幾何學

幾何學是數學科學的一部門,在這門科學中所研究的是物體的空間關係和形狀,以及現實的其他關係和形狀,這種關係和形狀就其結構而論是跟空間的關係和形狀相類似的。“幾何學”一詞在希臘文中按照字面是量地的意思,這名詞的來源可以從下面的話得到說明,這話相傳出於古希臘學者羅得島的歐德謨(公元前四世紀):“幾何學由埃及人開創,乃在土地的測量中發生,這種測量對於他們是必要的,因為尼羅河的泛濫經常把邊界冲掉。跟其他科學一樣,這門科學也從人類的需要發生,這是不足為怪的,任何生長起來的知識從不完善的狀態變為完善。它起源於感官的知覺,漸漸變為我     

中国數學發展情形

現在說述“中國數學發展情形”,中國有悠久的歷史,有悠久的文化,這不是一句空話,不獨政治如此,就是各項科學在中國也是如此,毛主席曾說:“中國是世界文明發達最早的國家之一,中國已有了將近四千年的有文字可考的歷史。”所以我們需要研究中國數學發展史,因為數學是一門基礎性科學,可是以往雖然有不少的科學家和歷史家,計劃研究中國數學發展的情况,因為此項工作範圍廣大,任務十分繁重,到現在還是沒有成熟,現在報告不週到,和不齊備之處,还希望各方的原諒。     

指導複習应用問題

1)应用問题与方程:在我們講課中应明確:要解决我們生活实际中的应用問题,必須在數学中產生方程这个內容。反之任何一个具有实根的方程都有它的实际意义,方程式「現代学校代數課的內容的四个主要發展系統之一。」「在現在的代數課中無疑的是很重要的。」(伯拉斯基著,吳品三譯中学數学教学法第三册§2) 2)解应用問题之意义:解应用問題就是要把關於數量的事实問題,化成代數問題,換一句話說就是要做一次翻譯工作,把普通語言譯成代數語言,这首先是用字母代未知數,其次是用+、-、×、÷等符号联合字母与已知數成代數式,以表各种事实關係,再用等号联合兩代數式以表合乎条件的相等關係,於是事实間題,化成方程的關係,解方程即求出合於事实条件的未知數。事实問題中的限制很多,方程往往不能完全顧到,同時解方程的过程可能有違背事实的情形,故解方程求得根之後是否合事实仍須審查。 3)定未知數:一个題中未知數往往不止一个,题中指定要求的为直接未知數,題中不必求出的为     

中学數学中函數概念的引導

十九世紀的數学已經把函數的概念从解析式子这个桎梏之中解放了出來(指实变函數),並且提出了“对应性”,这說明当時已初步具有了現代一般的函數概念,首先提出这个概念的,是俄罗斯數学家罗巴切夫斯基,1834年時,關於函數概念,他寫过下面的話:“这个一般的概念要求:若有一个數,它隨着x的每一个值而確定,又随着x而逐漸变化,那麼这个數就称为函數。函数的意义,可以用解析式子表達,也可以用条件來表達;我們可籍这式子或条件來試驗所有的數目而选擇適合的數目;最後,由相依關係可能找出,也可能找不出。”經过三年(在1837年)这个概念由列仁-吉瑞荷通过函數定义的形式表示出來,这函數定义一直保留到現在:“y是变量x在區間a≤x≤b上的函數,如果这个區間上每一个x值对应着一个確定的y值;至於这种对应關係是怎样確定     

紀念罗巴切夫斯基逝世一百周年

今年是俄國大數学家罗巴切夫斯基逝世的一百周年纪念,为了向讀者介紹这位偉大的学者,我們在本期發表幾篇紀念文章。罗巴切夫斯基的最大貢献是發現了非歐幾里得幾何学。自从古希臘時代歐幾里得的“幾何原本”(紀元前300年左右)出現以後,兩千多年中人們(包括數学家們)認为歐幾里得幾何是反映人類的空間認識的唯一的科学知識,而唯心主义的学者们甚至殭化和曲解人類認識的这种歷史的局限性,由此提出空間認識可以脫离經驗实踐和空间可以脫离物質而独立存在的論調。这种唯心的錯誤論調大大地阻撓了幾何学甚至整个數学的發展,非歐幾里得幾何的發現給这种論調以致命的打擊,因而也就造成了幾何(以至數学)领域里唯物主义的一次偉大的勝利。得到这个勝利的無比光荣屬於罗巴切夫     

数学競賽委員会举行了第三次數学通俗講演会

1956年3月11日下午,數学競賽委員会举行了第三次數学通俗講演会,請中國科学院学部委員苏步青講“非歐幾何学。”苏步青先生首先講了非歐幾何的產生。他說:二千多年前,希腊數学家歐幾里得總結了在他之前的一些數学研究成果,用当時認为最科学的方法編寫了“幾何原本”,这本書的內容和現在中学的幾何課本大致相同,在这本書里,歐幾里得引入了第五公設,在他之後的很多數学家都想証明它,但是都沒有成功,後來罗巴切夫斯基提出了新的理論,否定了第五公設,於是,罗氏就在他的定理的基礎上建立了非歐几何学,接着,他講了非欧幾何学和歐氏幾何学的關係,最後,他簡單的介紹了幾何学基礎,並詳尽地說明了公理系統。     

9-15世紀中亞細亞數学的發展

數学科学是幾千年來人類智慧創造性劳動的產物,它是为了滿足不断增長着的社会需要而發生和發展的。居住在我們國土上的各民族,曾对數学發展作了巨大貢獻,我們引以自豪;很多數学上的偉大發明是我們的祖先在很久远的歷史年代中的創作。本文想列举9-15世紀在現今我們中亞細亞各共和國境內數学家們的最大成就。中世紀黑暗時代,当西方科学和文化衰落時期,在中亞細亞居注着很多大学問家——數学家和天文学家,他们非但为後代保存了古希臘和埃及的科學成就,並且大大推進了科学。     

佈列一次方程教學中的分析與綜合

如果學員在算術學習中能熟練地運用分析與綜合的方法解析應用題,已經熟悉了應用題中的數量間的相依關係。同時,如果教員不是有意或無意地把代數學科與算術學科對立起來,而是按科學的系統把它們自然地連接起來,那麼布列一次方程的教學就不是什麼困難的事,但這只是問題的一方面,問題的另一方面是:由於布列方程與布列算式之間的差異,由於布列方程的中心問題是尋找數量間的相等關係。因此,對於如何運用科學的分析與綜合的方法以進行布列方程的教學,這仍是值得研究的問題。布列方程中的兩種解析方法是明顯的:先找出未知數與已知數的相依關係,組成代數式,從而發現數量間的相等關係,布列方程——這是把各個部分統一為整體的思維過程,我們叫它為“綜合法”;理解了應用題的條件,先在思想上有     

幾何學(續)

Ⅵ.幾何學的解釋同一項幾何理論可以有各種不同的應用,各種不同的解釋(現實化、模型、有時候也叫做說明),理論的任何應用不外乎道理論的某些推論在相應的現象區域中的“現實化”。各種不同現實化的可能性是一切數學理論的共同特性,這樣,算術的關係便在最不相同的各類物件上達到現實化;而同一個方程常常描寫完全不同的現象,數學撇開了內容,只研究現象的形狀,而由形狀的觀點看來許多性質各異的現象常常是相類似的,數學應用的繁多,特別是幾何學應用的繁多,正是從它的抽象的性質獲得保障的,我們認為某種物體系統(現象區域)提供了一項理論的現實化,只要在這物體區域中的關系都可以用這理論的語言來描述,因而這理論的每一句斷語表明了所考慮區域中的某一件事實,特別是假使理論是建立在某種公理系統的基礎上的話,那麼這理論的解釋就是某種物體及其間     

洛必大法則的一個推廣

用來求無窮小或無窮大變量之此的極限的洛必大(G.F.de l′Hospitale)法則為我們所熟知,本文用幾何方法來證明此法則因而推廣此法則,最後並利用推廣後的法則說明它與極限論中一古典定理——施篤茲(O.S.Stolz)定理問的關係。§1. 洛必大法則的幾何證明洛必大法則有兩個,可叙述如下: 法則一如f(t)及g(t)連續於區間(a,b),且(?)而在這區間內部導數f′(t)及g′(t)都有限,且f′(t)≠0;如果(?)(有限或無窮大),則必(?) 這裹為了以後說話方便,將所有的極限都寫成了右極限,其實只要這一法則能够證明,那末     

芬斯拉空間極小超曲面的同態變換

<正> 在芬斯拉-嘉當空間裹,正如J.M.Wegener所指出,極小超曲面的確定是和某一定的超曲面參數族的選擇有關的,並且除了A_i=0的芬斯拉空間而外,在幾何學上很難給它以完備的意義.現時A.Deicke證明了在完全正测度之下具有A~i=0的芬期拉空間恰是黎曼空間.這個驚異的結果使得在這樣特     

介紹新編中学平面幾何課本

人民教育出版社根据中学數学教学大綱(修訂草案)編寫的初級中学課本平面幾何和高級中学課本平面幾何,从今年秋季開始,已在全國各地使用,筆者曾参加这兩本書的編寫工作,現在把筆者个人的一些体会以及对某些問題的看法,找出來供使用这兩本書的教師們参考,並和關心新課本的同志們共同商榷。一中学數学教學大綱(修訂草案)中指出,“幾何教学的目的,在於系統地研究平面上和空間物体圖形的性質,並且利用这些性質去解决計算題和作圖題;在於發展学生的邏輯的思維和对於空間的想像力;並且使他們能运用所学到的知識去解决实际問題,進行实地测量,测定各种建築物     

非歐幾何的創立

非歐幾何的發現解决了幾何学中兩千多年的一个基本問題,大大地擴展了幾何学研究的对象,在根本上改变了人們对幾何学的看法,開創了幾何学的一个新時代,第一个發現非歐幾何的罗巴切夫斯基非常恰当地被称为幾何学中的哥白尼。非歐幾何的創立在整个數学的發展上,特别是在數学基礎的問題上起着深远的决定性作用。但是,單从幾何学和數学本身去說明非歐幾何的歷史意义是很不够的。因为,非歐幾何的影响远不限於幾何学和數学。非歐幾何的問題,虽然是从幾何学中提出的,实际上却牽涉到哲学的基本問題。非歐幾何的創立打破了兩千多年的唯心的形而上学的空間观念,把幾何学从傳統的哲学束縛下解放出來,因而有着非常重要的認識論上的意义,非歐幾何的歷史是唯物主义和唯心主义在幾何学中的一段鬥爭     

三維黎曼空間中曲面的平均曲率及第二基本形式

<正> §1.T.Y.Thomas在三維歐氏空間的曲面論中將一般曲面的第二基本形式的係數用平均曲率及測度張量代數地表示出來.作者利用了高維歐氏空間超曲面的變形理論在高維歐氏空間的可變形超曲面上也得到同樣的結果,因此得知:對於歐氏空間的可變形超曲面一般地可以由測度張量及平均曲率完全予以確定.在該文的證明中曾經推廣T.Y.Thomas的結果到三維常曲率空間的曲面論.本文的目的是關     

学習苏联、舉行數学競賽!

在向苏联及各人民民主國家学習的过程中,我們知道苏联有中学生的數学競賽(称为「數学奥林匹克」),已举行了多年,波蘭和匈牙利、保加利亚等國也举行了很多年,波蘭是學習了苏联的經驗而举行的。根据我們現在的了解,这是培养數学幹部和提高數学干部質量的一个很好的办法,在提高質量为文教重要方針的今天,就更有它重要的意义。得顯然的,數学競赛的作用还不只就是选拔有數学才能的学生而已,当然这是个主要的作用,它还可以促進中学數学教学水平的提高和中学学生学習數学兴趣的提高。甚至於可以說,对於我們文化教育和科学研究水平的提高也起着一定的作用。我們大家都知道,數学是中小学裹最重要的課程之一,它的鍾點之多是僅次於語文課的,加里寧說过,語文、數学和体育是中小学裹最重要的三門課程,那是完全正確的,高等学校裹,理工科各个專業一般都要讀很多鐘點的數学課,因此中学數学教学     

我們的數学課外活動

課堂教学是学校教学工作的基本組織形式,但是單靠課堂教学來帮助学生牢固地掌握知識,發展独立思維,以培养学生成为全面發展的人是不够的,必須在課外展開多种多样的活動,因此学校的課外活動是貫徹全面發展教育方針的不可缺少的一部分。現在僅把我校數学科的課外活動作一个概括的介紹: 1951年12月數学通報刊印了苏联中学數学教学大綱,跟着在1952年2月我們的中学數学教学大綱(草案)公佈了,上面指示着:“学生課外活動組織有數学小組、牆報、晚会等,对發展学生学習數学的兴趣有重大意义。”我組同志開始琢磨这些問題,但是思想上还不够明確,時間与材料的困难認为無法解决。在学生閱讀参考書時,有的教師不加指導,恐怕学生的問題     

我們所見到的苏联中学的數学課堂教学

我們在参观苏联学校期間,团員中的數学教師及部分团員共听了六節中学的數学課,現將听課学校和課程等列後: 我們把所掌握的關於數学課堂教学的材料分为兩部分加以整理,一部分是基輔塔拉沙夫卡中学六年級一節代數課的寫实記錄,使同志們对苏联教師及学生在一節課內怎样進行工作有一个完整的了解;另一部分是綜合介紹我們所体会到的苏联中学數学課堂教学的一些特點,供同志們参考。我們把基輔塔拉沙夫卡中学六年級的一節代數課進行情况作一寫实介紹,並不因为这一節課的質量一定比其他各節譟高,而是因为这一節课的記錄比較全面、詳細,另外,由於我們不懂俄文,要經过翻譯才懂得講解內容,而且基     

談談“數学通報”与教学

在“數学通報”没有問世以前,我們業务学習的刊物主要是“人民教育”,虽然在“人民教育”中可以学到一些东西,但是“人民教育”中關於數学教学方面的內容却不是每期都刊載的,当時我們迫切地希望出版一种全國性的數学教学刊物,使我們能够經常地从那裹吸取一些苏联和國內同志們的數学教学的宝貴經驗,以及一些先進的數学知識和教育理論,用以指導和提高我們日常的教学工作,1951年年底中國數学会主編的“中國數学雜誌”出版了,滿足了我們的这个更求,特別是“中國數学雜誌”更名为“數学通報”之後,每月出刊一次,在稿件的选登上也是面向中学数学教師的,正如“數学通報”徵稿啟事的第二条所寫的那样;“本通報係以中学數学教師为主要对象…”而且每期的內容日益丰富充实,我們每接到一期總是仔細地閱讀跟我們教学有關的一些文章,二、三年來,我們从这裹面学到了許多东西:有的是我們过去不知道的,而現在我們知道了;     

集合与一一對应

§1.集合我們对待日常生活中所接觸到的事物,往往是把若干个別事物看成一个整体,以便於談論或处理,例如:一班学生,一套圖書,等等,在數学中也是如此,例如我們說:“一多边形所有的頂点”,“所有〈100的素數”,“一个实函數的某些不連續點”,等等,这些由个別事物組成的整体,我們称之为“集合”。若一个集合,A是由个体α,β,γ,…組成的,我們常常寫作A={α,β,γ,…};α,β,γ,…称为集合A的元素,元素对集合A的从屬關係用“∈”來表示,例如α∈A,β∈A,…,有時也寫成A(?)a,A(?)β,…(初学者可略去以下幾點注意而直接閱讀§2)。     

關于在中学數学教学中重視各科之間的联系問題的意見

本年暑假中,一个高中二年級学生(合肥一中高二学生李安福)对我說:“我觉得在学習高中數学中的極限問題最为难懂,可真把人‘急’住了!教我們代數和幾何的兩位教師水平都很高,可是,在講到極限问题時,我们学了好久概念總是模糊,代數教師說是關於極限概念在上幾何課中会搞清楚的;幾何教師也論關於極限概念在上代數课中是会詳細講清的。可是,我们却老是搞不清楚,最后,还是由幾何教師詳詳細細講了一番,概念才算搞明確了。”这正是在數学教学中存在着忽視各科之间的联系的現象的一个事例,最近,我看到數学通報1955年9月号社論,提出了向在中学數学教学中忽視各科之間的联系这一现象進行鬥爭的号召,要求更多的教師就这一問題發表意見和經驗,不禁回憶起上面的事例,我認为这一现象的存在,確实是提高教学質量的一大障碍;是和培养学生辯証唯物主义的世界观的原則背道而馳的!现在我就我个人的看法,提出如下意見。