Rheologische Messungen an Polypropylenschmelzen

Zusammenfassung Der Einfluß der Molekulargewichtsverteilung auf die Fließkurven von Polypropylenschmelzen wird an drei Proben demonstriert, die zwar einen annähernd gleichen Schmelzindex besitzen, aber in der Molekulargewichtsverteilung wesentlich verschieden sind (¯M _w /¯M _n ). Es werden praktische Vorschläge zur Erfassung derartiger Unterschiede durch erweiterte Schmelzindexmessungen gemacht.

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Summary The influence of the molecular weight distribution on flow curves of polypropylene melts is demonstrated on three samples with approximately equal melt index but widely different molecular weight distribution (¯M _w /¯M _n ). Practical suggestions are made in which way differences of this type may be characterized by an extension of melt index measurements.

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Mitteilung I: Rheol. Acta5, 89 (1966); in dieser Mitteilung wurde versehentlich GI. [1]D = 4Q/R ³ anstattD=4Q/R ³ angegeben.     

Berechnung der Strömung des Tandemgitters mit bewegter zweiter Schaufelreihe

Ohne ZusammenfassungBezeichnungen. Es sollen bedeuten l die Profiltiefe - t die Teilung - s die Spaltweite - =+i komplexe Koordinaten der physikalischen Strömungsebene - z=x+iy komplexe Koordinaten der doppelperiodischen Strömungsebene - ¯w=u–iv die komplexe Geschwindigkeit - U die Geschwindigkeit, mit der sich das zweite Gitter bewegt - w _n die Normalkomponente der Geschwindigkeit - w _t die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit (w _n und w _t sind reelle Größen) - Q die Quellstärke - die Wirbelstärke - q die Quellverteilung     

Upper limit of enhancement of boiling heat transfer in a narrow vertical rectangular channel due to passing bubbles

An experimental study has been made of saturated boiling heat transfer for water and R113 in a narrow vertical rectangular channel (2 mm space, 20 mm wide, and 200 mm long) at atmospheric pressure, in which the vertical heated surface (10 mm long and 20 mm wide) is located on one side at a position of 150 mm from its entrance and bubbles are forcibly passed through it at a designated period from 0.33 to 1.0 sec. The experiment shows that the heat transfer coefficients are increased by the bubble passing through the heated surface for the value of thermal diffusivity,a, times period, T₀, of the passing bubbles above about 6×10^–9 m² (a T ₀>6×10^–9 m²) while fora T ₀< 6×10^–9 m², the heat transfer coefficients become independent of the period and the effectiveness of the enhancement of the heat transfer owing to the passing bubble disappears.

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Die obere Grenze der Verbesserung des Wärmeübergangs beim Sieden in einem vertikalen, rechteckigen Kanal infolge von aufsteigenden Blasen

Zusammenfassung Es wurden Experimente über den Wärmeübergang beim Sättigungssieden mit Wasser und R113 in einem engen, vertikalen, rechteckigen Kanal (2 mm Abstand, 20 mm Breite und 200 mm Länge) bei Umgebungsdruck durchgeführt, wobei die vertikale, beheizte Oberfläche (10 mm lang und 20 mm breit) auf der einen Seite in einem Abstand von 150 mm vom Eintritt angeordnet ist und die Blasen zwangsweise durch den Kanal sich mit einem Periodenabstand von 0,033 bis 1,0 s bewegen. Das Experiment zeigt, daß die Wärmeübergangskoeffizienten durch das Vorbeistreichen der Blasen an der beheizten Oberfläche verbessert werden, wenn das Produkt aus Temperaturleitfähigkeit,a, mal der Periode, T₀, der vorbeistreichenden Blasen größer als 6×10^–9 m² liegt, während unterhalb dieses Wertes der Wärmeübergangskoeffizient unabhängig von der Blasenperiode ist und die Effektivität der Wärmeübergangsverbesserung infolge der Blasenströmung verschwindet.

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Nomenclature a thermal diffusivity of liquid - ¯h time-averaged heat transfer coefficient - q _w heat flux at wall - T ₀ period of passing bubble - T _w(t) temperature of heated surface - T _w amplitude of heated surface temperature Greek symbols thermal conductivity - thickness of liquid film     

Rheologische Messungen an Kunststoff-Schmelzen mit einem neuen Rotationsrheometer

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit wird ein neues Rotationsrheometer vorgestellt und über Messungen an zwei Polymethylmethacrylat-Formmassen berichtet. Bei dem Rheometer handelt es sich um ein Couette-Rheometer mit feststehendem Innenzylinder als Meßkörper. Der Meßkörper ist beidseitig eingespannt. In dem geschlossenen Meßraum können die Schmelzen bis zu einem Druck von 500 bar belastet werden.Der zeitliche Verlauf der Schubspannung in den Schmelzen wird in Abhängigkeit von Temperatur und Druck aufgezeichnet.

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Summary A new type of rotational rheometer is described, and results for two samples of polymethylmethacrylate are reported. The rheometer consists of a Couette system with fixed inner cylinder, supported at both ends for torque measurements. Pressure may be varied up to 500 bar. Shear stresses have been recorded as a function of time, temperature and pressure.

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Nomenklatur C [kp cm^–2 s^–1] Steigung der Anlaufkurve im Nullpunkt - D [kp cm rad^–1] Direktionsmoment - E ₀ [kcal mol^–1] Aktivierungsenergie der Newtonschen Viskosität - G [kp cm^–2] Schubmodul - G [—] Griffith-Zahl - l [mm] Länge des Meßkörpers - p [kp cm^–2] Druck - R _i [mm] Radius des Innenzylinders - R _a [mm] Radius des Außenzylinders - t _max [s] Zeit, bei der das Maximum in der Anlaufkurve auftritt - T [°C] Temperatur - ₀ [cm² kp^–1] Druckkoeffizient der Newtonschen Viskosität - [s^–1] Schergeschwindigkeit - ₀ [kp s cm^–2] Newtonsche Viskosität - (g cm²] Trägheitsmoment des Meßkörpers - v ₀ [s^–1] Eigenfrequenz des Meßsystems - _max [kp cm^–2] maximale Schubspannung - _st [kp cm^–2] stationäre Schubspannung Mit 7 Abbildungen und 1 Tabelle     

Über das mechanische Kurz- und Langzeitverhalten Kristalliner Polyolefine — Relaxationsspektren von Niederdruckpolyäthylen und Polypropylen

Zusammenfassung Das molekulare Verhalten von Niederdruckpolyäthylen (PÄ) und Polypropylen (PP) bei mechanischer Beanspruchung wurde an streifenförmigen Meßproben mit Hilfe des Spannungsrelaxations-(Langzeit-) und des Schwingungs-(Kurzzeit-)Versuchs nach der Biegewellenmethode untersucht. Aus den gemessenen Zeitkurvenscharen des Relaxationsmoduls und den Frequenzkurven des dynamischen Elastizitätsmoduls und des zugehörigen Verlustfaktors mit der Temperatur als Parameter wurden die Relaxationsspektren für verschiedene Temperaturen im Bereich der Relaxationszeit 10^–4 ... 10⁴ sec ermittelt. Durch Reduktion der Frequenzkurven des Verlustmoduls ließen sich die Spektren bei Reduktionstemperaturen nahe 20 °C erweitern, beim PÄ auf den Bereich 10^–4 ... 10⁴ sec; auf die Zeitkurvenscharen ist das Reduktionsverfahren nicht anwendbar.Bei beiden teilkristallinen Polyolefinen treten im Relaxationsspektrum ein Kurzzeitmechanismus (K.-M.) in den amorphen Bereichen, von dem das zähelastische Verhalten bei Schlagbeanspruchungen abhängt, und ein Langzeitmechanismus (L.-M.) in den kristallinen Bereichen stark hervor. PÄ friert unterhalb –100°C ein, PP etwa bei –35°C; PÄ schmilzt bei 125 bis 130°C, PP etwa bei 165 °C. Dementsprechend sind die Schwerpunkte des Spektrums des PP gegenüber denen des PÄ nach längeren Zeiten verschoben. PP ist unterhalb 20°C noch im Übergangsgebiet vom glasartig spröden Zustand zum viskoelastischen in den amorphen Bereichen. Bei Raumtemperatur sind dort beide Stoffe viskoelastisch, und die kristallinen Anteile geben den Materialien ihre hohe Steifheit.Bei 24 °C liegt der Schwerpunkt des Spektrums im Falle der K.-M. des PÄ bei 10^–9 ... 10^–8 sec, des PP bei 10^–5 bis 10^–4 sec, im Falle der L.-M. des PÄ bei 0,1 bis 1 sec, des PP bei etwa 100 sec. Die Aktivierungs-energie der K.-M. beträgt etwa 10 kcal/Mol beim PÄ, etwa 30 kcal/Mol beim PP. Die Aktivierungsenergien der L.-M. sind nahe gleich denen der K.-M. Bei ruckartiger Dehnung nehmen beim hochkristallinen PÄ die L.-M. mehr Energie auf, beim weniger kristallinen PP die K.-M.; hieraus erklärt sich die schnellere Rückfederung des PP im praktischen Gebrauch.Die Verfasser danken Herrn Dr.F. Linhardt für seine Mitarbeit, besonders bei der Erprobung und an der Vervollkommnung der Relaxometer-Apparatur.     

Rheologische Messungen an Polypropylenschmelzen

Zusammenfassung An einer Anzahl von Polypropylenproben wurden die Grenzviskositäten [] und dieNewtonschen Schmelzviskositäten ₀ bei 190 °C gemessen; die meisten Proben wurden fraktioniert und die Molekulargewichtsverteilung festgestellt. Die Messung der Schmelzviskosität erfolgte in einem Extrusionsrheometer mit drei Düsen verschiedener Länge. Es wurden Endkorrekturen bestimmt und die Schubspannung entsprechend korrigiert. Für die-M-Beziehung ergibt sich: log ₀=3,69 log¯M _w –11,90.Proben mit sehrenger bzw. weiter Molekulargewichtsverteilung weichen von dieser Beziehung deutlich ab. Eine für die Molekulargewichtsverteilungsbreite besonders empfindliche Größe ist die Steigungskonstante (1/ vs.), die gleichzeitig ein Maß für den Grad des Nicht-Newtonschen Verhaltens der Schmelze darstellt, bzw. ₀ ; diese letzte Größe eignet sich ganz besonders zur Kennzeichnung der Verteilung sowohl für Proben mit besonders enger Verteilung (Fraktionen, Abbauprodukte, Luparen) als auch für den anderen Extremfall (Mischungen).Vorgetragen auf der Arbeitstagung der Sektion Rheologie des Vereins Österreichischer Chemiker am 28. September 1965 in Graz.Die Messungen und experimentellen Arbeiten wurden von FräuleinHeather Furley und HerrnHelmuth Lehner durchgeführt.     

Messung der Wärmeleitfähigkeit von Stickstoff und Kohlenmonoxid bei hohen Temperaturen im Stoßwellenrohr

Zusammenfassung Die Meßergebnisse für die Wärmeleitfähigkeit von Stickstoff bei Temperaturen zwischen 1230 und 6000 K und Drückenzwischen 1 und 10 bar und von Kohlenmonoxid zwischen 1150 und 5000 K bei 1 bar werden mitgeteilt. Diese mit dem Stoßwellenrohr gemessenen Werte werden mit jenen verglichen, die sich aus der strengen kinetischen Gastheorie ergeben. Auch verfügbare Daten anderer Autoren werden zum Vergleich herangezogen.

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Measurement of thermal conductivity of nitrogen and carbon monoxide at high temperatures in a shock tube

The paper presents results of shock-tube measurements of thermal conductivity of nitrogen at temperatures between 1230 and 6000 K and at pressures between 1 and 10 bar and of carbon monoxide at temperatures between 1150 and 5000 K at 1 bar. Experimental results are compared with several variants of theoretical values, computed from rigorous kinetic theory, and with available data of other authors.

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Bezeichnungen (Einheiten in Klammern) a [m² s^–1] Temperaturleitzahl - C _p[J mol^–1 K^–1] molare Wärmekapazität - k [J K^–1] Boltzmann-Konstante - M [kg mol^–1] molare Masse - p bar Gesamtdruck - R [J mol^–1 K^–1] Gaskonstante - T [K] thermodynamische Temperatur - t [s] Zeit - U [J mol^–1] innere Energie - w [m s^–1] Geschwindigkeit - x [m] Ortskoordinate - x _i [1] Molanteil der Komponentei im Gasgemisch - [Wm^–1 K^–1] Wärmeleitfähigkeit - [mol m^–3] molare Konzentration Indizes i die Komponentei im Gasgemisch - g bezieht sich auf das (kalte) Gas bei der Wandtemperatur - w bezieht sich auf die feste Wand - p bei konstantem Druck Dieser Beitrag wurde auf dem Thermodynamik-Kolloquium des VDI im Oktober 1969 in Zürich vorgetragen.     

Hydrodynamically induced crystallization of polymers from solution

Summary This paper deals with a study on the melting behaviour of polyethylene crystals showing a fibrillar morphology. These crystals were prepared by hydrodynamically induced crystallization from xylene solutions. Use was made of several techniques, such as differential scanning calorimetry, polarizing microscopy and infrared dichroism. The experimental observations indicate that the melting process of the fibrous crystals can only partly be related to morphological structures. The infrared dichroism and persistent birefringence up to temperatures of 200 °C are due mainly to the molecular orientation in the melt. The shrinkage on melting was found to depend on the thickness of and fibre orientation in the sample, as well as on the molecular weight of the polyethylene. A maximum shrinkage value of 93% was measured on fibrillar crystals of Marlex (M _w =90 · 10³). Calorimetric studies on the fusion of fibrillar crystals of high molecular weight polyethylene (M _w =1.5 · 10⁶) revealed that extendedchain backbones melt at 150 °C and even at 180 °C. The melt of these crystal structures remains partly oriented, as could be inferred from the constant temperature position of the melting peak on repeated crystallizing and melting.The areas of the melting peaks at 150 °C and 180 °C were found to depend on the maximum temperature at which the samples were heated and, in addition, on the exposure time. From measurements of the area of the backbone crystallization peak as a function of time and heating temperature, an apparent activation energy of 100 kcal/mole was derived, which suggests that several chains are simultaneously involved in the relaxation of structural order of the backbone melt.The melting temperatures of the lamellar over-growth and backbones were found to increase with the crystallization temperature of the fibrillar crystals. The melting studies also suggest that extended-chain fibrillar crystals can be formed in xylene solutions at a low temperature (85 °C) if the stirrer speed is sufficiently high.

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Zusammenfassung Dieser Bericht befaßt sich mit einem Studium des Schmelzverhaltens von Polyäthylen-Kristallen, welche eine faserige Morphologie aufweisen. Diese Kristalle werden durch eine hydrodynamisch induzierte Kristallisation aus Xylollösungen hergestellt. Es werden verschiedene Techniken angewandt, z. B. differential scanning calorimetry, Polarisationsmikroskopie und Ultrarot-Dichroismus.Die experimentellen Beobachtungen zeigen, daß es nur teilweise eine Beziehung zwischen dem Schmelzvorgang der faserigen Kristalle und morphologischen Strukturen gibt. Der Ultrarot-Dichroismus und die anhaltende Doppelbrechung bis zu Temperaturen von 200 °C sind hauptsächlich auf die Molekularorientierung in der Schmelze zurückzuführen.Die Kontraktion beim Schmelzvorgang wird, wie sich herausstellt, bedingt durch die Dicke der Probe und die Orientierung der Fasern in der Probe, sowie durch das Molekulargewicht des Polyäthylens. Eine maximale Kontraktion von 93% wird bei faserigen Kristallen von Marlex gemessen (M _w =90 · 10³). Kalorimetrische Untersuchungen des Schmelzvorgangs faseriger Kristalle von Polyäthylen mit hohem Molekulargewicht (M _w =1,5 · 10⁶) ergeben, daß extended-chain-Faserkerne bei 150 °C und sogar bei 180 °C schmelzen.Die Schmelze dieser Kristallstrukturen bleibt teilweise orientiert, wie aus der konstanten Temperaturlage des Schmelzpeaks nach wiederholtem Kristallisieren und Schmelzen abgeleitet werden kann.Es stellt sich heraus, daß die Oberfläche der Schmelzpeaks bei 150 und 180 °C bedingt wird durch die maximale Temperatur, bei der die Proben erhitzt werden, und darüber hinaus durch die Erhitzungszeit. Anhand der gemessenen Oberfläche der Kristallisationspeaks der Faserkerne als Funktion von Zeit und Erhitzungstemperatur wird eine scheinbare Aktivierungsenergie von 100 kcal/Mol festgestellt; dies deutet darauf hin, daß mehrere Ketten gleichzeitig an der Relaxation der strukturellen Ordnung der Faserkernschmelze beteiligt sind. Es ergibt sich, daß die Schmelztemperaturen der Lamellarüberwachsung und Faserkerne mit der Kristallisationstemperatur der faserigen Kristalle zunehmen. Die Schmelzuntersuchungen deuten auch darauf hin, daß extended-chain-Faserkerne bei niedriger Temperatur (85 °C) in Xylollösungen gebildet werden können, wenn nur die Rührgeschwindigkeit ausreichend hoch ist.

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Paper presented at the Symposium at Leende of De Nederlandse Rheologische Vereniging on 21st and 22nd May 1970.     

Beschreibung des Zusammenhanges von Schubspannung und Schergeschwindigkeit,gemessen an Polyäthylenen hoher Dichte

Zusammenfassung Mit Hilfe eines Rotationsrheometers wurden an Polyäthylenen hoher Dichte mit verschiedenen Molekulargewichten, aber konstanter Molekulargewichtsverteilung Viskositätsmessungen in Abhängigkeit vom Druck und von der Temperatur durchgeführt. Für die Beschreibung der experimentellen Ergebnisse wird das Fließen durch molekulare Platzwechsel gedeutet. In Erweiterung der vonPrandtl undEyring entwickelten Vorstellungen wird anstelle einer symmetrischen Potentialbarriere deren Veränderung unter Berücksichtigung der äußeren Schubspannung, dem Abstand und der Wechselwirkungsenergie zwischen platzwechselnden Teilchen und benachbarten Leerstellen behandelt. Es wird angenommen, daß die Wechselwirkungsenergie durch ein anziehendesr ^–6-Van der Waals-Potential wiedergegeben werden kann. Es ist möglich, quantitativ den Zusammenhang von Schubspannung und Schergeschwindigkeit zu beschreiben.Das vorgeschlagene Modell liefert für die untersuchten Polyäthylene eine gute Übereinstimmung zwischen gemessenen und berechneten Ergebnissen. Aus dem Vergleich gemessener und berechneter Fließkurven kann unter anderen Größen die Molekulargewichtsabhängigkeit von Entropie und Energie der Aktivierung sowie die Kompressibilität des Sprungvolumens ermittelt werden. Die abgeleiteten Ergebnisse gestatten es, die Nullviskosität in Abhängigkeit von Druck, Molekulargewicht und Temperatur quantitativ zu beschreiben.

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Summary By means of a rotational rheometer viscosity measurements were carried out on high density polyethylenes of different molecular weight but constant molecular weight distribution. For the interpretation of experimental results the viscous flow is described as a rate process. In the present treatment the theory ofPrandtl andEyring is extended in the following manner. The potential-energy barrier is calculated by taking into account the influence of the applied force, the distance and the interaction energy between neighbouring molecules. It is suggested that the interaction energy can be represented by anr ^–6 attracting Van der Waals potential. It is possible to describe quantitatively the dependence of shear rate upon the applied force. The proposed model leads to a good agreement between experimental and calculated results for all polyethylenes studied. Among other results the molecular weight dependence of entropy and energy of activation and the compressibility of the jump volume is obtained. Further it is shown that the zero shearrate viscosity can be expressed quantitatively as a function of pressure, temperature and molecular weight.

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Auszugsweise vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Dortmund vom 9.–11. März 1977 unter dem Titel: Theoretische Betrachtungen zur Druck- und Temperaturabhängigkeit der unteren newtonschen Viskosität von Polyäthylenschmelzen.

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Mit 14 Abbildungen und 1 Tabelle     

Application of Hildebrand's fluidity model to non-Newtonian solutions

Summary The fluidity model ofHildebrand has been applied to dilute aqueous polymer solutions exhibiting non-Newtonian behaviour. As for Newtonian fluids, it is found that the temperature dependence of apparent viscosity of non-Newtonian fluids is determined entirely by the temperature dependence of fluid density. However, whereas the parameters ofHildebrand's equation are constants, independent of the conditions of shear for Newtonian fluids, these parameters become shear-rate dependent for non-Newtonian fluids. The magnitude of the parameters and their variation with shear rate can be explained qualitatively in terms of interactions of polymer molecules and their behaviour in a shear field.

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Zusammenfassung Das Fließmodell vonHildebrand wird auf verdünnte wäßrige Polymerlösungen mit nicht-newtonschem Verhalten angewandt. Wie bei newtonschen Flüssigkeiten findet man hierfür, daß die Temperaturabhängigkeit der schergeschwindigkeitsabhängigen Viskosität ausschließlich durch die Temperaturabhängigkeit der Flüssigkeitsdichte bestimmt ist. Während jedoch die Parameter derHildebrandschen Gleichung für newtonsche Flüssigkeiten von den Scherbedingungen unabhängige Konstanten darstellen, werden diese bei nichtnewtonschen Flüssigkeiten schergeschwindigkeitsabhängig. Die Größe dieser Parameter und ihrer Variation mit der Schergeschwindigkeit kann qualitativ als eine Folge der Wechselwirkung der Polymermoleküle und ihres Verhaltens im Scherfeld gedeutet werden.

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Notation B Parameter inHildebrand's fluidity equation, eq. [1] (N^–1 m² s^–1) - K Consistency parameter in the power-law (Nm^–2 s ⁿ ) - n Flow behaviour index in the power-law (–) - T Temperature (K) - V Molar volume (m³ mol^–1) - V ₀ Intrinsic molar volume; parameter inHildebrand's fluidity equation, eq. [1] (m³ mol^–1) - Shear rate (s^–1) - Viscosity or apparent viscosity (Nm^–2 s) - Density (kg m^–3) - ₀ Intrinsic density; modified parameter inHildebrand's fluidity equation; eq. [5] (kg m^–3) - Shear stress (Nm^–2) With 4 figures and 1 table     

Dynamic viscoelastic properties of polymer melts

Summary An apparatus has been designed and constructed to measure the dynamic viscoelastic properties of polymer melts over the frequency range 10^–2–10³ Hz. The measurements made on two samples of polythene are discussed, the samples differing in their molecular weight distributions. Some fractions from these two parent polymers have also been studied. The results are compared with the modifiedRouse (3) theory for polymer melts, and with the liquid model proposed byBarlow,Erginsav andLamb (4).

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Zusammenfassung Mit Hilfe einer neuentwickelten Apparatur wurden Messungen der dynamischen viskoelastischen Eigenschaften von polymeren Schmelzen im Frequenzbereich 10^–2 bis 10^–3 Hz durchgeführt. Die Meßergebnisse, die an zwei Polyäthylenproben unterschiedlicher Molekulargewichtsverteilung erhalten wurden, werden diskutiert. Einige Fraktionen dieser beiden Polymeren wurden auch untersucht. Es wurden schließlich die Ergebnisse mit derRouseschen Theorie über polymere Schmelzen (3) und mit dem vonBarlow, Erginsav undLamb (4) vorgeschlagenen Flüssigkeitsmodell verglichen.

     

Die freie Oberfläche einer Flüssigkeit über einer rotierenden Scheibe

Zusammenfassung Es wird eine modifizierte Form des Weissenberg-Effekts untersucht, wobei sich die viskoelastische Flüssigkeit in einem kreiszylindrischen Gefäß befindet, an dessen Boden eine Scheibe rotiert. Normalspannungsdifferenzen rufen in der Flüssigkeit eine Strömung hervor, die auf der Drehachse von unten nach oben gerichtet ist, und die freie Oberfläche wölbt sich nahe der Achse nach außen. Unter der Voraussetzung hinreichend langsamer Strömung wird eine Theorie zweiter Ordnung entwickelt. Sie führt auf elliptische Randwertaufgaben zweiter bzw. vierter Ordnung für das Geschwindigkeitsfeld der Primärströmung in Umfangsrichtung und für die Stromfunktion der Sekundärströmung in der Meridianebene. Ihnen werden äquivalente Variationsaufgaben zugeordnet und mit der Methode der Finiten Elemente numerisch gelöst. Die Gestalt der freien Oberfläche setzt sich bei geeigneter Normierung aus drei universellen Formfunktionen zusammen, die für verschiedene Füllhöhen berechnet werden. Im experimentellen Teil wird nachgewiesen, daß durch entsprechende Messungen der Auslenkung des Flüssigkeitsspiegels die unteren Grenzwerte der beiden Normalspannungskoeffizienten bestimmt werden können. Das Rheometer besitzt den Vorzug, daß die Oberflächenspannung der Flüssigkeit die Meßgröße nur unwesentlich beeinflußt.

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Some kind of Weissenberg effect is considered where the viscoelastic fluid, being within a cylindrical vessel, is set in motion by a rotating disc near the tank bottom. Because of normal-stress differences within the fluid a secondary flow arises which is directed upwards near the axis of symmetry, and thus the free surface is deformed. Under the assumption of sufficiently slow flow a second-order theory is developed. It leads to second-order and fourth-order elliptic boundary value problems for the velocity field in azimuthal direction and for the stream function of the secondary flow, respectively. Equivalent variational problems are formulated and solved by the method of finite elements. When normalized appropriately, the shape of the free surface consists of three shape functions, which are independent of any material constants. It is shown by corresponding experiments, that the zero-shear-rate normal-stress coefficients can be determined by measuring the displacement of the free surface. In this rheometer, the surface tension of the fluid causes only insignificant influence on the quantity to be measured.

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Symbole C _H [—] Verhältnis der FormfunktionenF ₂/F₁ - f [—] die Sekundärströmung treibende radiale Volumenkraft, dimensionslos - F ₀, F₁, F₂ [—] universelle Formfunktionen - Fr [—] Froude-Zahl - g [m s^–2] Erdbeschleunigung - h [—] Auslenkung der Oberfläche, aufr ₀ bezogen - H [—] dimensionslose Füllhöhe - K [—] Kennzahl der Kapillarität - r,z [m] Zylinderkoordinaten - r, z [—] dimensionslose Koordinaten - r ₀ [m] Radius des Meßbehälters - Re [—] Reynolds-Zahl - v _r, v, v_z [m s^–1] Geschwindigkeitskomponenten - We ₁, We₂ [—] Weissenberg-Zahlen - [Pa s] Nullviskosität der Flüssigkeit - [°C] Temperatur - [m] Kapillarlänge - v ₁, v₂ [Pa s²] untere Grenzwerte der Normalspannungskoeffizienten - [kg m^–3] Dichte der Flüssigkeit - [N m^–1] Oberflächenspannung - [—] Zylinderkoordinate - [—] Dissipationsfunktion der Sekundärströmung, dimensionslos - [—] Stromfunktion, dimensionslos - [—] örtliche Winkelgeschwindigkeit, dimensionslos - [s^–1] Winkelgeschwindigkeit der Scheibe     

Heat transfer and pressure drop for purely viscous non-Newtonian fluids in turbulent flow through rectangular passages

Experimental measurements of friction factor and heat transfer for the turbulent flow of purely viscous non-Newtonian fluids in a 21 rectangular channel are compared with results previously reported for the circular tube geometry. Comparisons are also made with available analytical and empirical predictions.It is found that the rectangular duct fully established friction factor measurements are within ± 5% of the Dodge-Metzner prediction if the Kozicki generalized Reynolds number is used. A modified form of the simpler explicit equation proposed by Yoo, [i.e.f=0.079n ^0.675(Re ^*)^–0.25], is found to yield predictions for both the rectangular duct and the circular tube geometries with approximately the same accuracy as the Dodge-Metzner equation.Fully developed Stanton numbers for the rectangular duct are in good agreement with the circular tube data over a range ofn from 0.37 to 0.88 for a given Prandtl number,Pr _a , when compared at a fixed value of the Reynolds number based on the apparent viscosity evaluated at the wall shear stress. In general, the experimental data are within ± 20% of Yoo's equation,St=0.0152Re _a ^–0.155 Pr _a ^–2/3 . A new equation is proposed to bring the prediction for circular pipes as well as rectangular channels into better agreement with generally accepted Newtonian heat transfer results.

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Wärmeübergang und Druckverlust für viskose nicht-Newtonsche Fluide in turbulenter Strömung durch rechteckige Kanäle

Zusammenfassung Es werden Messungen des Reibungsfaktors und des Wärmeübergangs bei turbulenter Strömung viskoser nicht-Newtonscher Fluide in einem rechteckigen Kanal mit dem Seitenverhältnis 21 verglichen mit früheren Ergebnissen, die an runden Rohren gewonnen wurden. Weiterhin werden Vergleiche mit aus der Literatur verfügbaren analytischen und empirischen Beziehungen gemacht.Es zeigte sich, daß die Messungen des Reibungsfaktors im rechteckigen Kanal bei vollausgebildeter Strömung auf ± 5% mit der Vorhersage von Dodge-Metzner übereinstimmen, wenn die von Kozicki verallgemeinerte Reynolds-Zahl verwendet wird. Eine modifizierte Form der einfachen von Yoo vorgeschlagenen einfachen Gleichung in explizierter Form (f=0,079n ^0,675(Re ^*)^–0,25) bewies, daß sie sowohl für den rechteckigen Kanal als auch das runde Rohr die Werte mit fast der gleichen Genauigkeit wie die Methode von Dodge-Metzner vorhersagen kann.Die Stanton-Zahlen für den rechteckigen Kanal bei vollausgebildeter Strömung sind in guter Übereinstimmung mit den Werten für das runde Rohr in einem Bereich vonn= 0,37 – 0,88 für eine gegebene Prandtl-Zahl, wenn man den Vergleich bei einem vorgegebenen Wert der Reynolds-Zahl anstellt, die auf die scheinbare Viskosität — abgeleitet aus der Wandschubspannungbezogen ist. Generell läßt sich sagen, daß die Werte auf ± 20% mit der Gleichung von Yoo (St=0,0152Re _a ^–0,155 )Pr _a ^–2/3 ) übereinstimmen. Es wird eine neue Gleichung vorgeschlagen, welche sowohl die Werte für runde Rohre als auch die für rechteckige Kanäle in bessere Übereinstimmung bringt mit den in der Literatur üblichen Ergebnissen für den Wärmeübergang an Newtonsche Fluide.

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Nomenclature a constant in Eq. (8) - A area of cross-section of channel [m²] - b constant in Eq. (8) - c _p specific heat of test fluid [J kg^–1 K^–1] - d capillary tube diameter [m] - D _h hydraulic diameter, 4A/P[m] - f Fanning friction factor, _w/(g9 V²/2) - h axially local (spanwise averaged) heat transfer coefficient,q _w /(T_wi-T_b) [Wm^–2 K^–1] - k _f thermal conductivity of test fluid [Wm^–1K^–1] - K consistency index of power law fluid - n power law index - Nu fully established, local (spanwise averaged) Nusselt numberh D _h /k _f - P perimeter of channel [m] - Pr _a Prandtl number based on apparent viscosjity, c _p /k _f - Pr ^* defined as (Re _a Pr _a )/Re ^* - q _w wall heat flux [Wm^–2] - Re _a Reynolds number based on apparent viscosity, VD _h/ - Re Metzner's generalized Reynolds number in Eq. (2) - Re ^* Reynolds number defined in Eq. (8) - St Stanton number,h/( V c_p) - T _b local bulk temperature of the fluid [K] - T _wi local inside wall temperature [K] - T _wo local outside wall temperature [K] - V bulk flow velocity [m s^–1] - x distance from the inlet of channel along flow direction [m] Greek symbols shear rate [s^–1] - apparent viscosity [Pa s] - density of test fluid [kg m^–3] - shear stress [Pa] - _w shear stress at the wall [Pa] Dedicated to Prof. Dr.-Ing. U. Grigull's 75th birthday     

Messung der Gewebetemperatur mit infrarotem Thermometer in einer Trockenanlage

Zusammenfassung Es wurde eine theoretische Analyse der kontaktlosen Temperaturmessung des an der Spann-, Trocken- und Fixiermaschine bearbeiteten Gewebes vorgenommen. Der Einfluß der Trocknerwand ist durch die Korrektive Funktion ausgedrückt, zu deren Festlegung ein allgemein anwendbares Diagramm zusammengestellt wurde. Dabei wird die Tatsache berücksichtigt, daß die Messung in einem beschränkten Teil des Spektrums durchgeführt wird, welcher außerhalb der Wasserdampfabsorptionsbänder liegt.

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Measuring temperature of textiles in driers with infrared thermometer

The paper undertakes a theoretical analysis of contactless temperature measurement of textiles processed on a stretching, drying and fixation machine. The effect of the drier wall is expressed through a corrective function for whose determination a universal diagram has been established. The measurements have been performed in a narrow part of the spectrum lying outside the water vapour absorption bands.

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Formelzeichen B W· m^–2 Effektive Wärmestromdichte durch Strahlung - K _i Radiationskoeffizient für Oberflächei - q W · m^–2 Wärmestromdichte durch Strahlung - T K Temperatur - t °C Temperatur - dtj Kroneckersches Symbol - Emissionsgrad der Oberfläche - m Wellenlänge - _ij Radiationskoeffizient - _T W·m ^–2 ·K ^–4 Koeffizient in der Gleichung (2) - Winkelkoeffizient für Strahlung zwischen Oberflächen 1, 2 - – Korrektionsfunktion - W·m ^–2 Wärmestromdichte des schwarzen Körpers Indizes c Gewebe - M Meßwert - w Trocknerwand     

Flow birefringence of dilute solutions of polyethyleneoxide of high molecular weight at high rates

Summary Birefringence and orientation angle of solutions of Polyox WSR 301 in the concentration range of 50 to 1350 ppm have been measured up to 8000 s^–1. A few marked differences with ordinary flexible polymers have been evidenced: (i) a very low value of the extinction angle at high shear rate, which could be attributed to an unusually high molecular weight; (ii) the independence of this angle on the concentration, which is due to the variation of the flexibility with the concentration, as shown by the study of the concentration dependence of the segmental optical anisotropy; (iii) the concentration dependence of the elongation shows a plateau value forc 150 ppm, which may come from a concentration dependent and reversible association process, as shown from reduced viscosity measurements.

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Zusammenfassung Es wurden die Doppelbrechung und der Orientierungswinkel von Polyox-WSR 301-Lösungen im Konzentrationsbereich 50–1350 ppm bis zu Schergeschwindigkeiten von 8000 s^–1 gemessen. Dabei wurden einige ausgeprägte Unterschiede gegenüber normalen flexiblen Polymeren gefunden: (i) ein sehr niedriger Wert des Auslöschwinkels, was auf ein ungewöhnlich hohes Molekulargewicht schließen läßt: (ii) die Unabhängigkeit dieses Winkels von der Konzentration, was von einer Änderung der Flexibilität mit der Konzentration herrührt, wie sie durch die Untersuchung der Konzentrationsabhängigkeit der optischen Anisotropie der Segmente aufgezeigt wird; (iii) die Existenz eines Plateaus in der Konzentrationsabhängigkeit der Streckung beic 150 ppm, welches auf einen konzentrationsabhängigen reversiblen Assoziationsvorgang hindeutet, der auch durch Messung der reduzierten Viskosität nahegelegt wird.

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With 5 figures     

On the laminar forced convection with axial conduction in a circular tube with exponential wall heat flux

The values of the fully developed Nusselt number for laminar forced convection in a circular tube with axial conduction in the fluid and exponential wall heat flux are determined analytically. Moreover, the distinction between the concepts of bulk temperature and mixing-cup temperature, at low values of the Peclet number, is pointed out. Finally it is shown that, if the Nusselt number is defined with respect to the mixing-cup temperature, then the boundary condition of exponentially varying wall heat flux includes as particular cases the boundary conditions of uniform wall temperature and of convection with an external fluid.

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Über laminare Zwangskonvektion mit Längswärmeleitung in einem Kreisrohr mit exponentiell veränderlichem Wandwärmefluß

Zusammenfassung Es werden die Endwerte der Nusselt-Zahlen für vollausgebildete laminare Zwangskonvektion in einem Kreisrohr mit Längswärmeleitung und exponentiell veränderlichem Wandwärmefluß analytisch ermittelt. Besondere Betonung liegt auf dem Unterschied zwischen den Konzepten für die Mittel- und die Mischtemperatur bei niedrigen Peclet-Zahlen. Schließlich wird gezeigt, daß bei Definition der Nusselt-Zahl bezüglich der Mischtemperatur die Randbedingung exponentiell veränderlichen Randwärmeflusses die Spezialfälle konstanter Wandtemperatur und konvektiven Wärmeaustausches mit einem umgebenden Fluid einschließt.

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Nomenclature A _n dimensionless coefficients employed in the Appendix - Bi Biot numberBi=h _e r ₀/ - c _n dimensionless coefficients defined in Eq. (17) - c _p specific heat at constant pressure of the fluid within the tube, [J kg^–1 K^–1] - f solution of Eq. (15) - h ₁,h ₂ specific enthalpies employed in Eqs. (2) and (4), [J kg^–1] - h _e convection coefficient with a fluid outside the tube, [W m^–2 K^–1] - rate of mass flow, [kg s^–1] - Nu bulk Nusselt number,2r ₀ q _w /[(T _w –T _b )] - Nu _H fully developed value of the bulk Nusselt number for the boundary condition of uniform wall heat flux - Nu _T fully developed value of the bulk Nusselt number for the boundary condition of uniform wall temperature - Nu ^* mixing Nusselt number,2r ₀ q _w /[(T _w –T _m )] - Nu _C ^* fully developed value of the mixing Nusselt number for the boundary condition of convection with an external fluid - Nu _H ^* fully developed value of the mixing Nusselt number for the boundary condition of uniform wall heat flux - Nu _T ^* fully developed value of the mixing Nusselt number for the boundary condition of uniform wall temperature - Pe Peclet number, 2r ₀/ - q ₀ wall heat flux atx=0, [W m^–2] - q _w wall heat flux, [W m^–2] - r radial coordinate, [m] - r ₀ radius of the tube, [m] - s dimensionless radius,s=r/r ₀ - T temperature, [K] - T ₀ temperature constant employed in Eq. (14), [K] - T reference temperature of the fluid external to the tube, [K] - T _b bulk temperature, [K] - T _m mixing or mixing-cup temperature, [K] - T _w wall temperature, [K] - u velocity component in the axial direction, [m s^–1] - mean value ofu, [m s^–1] - x axial coordinate, [m] Greek symbols thermal diffusivity of the fluid within the tube, [m² s^–1] - exponent in wall heat flux variation, [m^–1] - dimensionless parameter - dimensionless temperature =(T _w –T)/(T _w –T _b ) - ^* dimensionless temperature ^*=(T _w –T)/(T _w –T _m ) - thermal conductivity of the fluid within the tube, [W m^–1 K^–1] - density of the fluid within the tube, [kg m^–3]     

Estimation of zero-shear viscosity of polymer solutions from falling sphere data

Summary Extrapolation methods for the determination of zero-shear viscosity from falling sphere tests are compared with each other and in particular with dicrect viscometric measurements of this parameter. It is found that all methods of extrapolation overestimate the true zero-shear viscosity and that the discrepancy depends on the degree of shear thinning encountered by the falling spheres. Falling sphere tests only yield the true zero-shear viscosity when the spheres fall in the lower Newtonian region of fluid behaviour. In most instances a suitable combination of sphere properties to achieve this can only be found in the case of very viscous fluids which can in any case also be characterized by direct viscometric measurements in this region.If sphere fall data must be extrapolated, methods based on shear rate rather than shear stress appear preferable since they generally yield lower values of zero-shear viscosity, which are therefore nearer to the true value.

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Zusammenfassung Verschiedene Extrapolationsmethoden zur Bestimmung der Null-Viskosität mit Hilfe von Kugelfallversuchen werden miteinander und insbesondere mit der direkten viskosimetrischen Messung dieses Parameters verglichen. Es wird gefunden, daß alle Extrapolationsmethoden den wahren Wert der Null-Viskosität überschätzen und daß der Unterschied vom Grad der Scherentzähung abhängt, der beim Kugelfall vorliegt. Kugelfallversuche liefern nur dann die wahre Nullviskosität, wenn diese im unteren newtonschen Bereich durchgeführt werden. In den meisten Fällen kann eine geeignete Kombination von Kugeleigenschaften zur Realisierung dieser Bedingungen aber nur bei sehr viskosen Flüssigkeiten gefunden werden, die dann genausogut durch direkte viskosimetrische Messungen in diesem Bereich gekennzeichnet werden können.Wenn Kugelfalldaten extrapoliert werden müssen, scheinen Methoden der Auftragung gegen die Schergeschwindigkeit besser geeignet zu sein als solche gegen die Schubspannung. Im ersten Fall werden nämlich durchweg niedrigere Werte der Null-Viskosität erhalten, die somit näher bei den wahren Werten liegen.

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Nomenclature c a constant [—] - d sphere diameter [m] - D container diameter [m] - v sphere fall velocity in an infinite medium [ms^–1] - shear rate [s^–1] - shear rate for = 0.95 ₀ [s^–1] - apparent viscosity [kg m^–1 s^–1] - ₀ zero shear viscosity [kg m^–1 s^–1] - f fluid density [kg m^–3] - _p particle density [kg m^–3] With 8 figures and 2 tables     

Rheological properties of wheat flour doughs

Summary A comparative study was made of the large deformation and rupture properties of doughs from a medium strength and a weak wheat flour. Experiments were made by stretching, at a uniform rate, dough rings immersed in a liquid of matching density to prevent the rings from deforming under their own weight. Data were obtained on doughs differing in water content at temperatures from 5 to 45 °C and extension rates from 0.132 to 52.6 inches per minute.Essentially, the tensile properties of each dough could be represented by four characteristic functions, each dependent on only one of the variables: strain, time, temperature, and water content. The strain function (), equaled (In)/, where is the extension ratio, for extensions up to about 90% and, in some instances, up to nearly 200%. Thus, over extended ranges of strain, isochronal stress-strain data (representing comparable states of stress relaxation) gave a direct proportionality between true stress and theHencky strain, _H=In; the proportionality constant is the constant strain rate modulus,F (t^*), evaluated at the (isochronal) timet ^*. The modulusF(t,T,W — a function of timet, temperatureT, and water absorptionW-equals (T/T ₀)F (t ^*,T ₀,W ₀) (t/t ^* a _T a _W)ⁿ, wheren is a negative constant characteristic of the flour,F (t ^*,T ₀,W ₀) is the modulus at timet ^* at the reference temperatureT ₀ for a dough having the reference water absorptionW ₀;a _T anda _W are shift factors that account for the change of relaxation times with temperature and water content. The factor ay obeyed theArrhenius equation and gave activation energies of about 7.7 and 22.8 kcal for doughs from the medium strength and weak flour, respectively. Rupture data obtained at different temperatures and extension rates were superposed by usinga _T data and also were represented by failure envelopes. The shift factora _W appears to depend somewhat on temperature, especially for the weaker flour.Differences in the rheological behavior of doughs from the two flours were evident in: (1) the range over which the isochronal stress-strain behavior could be linearized; (2) the magnitude of the characteristic exponentn; (3) the magnitude and the temperature dependence of the moduli; (4) the activation energies; (5) the effect of temperature ona _W; and (6) several characterizing plots prepared to represent rupture data.

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Zusammenfassung Es wurde eine Vergleichsuntersuchung betreffend große Verformungen und Brucheigenschaften von Teigen aus zwei Weizenmehltypen durchgeführt. Die Versuche wurden in der Weise ausgeführt, daß man Teigringe, die in eine Flüssigkeit von entsprechender Dichte eingetaucht waren, um zu verhindern, daß sich die Ringe unter der Wirkung ihres eigenen Gewichtes verformten, mit gleichbleibender Geschwindigkeit streckte. Es wurden Werte für verschiedene Teige ermittelt, die sich durch ihren Wassergehalt unterschieden, und zwar bei Temperaturen von 5–45 °C und Dehnungsgeschwindigkeiten von 0,132–52,6 Zoll pro Minute.Die Zugeigenschaften eines jeden Teiges konnten im wesentlichen durch vier charakteristische Funktionen dargestellt werden, von denen jede lediglich von einer der Veränderlichen: Verformung, Zeit, Temperatur und Wassergehalt abhing. Die Verformungsfunktion () war gleich (In)/, worin das Dehnungsverhältnis bedeutet, und zwar für Dehnungen bis zu ungefähr 90%, in einigen Fällen sogar bis zu fast 200%. Somit ergab sich über einem ausgedehnten Verformungsbereich für die isochronen Kraft-Dehnungs-Werte (die vergleichbare Zustände der Spannungsrelaxation darstellen) eine direkte Proportionalität zwischen wahrer Spannung undHencky- Verformung, _H=In; die Proportionalitätskonstante ist der ModulF (t^*), genommen bei konstanter Verformungsgeschwindigkeit und der (isochronen) Zeit t^*. Der ModulF (t, T, W)eine Funktion der Zeitt, der TemperaturT und der WasserabsorptionW — läßt sich darstellen durch (T/T ₀)F (t ^*,T ₀,W ₀ ) (t/t ^* a _T a _W)ⁿ, worinn eine für das Mehl charakteristische negative Konstante undF (t ^*,T ₀,W ₀) der Modul zur Zeitt ^* bei der BezugstemperaturT ₀ ist für einen Teig, der die Bezugs-WasserabsorptionW ₀ hat;a _T unda _W sind Verschiebungsfaktoren, die der Veränderung der Relaxationszeiten mit der Temperatur und dem Wassergehalt Rechnung tragen. Der Faktor ay gehorcht derArrhenius-Gleichung und ergibt Aktivierungsenergien von ungefähr 7,7 bzw. 22,8 kcal für die Teige der beiden Mehltypen. Bruchwerte, die bei verschiedenen Temperaturen und verschiedenen Dehnungsgeschwindigkeiten erhalten wurden, ließen sich durch Verwendung vona _T-Daten überlagern und durch eine Brucheinhüllende (failure envelope) darstellen. Der Verschiebungsfaktora _W scheint etwas von der Temperatur abzuhängen, und zwar besonders bei dem schwächeren Mehl.Unterschiede im rheologischen Verhalten von Teigen aus den beiden Mehlsorten bestanden offensichtlich in Bezug auf: (1) den Bereich, über den das isochrone Kraft-Dehnungs-Verhalten linearisiert werden konnte, (2) die Größe des charakteristischen Exponentenn, (3) die Größe und die Temperaturabhängigkeit der Moduln, (4) die Aktivierungsenergien, (5) die Wirkung der Temperatur aufa _W und (6) einige graphische Darstellungen zur Charakterisierung der Bruchwerte.

     

The anisotropy of simple shearing flow

Summary The optical analogue of the second normal stress difference, namely,n ₂₂ –n ₃₃ has been measured for several polymer systems. The experimental method is direct and makes use of capillary and slit dies. For the polymer melts examined — ranging from a polystyrene with a viscosity of 10⁴ Ns/m² to a PIB of viscosity 50 Ns/m² — a non-zero (n ₂₂ –n ₃₃) was found which could not be accounted for by any systematic errors. Except for one case, where (n ₁₁ –n ₂₂) could not be evaluated, the ratio (n ₂₂ –n ₃₃)/(n ₁₁ –n ₂₂) was found to be negative with an absolute value of 0.05 to about 0.1. For solutions the results are not clear-cut: in several casesn ₂₂ –n ₃₃ was immeasurably small but in one case (23% PIB in oil) the above ratio was the same as for the melts. A modification of the (dilute solution) molecular theories is suggested which is qualitatively able to describe most of the experimental results here outlined.

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Zusammenfassung Die optische Analogie der zweiten Normalspannungs-Differenz, nämlichn ₂₂ –n ₃₃ wurde für verschiedene Polymersysteme gemessen. Dabei wurden Kapillaren und Schlitzdüsen benutzt. Bei allen untersuchten polymeren Schmelzen, die sich von einem Polystyrol mit einer Viskosität von 10⁴ Ns/m² bis zu einem Polyisobuten mit einer Viskosität von 50 Ns/m² erstreckten, wurde n₂₂ –n ₃₃ signifikant ungleich Null gefunden. Mit Ausnahme eines Falles, in dem (n ₁₁ –n ₂₂) nicht bestimmt werden konnte, ergab sich die Größe (n ₂₂ –n ₃₃)/(n ₁₁ –n ₂₂) negativ mit einem Absolutwert zwischen 0,05 und 0,1.Für Lösungen waren die Ergebnisse nicht so eindeutig: In mehreren Fällen warn ₂₂ –n ₃₃ unmeßbar klein, in einem Fall aber (23% PIB in Öl) war diese Größe von der gleichen Ordnung wie für die Schmelzen.Es wurde eine Modifikation der molekularen Theorie verdünnter Lösungen vorgeschlagen, die die meisten der hier dargestellten experimentellen Ergebnisse zu beschreiben gestattet.

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With 12 figures     

Die kompressible Grenzschichtströmung am dreidimensionalen Staupunkt bei starkem Absaugen oder Ausblasen

Zusammenfassung Es wird die kompressible, laminare Grenzschichtströmung am dreidimensionalen Staupunkt mit Absaugen oder Ausblasen an der Wand untersucht und daraus Wandschubspannung, Wärmeübergang und Verdrängungsdicke in Abhängigkeit von der Normalgeschwindigkeit an der Wand bestimmt. Besonders ausführlich wkd auf die Grenzfälle sehr starken Absaugens bzw. Ausblasens eingegangen, die auf singuläre Störungsprobleme führen, deren Lösung mit der Methode der angepaßten asymptotischen Entwicklungen erfolgt. – Die Unsymmetrie am Staupunkt wird durch den Parameter c gekennzeichnet mit den Spezialfällen c=0 (ebener Staupunkt) und c=1 (rotationssymmetrischer Staupunkt). Im Grenzfall starken Absaugens sind die beiden Wandschubspannungskomponenten und der Wärmeübergang unabhängig von c, im Grenzfall starken Ausblasens ist nur eine der beiden Wandschubspannungskomponenten von c unbeeinflußt.

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The compressible boundary layer flow at a threedimensional stagnation point with intensive suction or injection

The compressible laminar boundary layer flow at a general three-dimensional stagnation point including large rates of injection or suction on the porous surface is considered. The wall shear stress, heat flux and displacement thickness as function of the mass transfer parameter are determined. The two limiting cases of intensive suction and intensive blowing lead to singular perturbations problems, which are solved by the method of matched asymptotic expansions.—The asymmetry of the stagnation point flow is characterized by the ratio c of the two velocity gradients including the special cases of two-dimensional (c=0) and axisymmetric (c=1) stagnation point flow.-For intensive suction the wall shear stresses and the heat flux become independent of c, whereas for intensive blowing only one of the two wall shear stress components is independent of c.

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Bezeichnungen x, y, z kartesische Koordinaten, siehe Bild 1 - u, v, w Geschwindigkeitskomponenten in x-, y- und z-Richtung innerhalb der Grenzschicht - U, V Geschwindigkeitskomponenten in x- und y-Richtung am Außenrand der Grenzschicht - a =(dU/dx)_x=0 Geschwindigkeitsgradient in x-Richtung der Außenströmung im Staupunkt - b=(dV/dy)_y=0 Geschwindigkeitsgradient in y-Richtung der Außenströmung im Staupunkt - c=b/a Staupunkt-Parameter (c=0: ebene Strömung, c=1: axialsymmetrische Strömung) - Dichte - p Druck - h spezifische Enthalpie - Viskosität - Pr Prandtl-Zahl - _x, _y Wandschubspannungskomponenten in x- bzw. y-Richtung - c_m=–ga Ausblaseparameter, siehe Gl. (21) - t_w= h_w/h_e bezogene Wandenthalpie - Ähnlichkeitsvariable, siehe Gl. (11) - F () G () dimensionslose Funktionen nach den Gln. (12), - (),() (13), (15) und (32) - ¯ Ähnlichkeitsvariable, siehe Gl. (29) - F (¯), G (¯) dimensionlose Funktionen nach Gl. (29) - ₁=1/c_m Störparameter für starkes Absaugen - ₂=1/c _m ² Störparameter für starkes Ausblasen - ^*, ^* Verdrängungsdicken nach Gl. (26) - R, R rechte Seiten der Differentialgln. (40) bzw. (41) - z=/ in Abschnitt 4: bezogener Wandabstand nach Gl. (43) - =t_w·z² Ähnlichkeitsvariable in Abschnitt 4 - ^* (c) Lösung der Gl. (58) - A(c) Definition nach Gl. (63) Indizes w an der Wand - e am Außenrand der Grenzschicht - a äußere Lösung - i innere Lösung