈｏｕ－ｘｄ＠１８８．ｎｅｔ）提供随着微软的ｗｉｎ９５／９８的普及,其随带的小巧的扑克游戏“空当接龙”（英文版又名ｆｒｅ…     

Asymptotic efficient estimation in semiparametric nonlinear regression models

§１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＣｏｎｓｉｄｅｒｔｈｅｆｉｘｅｄｄｅｓｉｇｎｓｅｍｉｐａｒａｍｅｔｒｉｃｎｏｎｌｉｎｅａｒｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｍｏｄｅｌｓｇｉｖｅｎｂｙｙｉ＝ｆ（ｘｉ,θ）＋λ（ｔｉ）＋εｉ,ｉ＝１,．．．,ｎ,（１）ｗｈｅｒｅｆ（,）ｉ...