四边形中的趣味竞赛题(下)

<正>例9在任意给定的凸四边形ABCD中,边AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G和H.求证:四边形ABCD的面积≤EG×HF≤1/2(AB+CD)×1/2(AD+BC).证明如图11所示,HE∥DB∥GF,又EF∥HG,所以EFGH为平行四边形.S_(ABCD)=S_(EFGH)+S_(△AEH)+S_(△DGH)+S_(△CGF)+S_(△BEF),而S_(△AEH)+S_(△CGF)=1/4(S_(△ABD0)+S_(△CBD))=1/4S_(ABCD).同理可证S_(△DGH)+S_(△BEF)=1/4S_(ABCD),所以S_(ABCD)=S_(EFGH)+1/2S_(ABCD),     

关于四边形的两个定理在平面及空间中的拓广

文[1]介绍了关于四边形的两个定理:中线定理:如图凸四边形ABCD中,E,F,G,H是各边中点,EF,GH是两条中线,则2(EF2-GH2)＝AD2+BC2-AB2-CD2.对角线定理:如图凸四边形ABCD中,对角线AC,BD的夹角为a,a的对应边为AD,BC,则2AC·BDcos a＝(AB2+CD2-AD2-BC2)/2.     

四边形的一个有趣性质

定理　设四边形 ABCD的边 AB、BC、CD、DA与对角线 AC、BD的中点分别为 E、F、E′、F′、G、G′,△ BCD、△ CDA、△ DAB、△ ABC的重心分别为 A′、B′、C′、D′,则 AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′、GG′七线共点 .证明　如图 1 ,连结EF、FE′、E′ F′、F′ E,图 1则可得 EF ∥=12 AC,F′ E′∥=12 AC.即有 EF∥=F′ E′,故四边形 EFE′ F′是平行四边形 ,于是 EE′、FF′互相平分 .类似地 ,可证明 FF′、GG′互相平分 .故 EE′、FF′、GG′相交于它们的中点 .令 EE′的中点为 I,连结 EC、D…     

梯形与两腰有关的两组性质

<正>梯形作为一类特殊的四边形有其一些特殊的性质,受文[1]的启发,笔者又得到梯形与两条腰有关的两组性质,兹介绍如下,以飨读者.图1性质1如图1,四边形ABCD是梯形,AB∥DC,两条腰AD、BC延长后交于O,过O分别引AB、AC的平行线交直线AC、BD、AB、CD于E、F、G、H,M为一条对角线AC的中点,直线AF、BM交于I,直线DM、CF交于J,则(1)EO=OF;(2)AF∥DM,BM∥CF;(3)点I、J在直线OG上,且I、J分别是OG、OH的中点.     

中点四边形

中点四边形即顺次连接四边形各边中点而得到的四边形. 如图,E、F、G、H分别是四边形,ABCD各边中点,则有EF∥1/2AC∥HG,HE∥1/2BD     

空间四边形的一个性质及其应用

性质　如图 ,空间四边形ABCD中 ,点E分AB ,及点F分DC所成的比均为λ ,则EF =11 +λAD + λ1 +λBC .图 1证明　如图 ,过C点作CH∥AD且CH =AD ,连结AH ,则四边形ADCH为平行四边形 .设CB和CH确定的平面为α ,过F作AD的平行线交AH于G ,连结EG .因为E ,F分AB ,DC所成比为λ所以AGGH=DFFC=λ =AEEB,因为EF =EG +GF ,EG =λ1 +λBH ,所以EF =λ1 +λBH + λ1 +λHC + 11 +λAD=λ1 +λBC + 11 +λAD .又因为E ,G ,F分别为中点 ,所以EG =12 BH ,GF =AC =HC ,所以EF =12 BH +AD =12 (BH +HC) +12 AD =1…     

直角三角形内接矩形对角线最短问题的拓展研究

我们先看如下典型的问题:问题如图1,在△ABCKH,∠C=90°,BC=a,AC=b,点D,E,F分别是边AB,BC,AC上的动点,且DE//AC,DF//BC,求线段EF长的最小值.解析连接CD,作CH⊥AB于点H,则CD≥CH.     

注意培养学生作草图的能力

一、问题的提出几何证题,离不了画草图。一个符合题意的、直观的草图,往往是我们由已知通向未知的桥梁。在平几复习课中,笔者布置过这样一道习题:“已知四边形ABCD的对角线AC、BD垂直且相等,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:四边形EFGH是正方形。”为画草图,有一学生反复三次都没成功,对角线相等了但不垂直,垂直了而又不相等,最后只得画一正方形代之。可见作图能力的高低直接影响解     

浅谈一道联赛题的证明

20 0 4年全国初中数学联赛第二试第二题 :已知 ,如图1.梯形ABCD中 ,AD∥BC ,以两腰AB ,DC为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF ,连接EF .设线段EF的中点为M .求证 :MA =MD .此题与一道旧题密切相关 .该题是 :已知 ,如图 2 .△ABC中 ,AD是BC边上的高 ,以两边AB ,AC为一边分别向外作正方形ABQF ,ACPE ,连接EF ,交AD的反向延长线于G ,求证 :G为EF的中点 .简证如下 :证 :过E作EM⊥DG于M ,过F作FN⊥DG于N ,则FN∥ME ,∠EMA =∠ADC =90°.又∵∠ 1+∠ 2 =90° ,∴∠ 1=∠ 3.又∵AC =AE ,∴△ADC≌△EMA .∴ME…     

关系式x/a+y/b=1的几何模型与应用

在数学学习中经常遇到与关系式x/a+y/b=1有关的问题,可统一为以下几何模型.命题 如图1,点E,F,G分别在线段BD,BC,DA上,EG∥AB,EF∥CD,设EG=x,EF=y,AB＝a,CD=b.则x/a+y/b=1.     

一个平行四边形判定定理的简证

《数学通报》2006年第4期上刊登的1601号问题是:凸四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和,求证:此四边形是平行四边形.问题提供人给出的解答过程较为繁复,且技巧性强,不易掌握.笔者提供一种较为简捷的向量证法,供读者参考.证(如图)由题意AC2 BD2=AB2 BC2 CD2 DA2,因为AC=AB     

一道几何题的拓展

<正>原问题[1]设圆内接四边形ABCD的两组对边延长后分别交于点E、F,对角线AC和BD的中点分别为M和N.求证:MN/EF=1/2︱AC/BD-BD/AC︱.拓展问题设四边形ABCD的两组对边延长后分别交于点E、F,对角线AC和BD的中点分别为M和N.求证:直线MN平分EF.证明如图所示.设T为EF的中点,过点M作BE的平行线分别交BC、EC于点R、Q,则R、Q分别为BC、EC的中点,又设P为BE的中点,则点P、R、N     

图形最值问题的两个解题模型

<正>在全国各地中考中,图形最值问题的考查一直是热点问题,此类问题有两个大解题模型,举例说明如下.一、构建函数关系求解例1(2015·江苏泰州)如图1,正方形ABCD的边长为8cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.求四边形EFGH面积的最小值.解析此题易证,△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,设四边形EFGH面积为S,设BE=xcm,则BF=(8-x)cm,     

一道联赛题的多种证法

2014年广西高中数学联赛第10题为：如图1,已知D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,△ABC的内切圆分别与边BC、CA切于G、F,求证：DE、GF的交点在∠ABC的角平分线上.标准答案给出的证明较为复杂,下面提供几个简单的证法.证法一如图2,设DE、GF的交点为H,K为边AB与圆的切点,连接AH并延长交BC于W.∵DE∥BC,BD=DA,∴AH=HW.     

一道几何题的推广和简证

<正>问题呈现^([1])如图1,设E、F分别是平行四边形ABCD的边AB和AD的中点,线段CE和BF相交于点K,点M在线段EC上,且BM∥KD.证明:△KFD和梯形KBMD的面积相等.本题系文[1]的例15.经研究,在BC∥AD的前提下,条件AB∥CD除了得到AD=BC外没有其他应用.如果把条件AB∥CD换成AD边和BC边之间具有某种数量关系,再把点E和F的位置一般化,就得到了下面的推广.     

数学问题解答

2009年12月问题解答 (解答由问题提供人给出) 1826 锐角△ABC外接圆为Γ,AB＞AC,D是劣弧(BC)的中点,E、F分别是AB、AC的中点,过E点作AB的垂线交BD的延长线于G,过F点作AC的垂线交DC的延长线于H,CJ⊥GH,垂足为J,反向延长CJ,交AB于K.     

例谈求解四边形中的面积比

<正>四边形中的问题,可以结合三角形来分析,而四边形中面积比的问题,特别是条件中存在等分点时,我们可以通过多种方法加以思考,下面用以下例题加以说明:一、利用中位线构相似例1如图1,四边形ABCD中,点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点,连结EF、FG、GH、HE,     

"关于四边形的两个定理"的向量证明及推广

<数学通报>2010年第5期刊登的文[1]中给出了凸四边形中的中线定理和对角线定理如下: (1)中线定理:如图1在凸四边形ABCD中,E,F,G,H是各边中点,EF,GH是两条中线,则2(EF2-GH2)=AD2+BC2-AB2-CD2.     

用旋转变换揭示一道平面几何题的结构本质

<正>(人民教育出版社八年级数学下册(2013年审定,2020年印刷)第十八章《平行四边形》第68页"拓广探索"第14题)如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证AE=EF.(提示:取AB的中点G,连接EG)根据提示,取AB的中点G,连接EG构造出△AGE,如图2.根据题意及构造条件知AG=EC,∠AGE=∠ECF,而∠BAE与∠AEB互余,∠AEB与∠FEC互余,     

四面体中位线的一个性质及应用

四面体对棱中点的连线段,称为四面体的中位线.本文给出了四面体中位线的一个有趣性质,并介绍了它的两个应用.定理在四面体ABCD中,对棱AB,CD和BC,AD的中点分别为E,F,G,H.则EF2-GH2=12(AD2+BC2-AB2-CD2)①证明如图1,取AC,BD的中点分别为M,连接得平行四边形