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文[1]给出了条件为x+y=1(或x+y+z=1)的分式函数最值问题的“代入法”,文[2]对此进行补充,给出简单解法及最值k的确定方法,但他们的思路与解法依然曲折繁琐,文[2]刻意追求最值k更无必要,其实,只要把1=x+y(或1=x+y+z)直接代入分式函数的分子,然后对分式函数适当分拆,利用算术平均值不等式构造出“积为定值”,最值k就自然迅速直接地浮出水面了.更重要的是,此方法 相似文献
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问题设x,y,z∈(0,+∞),且x2+y2+z2=1,求函数f=x+y+z-xyz的值域.这是一道美国数学月刊征解题,贵刊文[1]给出一个三角代换的解法,求解过程中还运用到导数的知识,运算繁杂难度较大,不易掌握.文[2]给出一个 相似文献
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1错解分析文[1]对于“实数x,y满足Ax~2 Bxy Cy~2=D,D≠0时,求S=ux~2 vxy wy~2的取值范围”问题给出了一个一般性解法.虽然对于原文中的例题,这一方法均给出了正确结果,但该解法并非对任何此类问题都能给出正确结果的,下面的例子说明了这一点.例1实数x,y满足x2 xy-2y2=1,求S=3x2-y2的取值范围.解(按文[1]方法)由S(x2 xy-2y2)=3x2-y2得Sxy=(3-S)x2 (2S-1)y2,两边平方得S2(xy)2=[(3-S)x2-(2S-1)y2]2 4(3-S)(2S-1)(xy)2,于是有[S2-4(3-S)(2S-1)](xy)2≥0,由此得S2-4(3-S)(2S-1)≥0(原文要求对xy=0和xy≠0两种情形进行讨论,此处将讨论过… 相似文献
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一类矩形面积最大值问题的初等解法 总被引:1,自引:0,他引:1
《美国数学月刊》2004年1月问题11057[1]为:设x,y,z为实数,矩形ABCD内部有一点P,满足PA=x,PB=y,PC=z,求矩形面积的最大值.文[2]试图给出上述问题的解答,但解答有误.郭要红老师等在文[3]中指出了文[2]错误的原因,并给出了上述问题的一个微分解法.文[3]在最后说明:“如何使用初等 相似文献
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文 [1 ]举例说明了平面向量在中学数学中的广泛应用 .作为文 [1 ]的补充 ,本文再举几例 ,说明构造向量 ,利用向量的内积在中学数学其它一些方面的应用 .1 求值例 1 设 a,b,c,x,y,z均为实数 ,且a2 b2 c2 =2 5,x2 y2 z2 =3 6,ax by cz =3 0 .求 a b cx y z的值 .解 由题设条件 ,考虑构造向量 p=(6a,6b) ,q=(5x,5y) .由 (p.q) 2 ≤ |p|2 |q|2 ,有 90 0 (ax by) 2 ≤ 90 0 (a2 b2 ) (x2 y2 ) ,即 (3 0 - cz) 2 ≤ (2 5- c2 ) (3 6- z2 ) ,变形整理得 (5z - 6c) 2≤ 0 ,∴ 5z =6c.同理 5x =6a, 5y =6b.∴… 相似文献
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<美国数学月刊>2004年1月问题11057[1]为: 设x,y,z为实数,矩形ABCD内部有一点P,满足PA=x,PB=y,PC=z,求矩形面积的最大值. 文[2]试图给出上述问题的解答,但解答有误.郭要红老师等在文[3]中指出了文[2]错误的原因,并给出了上述问题的一个微分解法. 相似文献
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关于一个不等式的初等证明及其推广 总被引:3,自引:1,他引:2
文[1]提出了一个对称不等式: 命题1 已知x,y∈R+,且x+y=1,则 2<(1/x-x)(1/y-y)≤9/4. (1) 文[2]用微分法证明了不等式(1)的三元推广: 命题2 已知x,y,z∈R+,且 x+y+z=1,则(1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)3.(2) 文[2]在文末问道:不等式(2)是否存在初等证明? 相似文献
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问题:已知z,y,z ∈(0,+ ∞)且X2+y2+z2=1,求函数f =x+y+z-xyz的值域.此问题最早出现在<美国数学月刊>问题征解中,后又出现在中国不等式研究小组网站上寻求它的初等解法.文[1]、[2]分别给出了求f上界的抽屉原则解法. 相似文献
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合肥工业大学苏化明先生在文[1]中应用一类三角形不等式来证明某些循环不等式,其实这些循环不等式就是由三角形不等式生成的(参考文献[2]).本文意在借助均值不等式给出这些循环不等式的直接证法.例1设x、y、z>0,求证:9(X y)(y+z)(z+x)≥8(x+y+z)(xy十yz+zx)①证明左=18xyz十9x2y干9xy2+9y2z 9yxz2十9x2x+9xx2,右=8x2y 8x2z 8xyz 8xy2 8y2z 8xyz+8yz2+8xz2 8xyz,原不等式等价于x’y+xv‘+y’z十批十z‘x-zx’>6ng.这用六元均值不等式易证.故原不等式成立.例2设Z、*、Z>0,求证:则原不等式等价于(… 相似文献
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关于费尔马点的又一个不等式 总被引:1,自引:0,他引:1
本文将进一步加强文 [1]中的结论 ,即有命题 设 F是△ ABC内的费尔马点 ,延长AF、BF、CF分别交对边于 A′、B′、C′.记 AA′=x,BB′=y,CC′=z,△ ABC的外接圆和内切圆半径分别为 R与 r,则( 1x 1y 1z) 2≥ 116r( 9r 14R) . 1证明 由文 [3 ]知 ( 1x 1y 1z) 2 =3 ( a 相似文献
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文 [1]提出如下猜想 :设λ≥ 1,x,y,z >0 ,则xλx +y+yλy +z+zλz +x ≤ 3λ+1(1)文 [2 ]用导数证明了 (1)式 ,本文给出简明的初等证明 .证明 由已知得 xλx +y,yλy +z,zλz +x三式中必有两个同时不大于 (或不小于 ) 1λ +1,不妨设为 xλx +y 和yλy +z.于是有(xλx +y - 1λ +1) (yλy +z -1λ+1)≥ 0即 xλx +y+yλy +z≤(1+λ) xy(λx +y) (λy +z) +1λ +1(2 )由柯西不等式有(λx +y) (λy +z)≥ (λ xy +yz) 2 .代入 (2 )得 xλx +y +yλy +z ≤(λ+1) xλ x +z +1λ+1(3)又 (λz +x) (λ+1)≥ (λ z +x ) 2(4)于是 ,由 (3)、(… 相似文献
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1 等价形式 文[1]指出文[2]、[3]中的不等式: 设x、y、z∈Rt,则 (x 32)/(y z) (y 3x)/(z x) (z 3y)/(x y)≥6(1) 相似文献
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我们首先给出 2 0 0 0年第 41届 IMO之第2题及其解答 [1] :设 a、b、c是正数 ,满足 abc =1 .证明( a- 1 1b) ( b- 1 1c) ( c- 1 1a)≤ 1 .证明 令 a =xy、b =yz、c =zx,其中x、y、z为正数 ,则原不等式变为( x - y z) ( y - z x) ( z - x y)≤ xyz ( 1 )显然 x - y z、y - z x、z - x y里最多又有一个是负数 .如果恰有一个是负数 ,那么 ( 1 )式显然成立 ;如果这三个数都非负 ,那么根据算术平均—几何平均可得 ( x - y z) ( y - z x)≤ 12 [( x - y z) ( y - z x) ]=x ( y - z x) ( z - x y)≤ 12 [( … 相似文献
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1999年11月号数学问题解答(解答由问题提供人给出)1221.求方程组x y z=3x3 y3 z3=3的所有整数解.解 原方程组化为x y=3-z(1)x3 y3=3-z3(2)(1)3-(2),得3xy(x y)=24-27z 9z2(3)(1)代入(3),可得xy=8-9z 3z23-z(4)由(1)、(4)知x、y是以下二次方程的两个整数根:t2-(3-z)t 8-9z 3z23-z=0解得t1,2=3-z±(z-1)2·z 5z-32=3-z±(z-1)2(1 8z-3)2(5)由此知,x、y、z均为整数当且仅当z-1=0或z-3=1或z-3=-8,即z=1或z=4或z=-5.将其依次代入求根公式(5),得原方程组的所有整数解(共四组):x=1y=1z=1或x=-5y=4z=4或x=4y=-5z=4或x=4y=4z=-5注:(5)式中根号内的(z… 相似文献
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在第二届美国数学奥林匹克竞赛中 ,有一道求方程组根的名题 :x+y +z=3x2 +y2 +z2 =3x3+y3+z3=3,虽然这道题有丰富的内涵 ,同时它可用许多巧妙的方法解答 ,但方程组中有一个方程是多余的 .我们利用任意两个方程就可得出答案了 ,只不过要求我们具有极强的发散思维 ,同时注重细节 .为了简便 ,这里仅取前两个方程来先讲解再说明这些解法的由来 .解方程组 x+y+z =3x2 +y2 +z2 =3( 1 )( 2 )方法 1 经观察 ,发现 ( 1 ) =( 2 ) ,首先 ,( 1 ) ,( 2 )两边分别除以 3得x +y+z3 =x2 +y2 +z23=1 ,然后将 x2 +y2 +z23 开方得 ,x2 +y2 +z23= 1 =x+y +z3 ,… 相似文献
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文[1]提出并解答了问题:
设0〈x,y,z〈π/4,且sin^2x+sin^2y+sin^2z+2sin.xsin.ysinz=1,求证:x+y+z=π/2.
经探索,我们发现:该问题的一个内在根源为如下应用广泛的恒等式: 相似文献
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关于一个双参数三元不等式的研究 总被引:1,自引:0,他引:1
文[1]给出如下结论:设x,yz∈R+,则x/2x+y+z+y/2y+x+z+z/2z+x+y≤3/4.文[2]将这一结论进行指数推广,得到
定理A 设x,y,z ∈R+,0相似文献
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复数是实数的拓广 ,它与几何、三角有着紧密的联系 ,解决复数问题时 ,可根据题目的特点 ,将问题进行适当的等价转化 ,转化为代数、三角或几何问题求解 .1 利用复数的代数形式化归为代数问题例 1 (1992年全国高考题 )已知z∈C ,解方程zz - 3iz =1+3i.解 设z =x +yi(x ,y∈R) ,代入原方程得(x +yi) (x - yi) - 3i(x - yi) =1+3i,整理得x2 +y2 - 3y - 3xi=1+3i,由复数相等的条件得- 3x =3,x2 +y2 - 3y =1,解得 x =- 1,y=0 ,或 x =- 1,y =3.故z1=- 1,z2 =- 1+3i.2 利用复数的三角形式化归为相应的三角问题例 2 已知复数z1,z2 满足z1+z2… 相似文献