从賈宪三角形談起——高三代数教材研究点滴

高三代数书上介紹賈先三角形,粗看起来內容不多,其实大可研究。茲以实例說明。 (一)課本上提到在賈宪三角形里面除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和,我就抓住这一道理,通过图解首先让同学牢固掌握課本第9頁[例2]C_m~n+C_m~(n+1)=C_(m+1)~(n+1)这一組合性貭。(图解見图1) 在掌握这一图解法的基础上,我帮助同学拓展知識領域,先把C_m~n+C_m~(n+1)=C_(m+1)~(n+1)改写为C_1~1·C_m~n++C_1~0·C_m~(n+1)=C_0~0·C_(m+1)~(n+1)的形式,而在“图1”中以C_m~n,C_m~(n+1)C_(m+1)~(n+1)为頂点的三角形适巧与以C_1~1,C_1~0,C_0~0为顶点的三     

局部(F_4)条件和两指标鞅a.s.收敛性

<正> §1.引言和记号 设(Ω,,P)为完备的概率空间.N+为非负整数集,N_+~2={Z=(m,n):m,n∈N+}.N_+~2依通常顺序构成定向集,在N_+~2上定义运算“∨”和“∧”如下:设Z_1,Z_2∈N_+~2,Z_1=(m_1,n_1),Z_2=(m_2,n_2),则     

分解理论在线性迭代系统中的应用

§1 前言 研究线性迭代系统 x_(m+1)=Px_m (1) 其中P是n×n阶常量矩阵,x_m是n维向量,它是整数变量m的函数。 大家知道,对于常系数线性微分方程组 而言,如果A的特征方程的根均具有负实部,本人已证明了:对于给定的负定m次型W,一定存在一个并且只有一个满足     

张量空间中高阶导算子的相合数值域

对于A∈C_(n×n),(?)A的k阶导算子δ_m~(k)(A)的相合数值域是指 R(δ_m~(k)(A))={E_k(x)|x∈D_m(A)},1≤k≤m≤n, 其中E_k(x)为C~m上的第k个初等对称函数。 D_m(A)={(diag U~TAU)(?)|U∈(?)_n(C)}。 本文的主要结论是:设A∈C_(n×n),s_1≥…≥s_n为(A+A~T)/2的奇异值,则当1相似文献   

度条件下的二部图的定向图

二部图是具有二分类(X,Y)的简单偶图,其中X的每个顶点与Y的每个顶点相连,若|X|=m,|Y|=n,则这样的图记为K_(m,n).该文研究了K_(n,n)的定向图.对于非负整数a和b,若存在满足每个顶点的入度或者是a或者是b的一个K_(n,n)的定向图,则存在非负整数s和t满足方程s+t=2n和as+bt=n~2.论文证明了如下结论:设s和t是任意两个非负整数,对于满足方程s+t=2n和as+bt=n~2的非负整数a和b,存在K_(n,n)的定向图使得每个顶点的入度或者是a或者是b,从而得到了上述必要条件为K_(n,n)是[a,b]_n可实现的充分条件.     

一道习题的推广

《中学数学》1983年第4期问题征解中有这样一题,求证 1+2+3+…+1983|1~5+2~5+3~5+…+1983~5。事实上,我们有一般的结论:1°。1+2+3+…+n|1~5+2~5+3~5+…+n~5,甚至更一般的结论:2°。1+2+3+…+n|1~(2k+1)+2~(2k+1)+3~(2k+1)+…+n~(2k+1)。这里n、k为任意自然数,为了证明这一结论,我们要用到整数的两个性质。性质1。两个连续整数必互质。性质2。如果(p,q)=1,p|m,q|m则pq|m、((p,q)表示p与q的最大公约数)。此二性质都很容易用反证法证明,这里从略。我们来证明上述结论2°。证∵ 1+2+…+n=(1/2)n(n+1),记 S_(2k+1)(n)=1~(2k+1)+2~(2k+1)+…+n~(2k+1),     

关于高斯整数环的商环元素个数的注记

设 Z表示整数环 ,i表示虚数单位 ( i=- 1 ) .Z( i)为所有形如 a+ bi( a,b∈ Z)的复数组成的集合 ,称为高斯整数环 .高斯整数环中的元素称为高斯整数 .在文 [1 ]中 ,提出了两个猜测 ,其中之一是 :设 m和 n都是整数 ,则高斯整数环 Z( i)的商环 Z( i) /( m+ ni)的元素个数不超过 m2 + n2 .本文证明这一结论成立 ,且更明确的有 ,| Z( i) /( m+ ni) | =m2 + n2 .注意 ,对 m=0 (或 n=0 )以及 m任意但 n=1 (或 n任意但 m=1 )的情形 ,文 [1 ]已经证明此等式成立 .以下我们用 | A|表示集合 A的元素个数 ,也用 | α|表示复数 α的模 .下面给出的是…     

问题与解答

一本期问题 1.设a、m、n是正整数,n是奇数。证明数a~n-1和a~m+1的最大公因数不大于2。 2.证明数2~(5n+1)+5~(n+2)当n=0,1,2,…时,可以被27整除。 3.求出一个形如的整数的九位数,此数是四个不同素数的平方之积,且,(a_1≠0)。     

莱纳基分圆法的改进

<正> 等分圆周问题,除等分数为n=2~m(m为自然数)可作图极明显外,据高斯检验法,只有等分数为费马数n=2~2~k+1(k为非负整数)或合数n=2~mp_1p_2…p_l(p_i=2~2~k+1,i=1,2,…,l;p_i各不相同;m,k_i各为非负整数)时才能准确作图,这种n实在太少(如2—100之间仅有25个),且方法各异,有些还很复杂,故人们只好努力寻找近似分圆法,     

第二类Stirling数的一些同余式

设k,n为非负整数,S(n,k)表示第二类Stirling数.本文研究了S(n,k)模2的方幂的同余式,首先给出了一类二项式系数模2的同余式,然后利用上述结果得到了S(n,a2~m+b)模2~m的同余式.其表达式均由简单二项式系数组成,其中m≥3,b=0,1,2.这些结果改进了Chan和Manna的结果.     

一个高阶加速公式

本文给出一个高阶加速公式ψ(x_n)=x_(n+2)+(Δx_(n+1)(Δx_n+Δx_(n+1))·Δx_(n+2)·Δ~2x_n)/((Δx_n-Δx_(n+2))(Δx_(n+1))~2+(Δx_n+Δx_(n+1))·Δx_n·Δ~2x_(n+1))n=0,1,2,…其阶数为 P~2+1,其中 P 为已给的单点或多点迭代函数φ(x)之阶数。该公式较 Aitken δ~2加速公式更为有效且实用。     

一九九○年日本高考数学试题选解(四)

1.设n是1个三位数,而且是偶数.若n的任意次方幂所得之数其个、十、百位上的3个数与n的三位数相同.求n 解记n为n=a×10~2×10+c.其中,a,b,c是整数,0相似文献   

A_(m×n)矩阵的加边矩阵的奇异性问题

给定m×n阶矩阵A,我们给出了它的加边矩阵 为非奇的充分必要条件。其中O为r_1×r_2阶零矩阵。把M的逆矩阵记为分块形式 其中C_1为n×m、C_2为n×r_1、C_3为r_2×m、C_4为r_2×r_1阶矩阵。在一定条件下,我们证明了其中的C_1为A的广义逆矩阵A+。     

大型对称不定箭形线性方程组的分解方法

1 引言 首先考虑2×2矩阵 显然当k>1/2时,矩阵K是对称正定的,且K可以分解成Cholesky因子:当k=1/2时,K为奇异矩阵;而当k<1/2时,K为对称不定矩阵,这时K有广义Cholesky分解式:并且这种分解是稳定的,一般地我们给出定义 定义1.1 设有矩阵K∈R~((m+n)×(m+n)),若总存在排列矩阵P∈R~((m+n)×(m+n))和对称正定矩阵H∈R~(m×n)、G∈R(m×m)使得则称矩阵K为对称拟定(Symmetric quasidefinite)矩阵。     

C_n~k的奇偶性規律

(一) 奇偶性判别法则为方便起见,若两个非负整数a,b的奇偶性相同,即都是奇数或都是偶数,则记为a～b。显然,这个关系式是一个等价关系,即 (ⅰ) a～a。 (ⅱ) 若a～b,则b～a。 (ⅲ) 若a～b,b～c,则a～c。不仅如此,还有结论: (ⅳ) 若a～b,c～d,贝a+c～b+d。 (ⅴ) a～0表示a为偶数,a～1表示a为奇数。本文主要是给出下面的判别法则: 法则.给定非负整数n,k(0≤k≤n),则C_n~k的奇偶性由以下的方法而定(约定C_0~0=1): 先将数n+1表成二进位形式,即求出非负整数     

一类正整数是否是孤立数的讨论

对于任意正整数n,令σ(n)表示为n的所有正因数的和函数.对于正整数n,若存在正整数m满足关系式σ(n)=σ(m)=n+m,则称正整数数对(n,m)为一对亲和数;若不存在正整数m满足关系式σ(n)=σ(m)=n+m,则称n为孤立数.亲和数与孤立数是数论中的两类重要的整数.利用初等方法结合计算机python语言,证明了整数E(33,t)=1/2(33^(2^(t))+1)是孤立数.     

不动点集是Dold流形P(2m+1,2n+1)的对合

本文证明了具有光滑对合T的(4n+2m+3+k)-维闭流形,如果对合的不动点集为F=P(2m+1,2n+1),其中2m+2n=2+22+…+2b(2b为2n二幂展开式的最大二幂),m=4a或m=4a+3(a为非负整数),0相似文献   

应用(a±b)~2=a~2±2ab+b~2速算整数的平方

熟记11～25各整数的平方,是速算整数平方的基础。因而本文是在能熟记11～25各整数平方的基础上展开讨论的。一 25～100各整数的平方 1° 25～75各整数的平方 25～50的二位数可表示为50-a(a∈Z,且a≤25),a叫做该二位数对于50的补数; 50～75的二位数可表示为50+a(a∈Z,且a≤25),a叫做该二位数对于50的过数。 (50±a)~2,=50~2±2×50·a+a~2=2500±100a+a~2=(25±a)×100+a~2=〔(50±a)-25〕×100+a~2。上式说明:求25～75各整数的平方,可先求该数与25之差的100倍,再加上补数或过数的平方。     

SU(m+n)SU(m)×SU(n) ISOSCALAR FACTORS AND S(f_1+f_2)S(f_1)×S(f_2) OUTER-PRODUCT ISOSCALAR FACTORS

It is proved that the SU(m+n)SU(m)×SU(n) isoscalar factors (ISF) are equal to the S(f_1+f_2) outer-product ISF of the permutation group. Since the latter only depend on the partition labels, the values of the SU(m+n)SU(m)×SU(n) ISF do not depend on m and n explicitely. Consequently for a f(=f_1+f_2)-particle system, by evaluating the S(f) S(f_1)×S(f_2) outer-product ISF we can obtain all (an infinite number) of the SU (m+n) SU(m)×SU(n) ISF (or the f_2-particle coefficients of fractional parentage) for arbitrary m and n at a single stroke, in stead of one m and one n at a time. A simple method, the eigenfunction method, is given for evaluating the SU(m+n) SU(m)×SU(n) single particle ISF, while the many-particle ISF can be calculated in terms of the outer-product reduction coefficients and the transformation coefficients from the Yamanouchi basis to the S(f_1+f_2) S(f_1)×S(f_2) basis.     

不动点集是Do1d流形P(2m+1,2n+1)的对合

本文证明了具有光滑对合T的(4n+2m+3+κ)-维闭流形,如果对合的不动点集为F=P(2m+1,2n+1),其中2m+2n=2+22+...+2b(2b为2n二幂展开式的最大二幂),m=4a或m=4a+3(a为非负整数),0＜κ≠2,则对合T协边于零.