两道平面几何竞赛题的复数解法

本文介绍87年高中联赛第二试第一题、第三届冬令营第二题的复数解法。笔者希望,读者不仅能从中获得两道个别题目的新鲜解法,而且能从中体会RMI解题原则: 1.作一个变换,把几何条件转化为复数关系。如把点A映射为复数A,把有关几何条件,映射为复数算式。     

几道竞赛题的简解

2009年印度数学奥林匹克有这样一题：设a,b,c为正实数且满足a^3＋b^3=c^3,求证：     

一道数学竞赛题的几种解法

一九八五年省市自治区高中联合数学竞赛第二试第二题:如图1,在正方体ABCD-A_1B_1C_1D_1中,E是BC的中点,F在AA_1上,且A_1F:FA=1:2,求平面B_1EF与底面A_1B_1C_1D_1所成的二面角。除《标准答案》的解法外,另提供几种解法,供参考。     

两道立体几何问题的向量解法

本刊2003年9月(上)《高考早班车》中立体几何部分针对立体几何的考试热点给出了几个例题,本文从中选取了两个问题给出了它们的向量解法。     

1道向量题的精彩解法

题目 在四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.且a·b=b·c=c·d=d·a.问四边形ABCD是什么四边形? 做过这道习题的同学或老师都知道这道题不大"好做",为说明这一点,笔者摘录参考文献[1]上对本题的解法和点评.     

几道大学生数学竞赛题的注记

对几道大学生数学竞赛题作了统一的推广.     

一道竞赛题的解法

2002年我爱数学初中生夏令营第一试第二题是一道几何题,董圆圆同学的解法受到主试委员会专家的肯定.现在把她的解法刊登出来供同学们参考.     

通过联想巧解几道竞赛题

一、巧构特殊图形妙借面积公式[例1](第15届全俄数学竞赛题) 设x、y、z都是小于1的正实数. 求证:x(1-y) y(1-z) z(1-x)<1. 分析本题是证代数不等式,若按代数证法,较为繁冗.我们观察到:待证式左端为轮换对称式及数字“1”,可联想到构造一个边长为     

向量问题的几种常见解法

<正>在数学高考中,纯向量问题占有相当的数量,且有一部分题目技巧性强,难度大,值得引起我们的重视,本文提出几种常见方法,以期为解决此类问题抛砖引玉.一、利用定义和基本概念     

一道数学竞赛题的几种解法及推广应用

1999年陕西省大学生高等数学竞赛试题中有如下一道试题：计算的值,其中n为正整数．下面我们先给出其几种解法：解法一利用和差化积公式,由于解法二利用数学归纳法,当n＝1时,显然有当n＝2时因此我们可猜测：下面我们用数学归纳法证明,假设当n＝k时有则当n＝k十1时,解法三利用欧拉公式,以下同解法～．解法四利用换元积分法,令x一计2十户,则而由欧拉公式,。。。。。,’。,、t、,。、,,、,、,。nISllZnx,与本题相类似,我们还可以证明爿——dX一O．。＿．＿。广slnnx．门,n为偶数;综上可知：D——dX二nJbSIn1卜,1为奇…     

几何竞赛题多种解法

<正>2015年"希望杯"数学竞赛(高一1试)第23题:如图1,在四边形ABCD中,AB=1,BC=3¹/2+1,AD=61/2+1,AD=6¹/2,∠ABC=120°,∠DAB=75°,则∠BAC=__,CD=__.笔者从不同角度添加辅助线,从而达到帮助同学们提高观察问题的能力和解题能力.     

用向量解竞赛题

向量是数学中的重要角色 ,是沟通数和形内在联系的有力工具 ,也有着深刻的物理背景 ,用它来解决复数问题既简捷又直观 ,不仅免去了冗长的运算 ,而且能直接抓住问题的本质 ,是数形结合不可多得的例证 ,对学生数学能力的培养及数学素养的养成都具有重要的作用 .例 1　 (1999年全国高中数学联赛加试第二题 )给定实数ａ ,ｂ ,ｃ ,已知复数ｚ1,ｚ2 ,ｚ3满足|ｚ1|=|ｚ2 |=|ｚ3|=1,ｚ1ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1.求 |ａｚ1 ｂｚ2 ｃｚ3|的值 .解　∵ |ｚ1|=|ｚ2 |=|ｚ3|=1,∴ |ｚ1ｚ2|=|ｚ2ｚ3|=|ｚ3ｚ1|=|- 1|.又ｚ1ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1,∴ ｚ1ｚ2 ｚ2…     

一道竞赛题的解法探究

解一道具有一定难度的数学题,刚开始也许会感到束手无策,但是,如果认真分析题设中所给出的条件,寻找条件与结论之间的内在联系,进行从已知到未知的沟通,就会找到解决问题的思路.下面以一道2011年江苏赛区初赛整除试题为例来探究它的解法.     

一道竞赛题的多种解法

<正>~~     

一道竞赛题的巧妙解法

第二届北京市高中数学知识应用竞赛决赛试题的第６题是：图１　　　　　　　　　图２如图１,有一条河,有两个工厂Ｐ和Ｑ位于河岸ｌ（直线）的同一侧,工厂Ｐ和Ｑ距离河岸ｌ分别为１０千米和８千米．两个工厂的距离为１４千米．现在要在河岸工厂一侧选一点Ｒ,在Ｒ处修建一个水泵站,从Ｒ修直线输水管分别到两个工厂和河岸,使直线输水管的总长最小,请确定出Ｒ的位置,并分别求出水泵站Ｒ到两个工厂和河岸的三个距离．运用费马点,笔者得到该命题的巧解．解　要使输水管总长（设为Ｓ）最小,则Ｒ到河岸ｌ的输水管必垂直ｌ于Ｄ,且Ｒ是△Ｐ…     

一道竞赛题的多种解法

2004年重庆市初中二年级数学竞赛决赛试题的第16题,答案只给出一种解法．本人又通过构造不同的图形,得出了多种证法,且证明中涉及了平面几何的一些重要图形．现介绍如下．     

一道竞赛题的多种解法

关于一道三重积分不等式的数学竞赛题,考虑被积函数和积分区域的特征,分别运用几何方法、柯西不等式和球面坐标,给出了多种解法,与原解法对比,显示出解题思路的灵活性.