由四个解析几何命题引发的猜想及其证明

笔者在文[1]和文[2]中得到了4个命题:命题1如图1,点F₁,F₂分别是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右焦点,线段AB是过F₁的椭圆的一条弦.     

一个命题的应用

命题:设已知两点P_1(x,y_1)、P_2(x_2,y_2)的连线交直线l:Ax+By+C=0于点P(P_2不在直线l上) 求证:P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 证明:设P_1P/PP_2=λ,则点P坐标为 ((x_1+λx_2)/(1+λ),(y_1+λy_2)/(1+λ)) ∵点P在直线l上, ∴ A(x_1+λx_2)/(1+λ)+B(y_1+λy_2)/(1+λ)+C=0 解得λ=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 所以P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) (Ax_2+By_2+C≠0) 此命题在平几中用于证明比例线段问题,常能奏效。下面略举数例。例1.P为△ABC的边BC所对的中位线DE上任意一点,CP交AB于M,BP交AC于N,     

焦点三角形的面积公式

1 椭圆的焦点三角形的面积公式 椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F_1、F_2,点P为椭圆上任意一点,△F_1PF_2称为椭圆的焦点三角形。 为行文方便,设|PF_1|=r_1,|PF_2|=r_2,∠F_1PF_2=γ     

参数方程在数学竞赛中的应用

<正>题目已知A、B是椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的左、右顶点,P、Q是该椭圆上不同于顶点的两点,且直线AP与QB,PB与AQ分别交于M、N.(1)证明:MN⊥AB;(2)若弦PQ过椭圆的右焦点F_2,求直线MN的方程.分析与猜想对于椭圆的大题计算量本来就很大,初看此题似乎什么条件都没有,笔者也试着从一般方法做过,但计算量实在很大.而后仔细分析,此时想着从椭圆的参数方     

蒙日圆的一种几何证法

<正>法国数学家蒙日(Monge,1746-1818)是画法几何的创始人.他发现:椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是一个圆,这个圆被称为蒙日圆.下面是我的推导过程.引理椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的两个焦点分别为F_1,F_2,直线l与椭圆相切于点P,     

用特定位置解一类解几填充题

利用特殊位置巧解一类解几填充题,可一望而解: 1.已知圆(x+4)~2+(y-3)~2=4和直线y=mx交于P、Q两点,则|OP|·|OQ|=_______。 2.M是椭圆x~2/9+y~2/4=1上任一点,F_1、F_2是它的焦点,Q是△MF_1F_2的内心,MQ延长线交直线F_1F_2于N,则|MQ|:|NQ|=_______。 3.将曲线y=f(x)平移,使曲线上点P的坐标由(1,0)变为(2,2),则此时的曲线方程是_____。 4.已知抛物线y~2=4x的一条焦点弦被焦     

高中数学同步训练 第七章 直线

§1 直角坐标系·定比分点一、选择题 1.ABCD是一个四边形,顶点是A(-5,-1),B(15,-6),C(8,12),D(-2,7),P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DA的中点,则PR和QS的交点T的坐标是( ) (A)(5,4) (B)(4.5) (C)(4,3) (D)(3,4) 2.x~2 y~2—2axcosθ-2lysinθ-a~2sin~0=0在x轴上截得的弦长是( ) (A)2a (B)4|a| (C)2~2(1/2)|a| (D)2|a| 3.点P把线段P_1P_2分成P_1P与PP_2两线段的比λ=P_1P/PP_2,如果λ=-1那么( ) (A)P与P_1重合 (B)P与P_2重合 (C)P在线段P_1P_2之外 (D)P点不存在     

例说椭圆焦点弦问题

文[1]得出了过椭圆焦点的内接三角形的几个结论,文[2]介绍了黄金椭圆的探求方法,本人深受启发.由于解几部分在高考命题中一般有思维量大、计算量大、逻辑推理要求高、综合性强等特点,现结合自己多年的教学实践和对椭圆焦点弦的探求,把椭圆焦点弦的一组有趣结论及其探求方法介绍     

椭圆及双曲线平行弦的又一组性质

文[1]给出了双曲线平行弦的两个性质,文[2]将其推广到圆与椭圆,笔者进一步研究,得出了椭圆与双曲线的又一组性质.性质1如图1,若P是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上任意一点(非长轴端点),连结OP,过椭圆的焦点F作直线MN,使MN∥OP,且交椭圆于M,N两     

椭圆的一个性质的再研究

文[1]给出如下命题. 命题 (原文命题2)过原点O作椭圆x2/a2+y2/b2=1a>b>0的两条相互垂直的弦AC,BD,则1/AC2+1/BD2为定值1/4/1/a2+1/b).     

例说椭圆焦点弦问题

文[1]得出了过椭圆焦点的内接三角形的几个结论，文[2]介绍了黄金椭圆的探求方法，本人深受启发．由于解几部分在高考命题中一般有思维量大、计算量大、逻辑推理要求高、综合性强等特点，现结合自己多年的教学实践和对椭圆焦点弦的探求，把椭圆焦点弦的一组有趣结论及其探求方法介绍如下，供读者参考．     

椭圆焦半径的性质

椭圆=1(a>b>0)或ρ=ep/(1-cosθ)(P为焦参数,(相似文献   

一道高考题引出的圆锥曲线的二个性质及其推论

题目 :已知椭圆ｘ22 +ｙ2 =1的右准线Ｌ和ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ作直线与椭圆相交于Ａ ,Ｂ两点 ,点Ｃ在椭圆右准线上 ,且ＢＣ∥ｘ轴 ,求证直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 .这是 2 0 0 1年高考广东、河南卷中的一道考题 ,从其几何证法不难发现 :结论与椭圆方程以及椭圆离心离率大小无关 ,因此 ,对于一般的圆锥曲线 ,命题仍然成立 ,可见 ,圆锥曲线有如下性质 :性质 1　若Ｆ是圆锥曲线的焦点 ,Ｅ是与焦点Ｆ相对应的准线Ｌ和圆锥曲线对称轴的交点 ,ＡＢ是过焦点Ｆ的弦 ,ＢＣ∥ＦＥ ,点Ｃ在Ｌ上 ,则直线ＡＣ平分线段ＥＦ .证明如下 :如图 ,…     

圆的又一定义

我们知道,圆的传统定义是:平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。这里我向读者介绍圆的另一定义。定义平面内与两个定点F_1、F_2的距离的平方和等于常数(大于1/2|F_1F_2|~2)的点的轨迹叫做圆。圆的这一定义完全可以和椭圆定义相媲美,其科学性是不难验证的,证明如下: 取过定点F_1、F_2的直线为x轴,线段F_1F_2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。设动点为P(x,y),|F_1F_2|=2c(c>0),P与F_1和F_2     

椭圆周角弦的有趣性质及其应用

1　提出命题如果∠ P1P0 P2 的顶点 P0 在椭圆上 ,两边P0 P1、P0 P2 与椭圆分别相交于 P1、P2 两点 ,那么∠ P1P0 P2 就叫做椭圆的周角 ,∠ P1P0 P2 所对的弦 P1P2 就叫做椭圆的周角弦 ,本文给出椭圆周角弦的一个性质和它的几个有趣推论及应用 .定理　设 P0 ( x0 ,y0 )为椭圆 C:b2 x2 a2 y2 =a2 b2 ( a >0 ,b >0 )上一点 ,P1P2 为曲线 C的动弦 ,且弦 P0 P1、P0 P2 的斜率存在 ,记作 k1、k2 ,则直线 P1P2 通过定点M( mx0 ,- my0 ) ( m≠ 1 )的充分必要条件是k1. k2 =- 1 m1 - m.b2a2 .证明　以 ( acosθ,bsinθ)、 ( acosα,b…     

椭圆中隐藏的“双曲线”

<正>作为圆锥曲线的重要内容,椭圆,双曲线,抛物线,往往被分而治之,除了第二定义和统一极坐标方程,它们之间还有何联系呢?本文就来探究它们之间的转化规律.先看这样一道题:如图1,A_1A_2是椭圆x~2/4+y~2/3=1的长轴,P_1P_2是椭圆与A_1A_2垂直的弦,求直线A_1P_1与A_2P_2交点E的轨迹方程.     

考点28 轨迹问题

1.(上海卷,3)直角坐标平面xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP·OA=4,则点P的轨迹方程是.2.(江西卷,16)以下四个关于圆锥曲线的命题中1设A、B为两个定点,k为非零常数,若PA-PB=k,则动点P的轨迹为双曲线;2过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若OP=12(OA+OB),则动点P的轨迹为椭圆;3方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;4双曲线2x52-y92=1与椭圆3x52+y2=1有相同的焦点.其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号).3.(北京卷,18)如图,直线l1:y=kx(k>0)与直线l2:y=-kx之间的阴影区域(不含边界)记为W,其左半…     

椭圆、双曲线过焦点的弦长公式及其应用

椭圆、双曲线过焦点的弦长问题是解析几何在高考、竞赛中的热点之一,解决这类问题,传统的做法一般是将弦所在的直线方程与椭圆或双曲线方程进行联立,利用焦半径公式或弦长公式｜AB｜＝｜x1-x2｜·√1+k2=｜y1-y2 ｜·√1+1/k2求解,这样求解运算量往往较大,若我们利用椭圆、双曲线过焦点的弦长公式处理此类问题会省时省力,同时也能大大提高解题的准确率.现阐述如下,供同仁参考.     

圆锥曲线的中点弦的性质及其应用

在平面解析几何中常需要求圆锥曲线的过定点的动弦的中点轨迹。例如,给定双曲线x~2-y~2/2=1,过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P_1及P_2,求线段P_1P_2的中点P的轨迹方程。为了求出P点的轨迹方程,已有各种各样方法:有用直线的点斜式方程的;有用直线的点斜式参数方程的;有用直线的两点式参数方程的;     

椭圆定义的若干思考

<正>对椭圆部分的内容学习,我有一些体会,下面与同学们分享我的感悟.主题1对于椭圆的第一定义,苏教版高中数学教材(下简称教材)中特意强调指出a>c(其中c为平面上两定点(后面将这两点统一记为F_1,F_2)间距离的一半,a的含义为该平面上动点P,到这两个定点距离F_1,F_2之和为定值2a的一半),我们现在思考:是否有a≤c的情况呢?如果存在,其相应的轨迹又是怎么样的呢?思考由教材我们知道焦点在x轴上椭