“乘积多项式”与新劈因子法

本文求解形为,f(x)=multiply from k=1 to 2(x~2-p_kx-q_k)+k multiply from k=1 to 2(x~2-r(?)x-s_k) (1)(其中 n 为偶数)或 f(x)=multiply from k=1 to n(x-Pk)+K multiply from k=1 to n(x-q_k) (2)的“乘积多项式”的所有二次因式 x~2-u(?)x-v_i.用[1]中方法,得初始近似因子ω(x)=x~2+ux+v.再分两步求ω(x)的修正因子ω(x):1.用ω~2(x)除 f(x),得余式 R_1(x);2.用ω~2(x)除 xR_1(x),得余式 R_2(x).再取 R_1(x)与 R_2(x)的适当线性组合,消去     

31届西班牙数学奥林匹克竞赛试题及解答

1 设a,b,c为互异的实数,P(x)为实系数多项式.如果 P(x)除以x-a余式为a,P(x)除以x-b余式为b,P(x)除以x-c余式为c.求P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式.解 众所周知,P(x)除以x-a余式为P(a),依题意有P(a)=a,P(b)=b及P(c)=c.R(x)为P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式,则R(x)的次数≤2且P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x) R(x),这里Q(x)为多项式.我们注意到R(a)=P(a)=a,类似地有R(b)=b和R(c)=c. 这样多项式R(x)-x的次数≤2且有三个互不相同的零点a,b,c.因此R(x)-x是一个零多项式,所以R(x)=x.注 此题也可用待定系数法或用拉格朗日插值公式求R(x)…     

图象对称的函数的周期性判定

《f(m+x)=f(m—x)的几何意义及其解题中的应用》(89年第8期《数学通报》)一文中有这样一道题目:“函数f定义在实数域上,并满足如下条件:对任何x,f(2+x)=f(2—x),而且f(7+x)=f(7—x),若x=0是f(x)=0的一     

巧用偶函数的一个性质解题

性质若f(x)是偶函数,则f(-X)=f(x)=f(|x|)=f(-|x|)。巧用这一性质可避免讨论、优化解题。例1 已知偶函数f(z)在[0, ∞)上是增函数,且满足厂f(2m 5)相似文献   

一类正线性算子的渐近展开(续)

<正> 设 f(x)∈C_(2π),U_n(f,x)=1/π(?),其中(?)设 m 是正整数,以 X_m 记 f(x)∈C_(2n),且 f~((2m))(x)∈C_(2π)的 f(x)的全体,并设(?)     

三次与四次函数图像对称性探索

<正>二次函数是初中数学教学的一个重难点,我们先来回顾一下.对于二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0),可以进行如下的变形:f(x)=a(x2+bx+c(a≠0),可以进行如下的变形:f(x)=a(x²+b/ax+c/a).根据公式(x+m)2+b/ax+c/a).根据公式(x+m)²=x2=x²+2mx+m2+2mx+m²,f(x)可以配方得顶点式方程:f(x)=a(x-m)2,f(x)可以配方得顶点式方程:f(x)=a(x-m)²+n(其中m、n是与x无关的常数).从上式中得到f(x)的对称轴方程为x=m(m=-b/2a),这也可以表达为:对于任意的x总有f(m     

正項級数判斂的一个方法

定理.設所考虑的級数有下面的形式: sum from n=0 to ∞ a_n=sum from n=0 to ∞ f(n),a>0,(A)其中f(n)是当x=n时,由某一函数f(x)所确定的值。假設1)当x>c时(c为常数),f(x)連續且有直到m阶的有限导数。2) (?) f(x)=(?) f′(x)=…=(?) f~(m-1)(x)=0。可用对函数f(x)逐次微分的方法来判別級数(A)是收斂或发散的。即,如果对m次导数f(m)(x),存在一冪函数x~(a m)(a>0)使得 lim x~(a m)f~(m)(x)=K (0≤|K|≤ ∞)。(B)那末1) 当a>1,|K|< ∞时,級数(A)收斂;2) 当a≤1,|K|>0时,級数(A)发散。证.对f(x)和1/x~(a m)之比应用洛毕达法则m次,并注意(B)式: 因此也有     

新题征展(68)

A题组新编1.(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=Sn(m≠n),则Sm+n=;(2)已知函数f(x)=ax2+bx,若f(m)=f(n)(m≠n),则f(m+n)=;(3)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若f(m)=f(n)(m≠n),则f(m+n)=.2.(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=n,Sn=m(m≠n),则Sm+n=;(2)等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=a,Sn=b(m≠n),则Sm+n=;(3)已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0),若f(m)=t,f(n)=s(m≠n),则f(m+n)=;(4)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若f(m)=t,f(n)=s(m≠n),则f(m+n)=.3.(1)在周长为定值l的直角三角形中,怎样的三角形面积最大?最大面积是多少?请详述理由;(2)在…     

导数应用典型错误剖析

一、导数定义理解不清例1设f(x)在x0处可导,则li m△x→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx=.误解:∵Δx→0,-Δx→0.∴Δx→0,f(x0-Δx)→f(x0),f(x0 Δx)→f(x0).即li mΔx→0f(x0-Δx)=lΔi xm→0f(x0 Δx).因此li mΔx→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx=li mΔx→0f(x0 Δx)-f(x0)Δx=f′(x0).剖析:错误的主要原因是由于对导数的定义理解不清,导数f′(x0)=li mΔx→0ΔyΔx=li mΔx→0f(x0 Δx)-f(x0)Δx,函数在某一点x0处的导数,就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限,分子分母中的自变量的增量Δx必须保持对应一致…     

一道练习题的推广

原题已知函数f(x)=ax2 bx c(a≠0),满足当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,则|f(2)|≤8.该题的结论可以推广到一般情形,即当(|n|>1,n∈R时),|f(n)|≤2n2-1.首先看一个引理.引理1已知函数f(x)=ax2 bx c,(a≠0),对任意给定的常数m,f(m)可以写成f(1),f(-1),f(0)的线性组合.证由于f(m)=am2     

一道高考模拟题引发的探究性教学

题目(2006年盐城市高考模拟试题)已知函数"f(x)=x3+(m-4)x2-3mx+(n-6)(x∈R),m,n是实数. (1)若函数f(x)的图像关于原点对称,求m,n的值;     

新题征展(22)

A.题组新编1 .( 1 )若函数 y =4 3x m .9x在区间 ( -∞ ,2 ]上有意义 ,则实数 m的取值范围是　　　 ;( 2 )若函数 y =4 3x m .9x 的定义域是 ( -∞ ,2 ],则实数 m的取值范围是　　　 .2 .已知函数 f ( x)的定义域是 R,且f ( 2 - x) =- f ( x 2 ) .( 1 )若 f( x)是奇函数 ,则 f( x)的周期是　　　 ;( 2 )若 f( x)是偶函数 ,则 f( x)的周期是　　　 ;( 3)若 f( 1 x) =f ( 1 - x) ,则 f( x)的周期是　　　 ;( 4 )若 f( 1 x) =- f( 1 - x) ,则 f( x)的周期是　　　 ;( 5)若 f( 2 - x) =f ( x 2 ) ,则 f( x) =　　　 .3.( 1 ) 1…     

一族带积分信息的多点迭代函数

构造求解非线性纯量方程f(x)=0的迭代法,通常使用的信息是f(x)及其前s阶导数在若干点上的值,即所谓f(x)的标准信息集?_(m,f),如下表示:     

关于K型函数问题

<正>在近年的高考数学模拟题中,有一种类型的函数题屡屡出现,兹称它为K型函数问题.一般地,设函数f(x)的定义域为D,若存在区间[m,n]D,使函数f(x)在[m,n]上的值域为[km,kn](k为正整数),则称函数f(x)是K型函数,区间[m,n]是f(x)的K型区间.当K=1,2,3,…时分别称f(x)是1型函数(又叫等域函数,对应区间叫等域区间),2型函数,3型函数,….下     

关于两类函数图象的对称性问题

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,以及函数y=f(x)和y=-f(x),y=f(-x)及y=-f(-x)的图象分别关于x轴对称,y轴对称和原点对称,这些都是显为人知的,但对另一些有关对称性的问题,如;函数y=f(x),若对于定义域内的任-x,都有f(m x)=f(n-x),其图象的对称性如何? (问题1)以及函致y=f(m x)与y=f(n-x)其图象的对称性又如何?(问题2)有些人恐怕就不大清楚了,本文想对此两类函数图象的对称性问题谈一些浅见。     

STRONG CONVERSE INEQUALITY FOR SZASZ-DURRMEYER OPERATORS

For Szasz-Durrmeyer operators Ln (f,z), 1＜ p≤∞, we prove that, forsome m, w^2φ(f,1/√n)p ≤(≤M(││Ln,f,x) - ,f││p ││Lmn(f, x) -f││p),where φ(x)^2 =x, M ＞0,w^2φ(f,t)p is Ditzian-Totik modulus of smoothness.     

一个定理的再推广

文[1]对文[2]中的定理推广为:若方程x f(x)=m和x f-1(x)=m的根分别为a,b.则a b=m.经类比探讨,笔者得到如下结论.定理若方程x·f(x)=m和x·f-1(x)=m分别有唯一根a,b.则a·b=m.该定理的证明用到类似文[2]的引理:若函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点为P(x0,y0),则点P′(y0,x0)一定是函     

g-拟凸函数的一个判别准则

证明了如下结果:设g∶H→H,C H是非空开的g-凸集,g(C)是凸集,f是C上的上半连续函数且存在α∈(0,1),使得f(αg(x)+(1-α)g(y))m ax{f。g(x),f。g(y)},x,y∈C,则f为C上的g-拟凸函数.     

非线性约束最优化问题的局部正基方向法

本文对非线性约束最优化问题min{f(x)|h_i(x),1≤i≤m}给出了一个新的局部正基方向法。在f(x),h_i(x)(1≤i≤m)都连续可微,约束集非退化的条件下,证明了算法的整体收敛性。     

一类方程的求解方法

问题试解方程:2 2 2x-1-1-1=x22 1.此题若采用常规解法,需解一个16次方程,这显然是不可取的,经过一番思考,我们得到关于此类方程解的一个性质.性质定义f(0)(x)=x,f(1)(x)=f(x),f(n)(x)=f[f(n-1)(x)],n∈N*.若f(x)在其定义域上为增函数,g(x)为f(x)的反函数,则方程f(n)(x)=g(m)(x