是否可以不用判别式？

文[1]和文[2]说明了当求含有参数的两条二次曲线有公共点时，只考虑判别式是不够的，还应注意到根的范围，笔者阅后颇受启发，但同时也注意到此法计算量大，并且学生容易“考虑不全”，那么是否有一种方法可以简明地解决这类问题，并且做到“不重、不漏”呢？在这里我们向大家推荐不用判别式的“切线重合法”，这种方法不但思路清晰，简明，而且可以防止“增和漏”的毛病，现在仍以文[1]、文[2]的例题来介绍这种方法．     

一种直线与圆锥曲线位置关系的简便判别法

文[1][2]分别谈及了判别直线与椭圆、双曲线的位置关系的不同于一元二次方程判别式法的一种方法.可以看出,上述两种方法都不甚简明,而且文[1]的方法仅仅涉及椭圆,文[2]的方法不包括抛物线.     

待定系数法解一类条件最值题

问题设x,y是实数,且a_1x~2+b_1xy+c_1y~2=m(m≠0)时,求S=a_2x~2+b_2xy+c_2y~2的取值范围.文[1]利用构造一个一元二次方程,由判别式△≥0给出解以上齐二次问题一种通法,我们不妨称之为判别式法,此法较早见于文[2],而文[3]曾举例指出,此判别式法可能产生增解,若缺检验这一步将可能导致错误     

圆、椭圆、三角形的一个相关性质的简证及推广

文[1]利用“超级画板”给出猜想:与椭圆x2a2 y2b2=1内接,且与圆x2 y2=(aba b)2外切的多边形是三角形.随后证明了猜想.美中不足的是运算量过大,现给出另一证法,以供参考.图1椭圆过椭圆上的点B作已知圆的切线BA,BC.交椭圆于点A,C.设A(acosα1,bsinα1),B(acosα2,bsinα2),C(acos     

第1628号数学问题的推广与探究

最近笔者在研究圆锥曲线时,发现文[1]给出了第1628号数学问题为:直线l:x/m+y/n=1与椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)交于P、Q两点,O为椭圆的中心.求证:∠POQ=π/2的充要条件是1/m2+1/n2=1/a2+1/b2.文[2]经过探究得到性质(文[2]中的性质6):设P、Q为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)上的两点,O为坐标原点,OP⊥OQ,则1/|OP|2+1/|OQ2|=1/a2+1/b2.     

相似椭圆的性质再探

由文[1]的定义,我们把椭圆E1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)和E2:x2/a2+y2/b2=λ(λ>0,λ≠1)称为相似椭圆(可以证明:两相似椭圆有相同的离心率),文[2],[3],[4]给出了相似椭圆的一些性质,本文再给出相似椭圆的若干性质.     

直线与椭圆位置关系的一个判定定理的简证

文[1]证得下面: 定理若直线ι:Ax By C=0,(A2十B2≠0)与椭圆c:(x-x0)2/a2 (y-y0)2=1有公共点,则有:(Aa)2 (Bb)2≥(Ax0 By0 C)0. 本文给出上述定理的一个简单证明. 证明设x-x0/a=X,y-y0/y=Y,即x=x0 aX,y=y0 bY.则直线ι与椭圆c有公共点(?)方程组     

判断直线与椭圆位置关系的两种新方法

“判别式”法是判断直线与椭圆位置关系的常用方法,笔者在进行“研究性学习”教学时发现了两种判断直线与椭圆位置关系的新方法.1　提出问题已知直线L :x -y + 9=0 ,椭圆E :x21 2 +y23=1 ,E的两焦点为F1,F2 ,求以F1,F2 为焦点,且与L有公共点M的椭圆中,长轴最短的椭圆E′的方程.经过学生探索讨论,一般可得下面两种解法.方法1　F1( - 3,0 ) ,F2 ( 3,0 ) ,设椭圆E′的方程为x2m+ y2m - 9=1 (m >9) ,原题转化为求m最小时E′的方程.由x2m+ y2m - 9=1 ,x -y + 9=0得( 2m - 9)x2 + 1 8mx + 90m -m2 =0 .由Δ=8m3- 432m2 =32 4 0m≥0得m≥4 5…     

椭圆及双曲线平行弦的又一组性质

文[1]给出了双曲线平行弦的两个性质,文[2]将其推广到圆与椭圆,笔者进一步研究,得出了椭圆与双曲线的又一组性质.性质1如图1,若P是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上任意一点(非长轴端点),连结OP,过椭圆的焦点F作直线MN,使MN∥OP,且交椭圆于M,N两     

巧法不如通解

有些时候 ,我们费尽心思获得一个题目的“巧妙解法”,再仔细回头一看 ,还不如用普通的“笨”方法来得简捷 ,这就说明寻找问题的解法不必刻意追求巧解 ,寻求通解才是本份 .例 1　已知实数 x,y满足( x x2 1 ) ( y y2 1 ) =1 ,求 x y的值 .这是文 [1 ]中的例 5,注意到 x x2 1与 y y2 1互为倒数 ,我们可以获得如下简洁易懂的解法 .解　由条件 ,得x2 1 x =y2 1 - y,1x2 1 - x =y2 1 y,21 - 2 ,得　 2 x =- 2 y,∴　 x y =0 .例 2　解方程　 x 4 - y2 - y 9- z2- z 9- x2 =1 1 .这是文 [2 ]中的例 6 .考虑用配方法…     

由点与椭圆的位置关系探索一道高考题的新解法

平时在解题过程中往往运用一些结论性的知识,而缺乏对这些结论的深刻认识,从而会错失一些有效的解题方法.如果在解题之后能养成反思总结的习惯,也许会获得更多的解题思路. (2010湖北高考文-15)已知椭圆C:x2/2+y2=1的两个焦点F1,F2,点P(x0,y0)满足0＜x20/2+y20＜1,则|PF1|+| PF2 |的取值范围为,直线x0x/2+y0y=1与椭圆C的公共点个数为_____.     

对可变换椭圆与双曲线的张角与最值点的性质探究

作下列变换可使椭圆x2/a2+y2+b2=1变换成双曲线x2/a2-y2/b2=1.如图,设A1、A2是椭圆x2/2+y2/b2=1长轴的两个端点,P1P2是与A1A2垂直的弦,则直线A1 P1、A2P2的交点轨迹是双曲线x2/a2-y2/b2=1.反之亦然.有关这种变换的实质在文[1]中已作了探讨.本文探究这两条可变换曲线的张角和最值点的性质.……     

构圆定界求范围

解析几何中求参数范围的问题一直倍受青睐 ,为此 ,本文特介绍一种“构圆定界法”速解一类解析几何范围问题 .图 1　例 1图例 1　椭圆 x29+ y24=1的焦点为F1,F2 ,P为其上的动点 ,当∠F1PF2为钝角时 ,点P横坐标的取值范围是 .解析　这是一道2 0 0 0年全国高考题 ,解法较多 ,但用构圆定界来解显得简捷明快 .由椭圆方程得a2 =9,b2 =4 ,∴c2 =5 .故以 |F1F2 |为直径的圆的方程为x2 +y2 =5 .由方程组x2 + y2 =5 ,x29+ y24 =1中消去 y ,得4x2 + 9(5 -x2 ) =36 .解之得P点的横坐标为x =± 355 ,此时∠F1PF2 =90° .故由图 1知 ,当∠F1PF2 为…     

椭圆、双曲线中“±b~2/a~2”的另一种几何解释

文 [1]给出了椭圆、双曲线中“± b2a2 ”的几何解释 ,本文给出中心在原点的椭圆、双曲线中“± b2a2 ”的另一种几何解释 ,并简要介绍其应用 .设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1,A(-a ,0 ) ,B(a ,0 ) ,P(x0 ,y0 )为椭圆上不同于A ,B的任一点 ,则kPA=y0x0 +a,kPB=y0x0 -a,∴kPA·kPB=y0 2x0 2 -a2 ,又点P(x0 ,y0 )在椭圆上 ,∴ y0 2 =b2a2 (a2 -x0 2 ) ,∴kPA·kPB=- b2a2 .　　类似地 ,对双曲线 x2a2 - y2b2 =1,A (-a ,0 ) ,B(a ,0 ) ,P(x0 ,y0 )为双曲线上不同于A ,B的任一点 ,有kPA·kPB=b2a2 .上述性质在求离心率范围、求轨迹方程…     

再谈直线x0x/a2±y0y/b2=x02/a2±y02/b2的几何意义及其性质

文 [1 ]、[2 ]分别讨论了直线x0 xa2 + y0 yb2 =1 ,x0 xa2 - y0 yb2 =1的几何意义 ,对应地 ,本文讨论直线 x0 xa2 + y0 yb2 =x0 2a2 + y0 2b2 和直线x0 xa2 - y0 yb2 =x0 2a2- y0 2b2 的几何意义 ,作为文 [1 ],[2 ]的补充 .为节约篇幅 ,本文重点讨论x0 xa2 - y0 yb2 =x0 2a2 - y0 2b2 在双曲线 x2a2 - y2b2 =1中的几何意义和性质 ,类似得x0 xa2 +y0 yb2 =x0 2a2 + y0 2b2 中椭圆中的几何意义和性质 .1　直线x0 xa2 ± y0 yb2 =x0 2a2 ± y0 2b2 的几何意义　　已知点D(x0 ,y0 )不在坐标原点 .性质 1 1　当x0 2a2 - y0 2b2 =1 (点D(x0 ,y0 …     

2010年高考湖北卷第9题的一个简解

2010年高考湖北卷文、理第9题均是: 若直线y=x+b与曲线y=3-4x-x2有公共点,则b的取值范围是 A.[-1,1+2√2] B.[1-2√2,1+2√2] C.[1-2√3,3] D.[1-√2,3]     

椭圆中动弦过定点或有定向问题探讨

本文在文[1]基础上一般性地探讨椭圆中动弦过定点或有定向问题,并说明动弦有定向是动弦过定点的特例.定理1:椭圆b2x2+a2y2=a2b2的动弦BC的两端点与椭圆上定点A(x0,y0)连线的斜率存在,且斜率之积为定值b2/a2m.     

一道高考题的探究

<正>题目(2014年北京市高考理19题)已知椭圆C:x²+2y2+2y²=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x²+y2+y²=2的位置关系,并证明你的结论.本题的答案是直线AB与圆x2=2的位置关系,并证明你的结论.本题的答案是直线AB与圆x²+y2+y²=2相     

对一道例题的探究与发现

贵刊2007年第10期中的文[1]介绍了这样一道题:例3 过抛物线y=x2上的点A向圆x2+(y-2)2=1引两条切线AB、AC,交抛物线于点B、C,连接BC,证明:BC也是圆的切线.贵刊2011年第3期中的文[2]给出了例3的简便解法,并“把原题向一般的情形变更”,得到:     

一类解几问题的拓广

文[1]对下列问题进行了探讨,即 　　问题1设椭圆方程为x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),椭圆内有一定点P(m,0),过该点作直线交椭圆A,B两点,又在该直线上另有一点Q,满足|AP/PB|〗=|AQ/QB|,求Q点的轨迹方程.……