三垂线定理（逆）与三角形的垂心

三垂线定理反映了空间三条直线的垂直关系,而三角形的垂心是三角形的三条高线的交点,二者的统一点是直线垂直.因此可通过三垂线定理（逆）证明三角的垂心,也可借助三角形的垂心去用三垂线定理（逆）.在证题中若注意到这点,对提高证明能力大有好处,现举例说明.     

数学诗一首——立体几何

一点二面三垂线 ,解决问题是关键 ;垂足平面与垂线 ,图中位置细分辨 .已知条件想性质 ,再推性质要精选 ;求证结论想判定 ,解题思路方可现 .言必有据书写简 ,说理计算序不变 ;概念定理熟记准 ,解题正确结果见 .说明　 1　点、平面、垂线是解立体几何题的关键 .点主要是指垂足 ,即线互相垂直或线垂直面的垂足 ,点在线上的射影 ,点在面内的射影 ;有时也指线段的端点或中点 ;也可以是三角形的垂心或多边形中有关的点 .平面主要是指线的垂面、互相垂直的面、二面角的面和已知条件较多的平面图形所在的平面 .垂线主要是指线的垂线、平面的垂线、平…     

三角形两个性质在四面体中的引申北大核心

1引言 文献[1]载有三角形的两个共线点定理（图1）：性质1过一点0对直线OA,OB,OC作垂线,与△ABC的对边交于三个共线点（图1）．     

点到平面的距离

点到平面的距离伏奋强（甘肃静宁一中７４３４０００）［基本概念］从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．这点和垂足间的线段叫这点到这个平面的垂线段．其实点到平面的距离，就是这点到这个平面的垂线段的长．点到平面的距离...     

用物理知识证数学公式一例

１２＋２２＋３２＋…＋ｎ２＝１６ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）是一个非常重要的数列求和公式,其应用十分广泛．关于它的证明,有不少巧妙的方法．利用物理学中重心和静力矩知识来推导这个公式,是一种颇为有趣的方法．这种方法基于下面的质点系设计：如图,在一根数轴上,以坐标为１的Ａ点为一个顶点,以坐标为ｎ的Ｈ点为底边上中垂线的垂足作一等边三角形ＡＢＣ,再在该等边三角形内过坐标为２,３,４,…,ｎ－１的各点分别作数轴的垂线,把三角形的两腰ＡＢ和ＡＣ分成ｎ－１等分,然后过这两组分点分别作平行于两腰的两组平行线,把△Ａ…     

费马点性质及其应用

在诸如电力线的建设、道路修建等最优化实际应用中，需要选定最佳点位置，以使该点与其它相关点的距离之和为最小．而平面几伺中三角形的费马点恰好具有这样的属性，因此费马点性质在解决有关“距离和最小”类实际问题中，具有独特的功效．先回顾三角形费马点的定义与性质．定义设△ABC所在平面内有一点P，满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P点为△ABC的费马点（如图1）．容易知道，一个三角形的费马点存在且唯一。性质三角形的费马点，是平面上所有点中到三角形的三个顶点的距离之和为最小的点．这个性质，可用很优美的平面几何…     

用三棱锥的体积关系式解题

在立体几何中，求点或直线到平面的距离、两异面直线的距离、三角形面积、二面角；求证四面体中有关距离的等式或不等式问题，可以利用三棱锥的体积关采式获解，这是一种简捷而有效的方法．1求点到平面的距离例1已知P为矩形平面ABCD外一点，PD上平面ABCH，AB—a，PD—b，来A点到平面PBC的距离d．解田三垂线定理知，BC上PC．在R’thABC中，S。。。一了a“BC，放由VA．P。一VP。BC，待于是汪用三俊雄的体积等回关系式来点到平面的距离的优点是，不需作出波点到此平面的垂线段．Zk直线到旱面的距志例2已知亘三棱枉ABC——AIB…     

三角形的“等积点”及其性质

1走义设P是否ABC所在平面内的一点，若a·PA＝b·PB＝c·PC．则称P是ABC的等积内．2等积点的性质性质1三角形的等积点在各边上射影所成三角形是等边三角形．证设P是ABC的等积点，作PH上BC、PE上CA、PF上AB，D、E、Fg重定，如图1．A、F、P、E四点并圆，目PA是直径，田正弦定理，同理可后田等积点的定义得性质2三角形的节税点对自边的张角号段边所对角的差相等，目差为6O”．证设P是否ABC形内的等积点，如图1．由四点并圆可得注（1）当等积不P在西ABC内的，田性质28MAPB—60”＋fAM180o，上AM120“，老等．即有max｛A…     

三角形的内接三角形面积的不等式链

三角形的内接三角形面积的不等式链赵心敬，焦和平（西安市一中７１００８２）定义１以三角形三边上的高线的垂足为顶点的三角形叫做原三角形的垂足三角形．定义２以三角形的内切圆与三边的三个切点为顶点的三角形叫做原三角形的切点三角形．定义３以三角形三边上的界点为...     

三垂线定理教学的几点注记

三垂线定理教学的几点注记吴新华，邱崇志（广东省中山市中山纪念中学）三垂线定理是高中立体几何中的重点内容之一，是判定线段垂直的一种重要方法．在全国各地的预选、模拟试题以及全国高考试题中，立体几何问题大多数与三垂线定理有缘．“叙述并且证明三垂线定理”就曾...     

点对称三角形的性质及其应用

点对称三角形的性质及其应用４４５０００湖北恩施市教研室熊光汉Ｐ为三角形ＡＢＣ内一点，点Ｐ关于△ＡＤＣ的边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ的对称点分别为Ｐ１、Ｐ２，Ｐ３我们称△Ｐ１Ｐ２Ｐ３为点对称三角形（如图１）．将点对称三角形Ｐ１Ｐ２Ｐ３与原△ＡＢＣ结合起来研究，可...     

三角法简证一道奥赛题

<正>(2021年欧洲女子数学奥林匹克第3题)对于钝角△ABC,∠A为钝角,E,F分别为∠A的外角平分线与顶点B,C关于△ABC的垂线的交点,M,N分别为线段EC,BF上的点,满足∠EMA=∠BCA,∠ANF=∠ABC．证明:E,N,M,F四点共圆．该题主要考查三角形垂心,圆的割线定理及四点共圆的判定等知识点．     

基本不等式链的一种有趣的几何解释

2010年湖北省高考理科试卷中有如下一道试题： 设a〉0，b〉0，称2ab/a＋b为a，b的调和平均数．如图1，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，0为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作OD的垂线，垂足为E，连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，     

圆锥曲线内接三角形的一组性质

圆锥曲线上任意三点（双曲线指的是同一支上的三点）所构成的三角形称为圆锥曲线的内接三角形．我们这里主要研究内接△ABC的顶点A与圆锥曲线的一个顶点重合的情况．     

三垂线定理及其逆定理

三垂线定理及其逆定理毛会文湖南平江二中【基本概念】三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．关于上述定理...     

解析法证明朗古莱定理及其推广

本文通过建立平面直角坐标系,应用解析法对著名的朗古莱定理及其推广进行巧思妙证. 朗古莱定理在同一圆周上有A1、A2、A3、A4四点,从其中任意三点作三角形,在圆周上取一点P,作P点的关于这四个三角形的西摩松线,再从P点向这四条西摩松线引垂线,求证:四垂足共线.     

抛物线的阿基米德三角形的性质

抛物线的阿基米德三角形的性质朱兆和（江苏省灌云县中学２２２２００）文［１］介绍了抛物线的阿基米德三角形和阿基米德定理．本文介绍阿基米德三角形图１的几个性质．性质１Ｍ（ｘ０，ｙ０）是抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）内一定点，则底边过定点Ｍ的所有阿基米德三角...     

高考专题复习系列讲座——平面向量

[考试内窖及考试要求]考试内容：向量，向量的加法与减法，实数与向量的积．平面向量的坐标表示，线段的定比分点，平面向量的数量积，平面两点间的距离，平移，正弦定理。余弦定理．斜三角形解法．     

非锐角三角形个数的估计的改进

文[1]定理1证明：平面上任何三点不共线的n(n≥4)个点所组成的三角形中，非锐角三角形个数不少于1/4Gn^2，即至少有三角形总数的25％是非锐角三角形．令f(n)表示平面上任何三点不共线的n(n≥4)个点所组成的三角形中，非锐角三角形个数的极小值．下面对这一结果进行改进，并作进一步的探讨。     

关于整边勾股形内整距点问题的探讨

关于整边勾股形内整距点问题的探讨河南省邵阳县下塘云中学张小阳边长为正整数（如５，１２，１３）的直角三角形叫做勾股形．若勾股三角形内部的点Ｐ到它的各边的距离均为正整数，则称点Ｐ叫做整边勾股形内的整距点．（以下简称整距点）问题ＡＢＣ的三边分别为ａ、ｂ．ｃ...