非綫性微分方程的解的界、稳定性和誤差估計

<正> §1.問題的提出与解决問題的工具本文針对非綫性微分方程組dx/dt=A(t)x+φ(t,x),x(t_o)=x_o(1.1)的解z(t)=(x_1(t),…,x_n(t)),提出并回答了下列两个問題: 問題1.估計(1.1)的解x(t)的模‖x(t)‖的界,这里‖·‖代表n維空間中的任意一种模. 問題2.估計(1.1)的解x(t)与(1.1)的近似緝性方程組:     

拟线性双曲型方程组的不連續初始值問題(Ⅱ)

<正> 在前文中,我們考察了拟縵性双曲型方程组带間断初始条件的柯西問題于此r_o(x),s_o(x)是在x>0,x<0时的充分光滑函数,在x=0时有第一类間断,且其左右方极限值滿足条件     

一类四阶抛物型方程的解的渐近行为

本文考虑一维空间中四阶抛物型方程Cauchy问题{ut-(e)2xu+(e)4xu=(e)xf(u), x∈R,t＞0,u(x,0)=u0(x), x∈R,的整体解u=u(x,t)的大时间渐近行为和时间衰减速率,其中f(u)∈C1(R), |f(u)|≤C|u|q, q＞5/2.     

具奇异位势的半线性抛物方程Cauchy问题的奇异解

本文研究奇异半线性抛物方程ut-Δu+V1(x)u=V2(x)up,x∈Rn＼{0},t＞0的Cauchy问题解的存在性.这里,V1(x),V2(x)可以在原点具有奇性.利用Kato类函数和Green tight函数及不动点定理证明了问题存在正的奇异解,它在原点具有奇性.     

用拉普拉斯变換求解拋物型或双曲型方程混合問題出現的一类求根问題

§1.問題的提出在国內編写的一些数学物理方程教科书(例如,[1],[2])上,在介紹用拉普拉斯(Laplace)变換(以下简称拉氏变換)来求抛物型或双曲型偏微分方程混合問題时,解題程序大致可以分成三步(以一維情形为例):(Ⅰ)假定未知函数u(x,t)經过拉氏变换变成U(x,p),利用拉氏变換把要     

在曲线边界区域上非线性拋物型方程的边界問題

<正> 在1954年与研究了非线性拋物型方程在长方形区域R{0≤x≤X,0≤t≤T}上的第一边界問題和在区域S{-∞相似文献   

对“关于定积分换元法則中的若干問題”一文的意見

“数学通报”1962年第8期上登載了张广柱和帅启慧两位同志合写的“关于定积分換元法则中的若干問题”一文(以下簡称原文),經过初步閱讀后,我感到有必要弄清楚定积分换元法则的适用范围的問題。对这个問題,我不作全面詳尽的探討,只談談自己的一些粗浅看法,借此与张、帅二位同志商榷。原文首先在§1中对于积分簡单地列出了它的換元法则。即假設:1.f(x)是区間[a,b]上的連續函数;2.命x=φ(t),使函数φ(t)合于下列諸条件: (ⅰ) φ(t)在某一区間[α,β]上确定且連續,并且当t在区間[α,β]上变化时,φ(t)的值不超出区間[a,b]的范围(可能发生这样的事情:函数f(x)在比[a,b]更大的区間[A,B]上确定且連續,于是只需要     

双曲型方程組的一个边界問題和它的应用

<正> 本文分两部分,第一部分討論某种三个未知函数,两个自变量的拟綫性双曲型方程組的一个非綫性边界問題.我們把它化成一个积分函数方程組,然后选取一个恰当的逐次迫近方案并进行了一系列的估計而証明了局部解的存在性.第二部分討論在气体力学中有广泛应用的活塞問題,它的本身应該为一个边界問題,但解具有強間断,而間断曲綫为不定的,沿着它成立一些非綫性的“激波条件”.我們把它化成第一部分中所討論的     

具有退化粘性的非齐次双曲守恒律方程的Cauchy问题

该文讨论了如下具有退化粘性的非齐次双曲守恒律方程的Cauchy问题$\left\{\begin{array}{l} u_t+f(u)_x=a^2t^\alpha u_{xx}+g(u),\ \ \ x\in{\bf R},\ \ \ t>0,\\u(x,0)=u_0(x) \in L^\infty({\bf R}).\end{array}\right.\eqno{({\rm I})}$其中$f(u), g(u)$是${\bf R}$上的光滑函数, $a>0, 0<\alpha<1$均为常数.在此条件下, 作者首先给出了Cauchy问题(I)的局部解的存在性, 再利用极值原理获得了解的$L^{\infty}$估计, 从而证明了Cauchy问题(I)整体光滑解的存在性.     

一类拟线性退化抛物方程Dirichlet问题粘性解的正则性

本文考虑下面的Dirichlet问题ut一Tr[a(x,t)D2u]+H(x,t,u,Du)=0,(x,t)∈QT=Ω×(0,T),u(x,t)=ψ(x,t), (x,t)∈ГT. (DP)利用粘性解理论证明了当H,Г满足一定条件时,(DP)的粘性解u(x,t)满足如果ψ∈Ca2,则u(x,t)∈Cα,羞;若ψ=0,则u(x,t)是Lpschitz连续的.     

关于极限的一个定理

本文叙述一个关于求极限的定理,它包含了Stolz定理与Cauchy定理,可用以处理許多未定式的极限問題。 設f(x),φ(x)是定义在区間(a,+∽)上的函数,其中φ(x)在区間(b,+∽)上单調增加,且当x→+∽时φ(x)→+∽,那末(如果等式右端存在有限的或无限的极限) 先証明等式(1)右端具有有限极限的情形。假設这个极限是A。那末当任意給定ε>0后,必可找到数x_1,使x≥x_1时有     

一类抽象非线性分数阶微分方程的Cauchy问题

该文研究如下抽象非线性微分方程_0~CD_t~αu(t)=A(t,u)u(t)+f(t,u(t),Bu(t)),0α1,0tT的局部和非局部Cauchy问题·运用不动点理论,分别给出了方程经典解和适度解存在的条件,并证明了解对初值的连续依赖性.     

抛物型变分不等式解的支集的瞬间收缩性

研究了下面的抛物型变分不等式v≥0,(ut-Δu+b(x,t)up)(v-u)≥f(v-u)a.e.,(x,t)∈RN×(0,T],u≥0,(x,t)∈RN×(0,T],u(x,0)=u0(x),x∈RN的解的存在惟一性,以及解的支集的瞬间收缩性.     

多维拟线性退化抛物方程Cauchy问题解的唯一性和稳定性

本文证明了拟线性退化抛物方程 (e)u/(e)t=n∑i=1 (e)/(e)xi(aij(u)(e)u/(e)xi)+n∑i=1 (e)bi(u)/(e)xi -c(u), u(x,0)=u0(x),aij(u)ξiξj≥0,(A)ξ∈Rn 的Cauchy问题BV解的唯一性和稳定性.     

以Dirac测度为源的拟线性退化抛物方程

本文讨论拟线性退化抛物方程 ut-△um=δ(x), (A)(x,t)∈Q带有初值条件 u(x,0)=u0(x), (A)x∈Rn 的Cauchy问题,其中δ(x)是Dirac测度,m＞1,Q≡Rn×(0,+∞),u0(x)≥0,u0(x)∈Cβ(Rn),β∈(0,1)且0∈suppu0=-Ω,Ω是Rn中的一个有界开集,证明了弱解的存在性.此外,还讨论了自由边界的Holder连续性.     

含参数微分方程的周期解与极限环

<正> 本文讨论含参数微分方程■的周期解与极限环产生与消失的条件.設P(x,y,a),Q(x,y,a)在R×I上定义,关于x,y,a連續,且有下面所需的各阶导数,其中R为xy平面上的某一区域,而I是a的变动区間.不失一般性,可以认为a=0是I的內点. 所要討論的基本問題是:設当a=0时,方程(1),即     

一维非齐次BBM方程周期边界问题的整体吸引子

研究了一维非齐次方程BBM方程ut-uxxt-αφ(u)x=g(x)+βf(u)+γuxx(α>0,β>0,γ>0),u(x+2π,t)=u(x,t),u(x,0)=u0(x)的周期边界问题.利用Sobolev插值不等式,对解做关于时间t的一致性先验估计,证明了该问题的整体吸引子的存在性.     

一类非线性抛物方程的初边值问题

本文研究了一类非线性抛物方程的初边值问题,即ut-f(u)xx=0,x∈R+,f'(u)＞0,u(0,t)=u_,t≥0;u(+∞,0)=u+.这里我们考虑一般情形,即u_≠u+.在某种小性条件下,我们证明了以上抛物方程的解存在且当时间充分大时,解趋近该问题的自相似解(-u)(x/√1+t).我们还进-步得到了解的最优衰减速度为(1+t)-1/4.     

一般非线性扩散方程Cauchy问题广义解的渐近性质

本文研究了比较一般的非线性扩散方程的Cauchy问题广义解的渐近性质.利用试验函数与积分估计的方法,获得了广义解当t→∞时的渐近性质以及其广义整体解u(x,t),推广了该类方程Cauchy问题广义解的性质.     

ASYMPTOTIC STABILITY OF RAREFACTION WAVE FOR GENERALIZED BURGERS EQUATION

This paper is concerned with the stability of the rarefaction wave for the Burgers equationwhere 0 ≤ a < 1/4p (q is determined by (2.2)). Roughly speaking, under the assumption that u_ < u , the authors prove the existence of the global smooth solution to the Cauchy problem (I), also find the solution u(x, t) to the Cauchy problem (I) satisfying sup |u(x, t) -uR(x/t)| → 0 as t → ∞, where uR(x/t) is the rarefaction wave of the non-viscous Burgersequation ut f(u)x = 0 with Riemann initial data u(x, 0) =