Comultiplications in algebra and topology

Si studiano le proprietà degli oggetti con comoltiplicazione (cioè co-H-oggetti) nelle categorie che ammettono un coprodotto e i funtori fra queste categorie. Si dimostra che questi funtori conservano le proprietà dei co-H-oggetti. Queste osservazioni generali si applicano inoltre ai seguenti esempi specifici di categorie e funtori: la categoria omotopica degli spazi puntati, la categoria delle algebre graduate commutative, la categoria delle algebre graduate associative, la categoria delle algebre di Lie graduate e la categoria dei gruppi. I funtori sono: il gruppo fondamentale, il funtore coomologia, il funtore omologia dello spazio di cammini chiusi di uno spazio e il funtore gruppo omoto pico. Si dimostra che in questi casi specifici si ottengono risultati classici ben noti.

---

Conferenza tenuta il 15 aprile 1996     

Moduli compatti e linearmente topologizzati e dualità

Riassunto SianoR un anello commutativo con unità munito della topologia discreta edM unR-modulo topologico compatto e totalmente sconnesso. Nel lavoro si determinano condizioni necessarie e sufficienti, riguardanti sia l'anello che il modulo, affinchèM sia linearmente topologizzato comeR-modulo, sfruttando una condizione sufficiente individuata da Woodcock per il caso localmente compatto anzichè compatio (cfr. [6]). Si trova inoltre che i moduli compatti e linearmente topologizzati suR sono tutti e soli i duali secondo Pontrjagin di una sottoclasse ereditaria di pretorsione della categoria degliR-moduli, ed infine che, su tale classe, la dualità di Pontrjagin è equivalente alla dualità di Orsatti [3].

---

Summary In this paper we give necessary and sufficient conditions for a compact topologicalR-moduleM to be linearly topologized (R is equipped with discrete topology). Moreover we give a characterization of linearly topologized compact modules in terms of their duals with respect to Pontrjagin duality forR-modules, thus identifying a classC F ⊆ ModR. Then we study the Haudorff completion ofR with respect to the topology of all ideals of finite index, and the dual of this completion with respect to Pontrjagin duality forR-modules. Eventually we show that for the classC F Pontrjagin duality is equivalent to other dualities studied in [2] and [3].

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.S.A.G.A. del C.N.R.     

Priestley duality and quotient lattices of many-valued algebras

Si mostra che la costruzione e le proprietà del funtore β (vedi [2]) della categoria delleMV-algebre alla categoria di reticoli distributivi limitati trova una naturale interpretazione nel contesto della dualità di Priestley [17], [18] e [19].     

OnE-compact modules over SISI rings

Summary We extend to the case of SISI rings, studied by Vamos in [8], the duality for noetherian rings studied by Orsatti in [7]. We prove that some properties of this duality can be generalized, while others hold only in the noetherian case.

---

Riassunto Si estende al caso dei SISI anelli, studiati da Vamos in [8], la dualità studiata da Orsatti in [7] per gli anelli noetheriani. Si dimostra che alcune proprietà di questa dualità si possono generalizzare, mentre altre sono caratteristiche del caso noetheriano.

---

---

Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei gruppi di ricerca matematici del C.N.R.     

Irreducibility and simplicity in general algebrae and congruences in relatively complemented lattices

Summary Within a framework of general algebra we firstly formulate propositions concerning the connection between irreducibility, id est the absence of certain types of subalgebrae, and simplicity. Then we investigate some uniqueness properties of the congruences of certain types of lattices and we apply the general propositions to algebrae with lattice operations obtaining sufficient conditions for the simplicity of wide classes of such algebrae.

---

Riassunto In un contesto di algebra generale noi formuliamo dapprima proposizioni concernenti la connessione tra irriducibilità, cioè l’assenza di certi tipi di sottoalgebre, e semplicità. In seguito investighiamo alcune proprietà di unicità delle conseguenze di certi tipi di reticoli e applichiamo le proposizioni generali ad algebre con operazioni di reticolo ottenendo condizioni sufficienti per la semplicità di ampie classi di tali algebre.

     

Blowing-up orientato

Summary In this paper we define a new kind of blowing-up, as a functor from the category of real analytic spaces to the category of real semianalytic spaces, in such a way that orientability is preserved. Then we prove an existence theorem for ?oriented blowing-ups? of real analytic spaces.

---

Riassunto In questo articolo si definisce un nuovo tipo blowing-up, come un funtore dalla categoria degli spazi analitici reali alla categoria degli spazi semianalitici reali, in modo tale che l'orientabilità sia preservata. Si dimostra quindi un teorema di esistenza per blowing-ups orientati di spazi analitici reali.

     

Estensioni semigruppali

Sommario Si da un nuovo metodo per costruire algebre da una data algebra, si studiano le identità che si conservano in questa costruzione e l'operatore ad essa collegato.

---

Summary I give a new method for building new algebras from a given algebra, we study identities preserved in this construction and related operator.

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca matematica del C.N.R. contratto n. 115218205174.

---

Ringrazio il Prof.R. Magari dell'Università di Ferrara sotto la cui guida è stato eseguito questo lavoro.     

Un'estensione del teorema di dualità di Poincaré

Riassunto In questo lavoro si generalizza la dualità di Poincaré a spazi topologici localmente omeomorfi con insiemi analitici realin-dimensionali con singolarità isolate; tali spazi non sono in generale orientabili, nè sono muniti di una struttura analitica globale. Rispetto ad un analogo risultato diL. Kaup ([6]), il nostro Teorema 2 si dimostra a prescindere dall'esistenza di normalizzazioni topologiche (nel senso di [6]).

---

Summary In this paper we generalize Poincaré duality to topological spaces locally homeomorphic with real analyticn-dimensional sets with isolated singularities; these spaces are in general neither orientable nor globally analytic. Compared with a similar result ofL. Kaup ([6]), our Theorem 2 is proved without supposing the existence of a topological normalization (in the sense of [6]).

---

---

Lavoro eseguito come borsista del C.N.R. nell'ambito del G.N.S.A.G.A.     

Induction in orthodox involution categories (orthodox categories, 3)

Sunto Si definiscono i morfismi indotti in una categoria involutiva regolare, fattorizzante (dotata di fattorizzazioni epi-mono ? uniche ?) e ortodossa (composizione di endomorfismi idempotenti è idempotente); si prova che in tale ambito l'ortodossia è condizione necessaria e sufficiente per la componibilità degli isomorfismi canonici (indotti dai morfismi identità). Questo lavoro e gli altri della serie saranno utilizzati per studiare le relazioni indotte tra subquozienti in una categoria esatta.

---

---

Lavoro compiuto nell'ambito dei gruppi di ricerca del C.N.R.

---

Entrata in Redazione il 15 Novembre 1976.     

Contributi alla geometria della retta

Riassunto In questo lavoro si studia la geometria sopra una retta con riferimento al gruppo delle congruenze, supposto non transitivo e con diverse ipotesi di rigidità. Si perviene a strutture algebriche di tipo generale, che suggeriscono varie operazioni di immersione e contrazione, e ciò mantenendo sempre vivo il legame con una intuizione che sia la più generale possibile della realtà empirica.

---

Résumé Dans cet travail on étudie la géométrie sur une droite par rapport au groupe des congruences, supposé non transitif et avec des diverses hypothèses de rigidité. On arrive à des structures algébriques d'un type général suggérant diverses opérations d'immersion et de contraction, et cela en maintenant toujours la liaison par une intuition qui soit la plus générale que possible de la réalité empirique.

---

---

Lavoro fatto nel gruppo di ricerca n. 25 del C.N.R.: ?Strutture algebriche e loro legami con la geometria moderna?.     

Una classe di algebre rigide

Riassunto Si prova la rigidità di una certa classe di algebre integre di Cohen-Macaulay.

---

Summary We prove the rigidity of a certain class of algebras which are Cohen-Macaulay integral domains.

---

---

Lavoro svolto nell'ambito del G.N.S.A.G.A., sez. n. 3, del C.N.R.     

Local theory of almost split sequences for comodules

We show that almost split sequences in the category of comodules over a coalgebraΓ with finite-dimensional right-hand term are direct limits of almost split sequences over finite dimensional subcoalgebras. In previous work we showed that such almost split sequences exist if the right hand term has a quasifinitely copresented linear dual. Conversely, taking limits of almost split sequences over finte-dimensional comodule categories, we then show that, for countable-dimensional coalgebras, certain exact sequences exist which satisfy a condition weaker than being almost split, which we call “finitely almost split”. Under additional assumptions, these sequences are shown to be almost split in the appropriate category.

---

Sunto Dimostriamo che le successioni che quasi spezzano nella categoria dei comoduli su una coalgebra Γ con termine di destra di dimensione finita sono limiti diretti di successioni che quasi spezzano su sottoalgebre di dimensione finita. In un lavoro precedente abbiamo dimostrato che tali successioni che quasi spezzano esistono se il termine di destra ha un duale lineare quasi-finitamente copresentato. Viceversa, prendendo il limite delle successioni che quasi spezzano su categorie di comoduli di dimensione finita, dimostriamo che, per coalgebre di dimensione numerabile, esistono alcune successioni esatte che soddisfano una condizione più debole di essere quasi spezzanti, che noi chiamiamo “finitamente quasi spezzanti”. Sotto ipotesi aggiuntive, si dimostra che queste successioni quasi spezzano nelle opportune categorie.

     

Sull’operatore di pseudo prodotto

Riassunto Si studia il concetto di classe di algebre associato ad un insieme di identità regolari nel senso diPlonka [3] mediante un operatore di ?Pseudo prodotto? che viene introdotto.

---

Summary We introduce an operator ?Pseudo prodotto? to study the concept of class of algebras associated to a set of regular equations (Pzonka [3]).

---

---

Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività del Consiglio Nazionale per la Matematica del C.N.R. (Contratto n. 115218205174 anno 1970).     

On a duality of modules over valuation rings

Sunto. Rispondendo ad una questione posta da A. Orsatti in[8], si dà esempio di dualità, non soddisfacente alle proprietà di estensione di caratteri, sopra un anello di valutazione discreto completo e si ottiene una caratterizzazione dei domini noetheriani per cui una tale dualità esiste.

---

---

Entrata in Redazione il 17 maggio 1977.

---

This paper has been written while the author was visiting professor in Dept. of Mathematics of Università di Padova.     

Algebre Booleane e loro struttura interna analitica (funzionale e matriciale) e geometrica (metrica e topologica)

Sunto In un'algebra booleana finita si presenta il fatto nuovo che molte delle strutture in essa costruibili a partire dai suoi elementi, sono intimamente connesse, si da essere aspetti diversi della stessa cosa. Si rileva che funzioni intere (cioè quelle che si ottengono operando su una variabile booleana con le operazioni booleane) matrici, ideali, filtri (e le formazioni più ampie che sono gli intervalli) e classi di equivalenza, mostrano appunto questo allacciamento. Inoltre, ognuna di queste formazioni dà in sostanza origine ad altre algebre booleane o a queste isomorfe, o di queste qiù ampie. Quindi, in un certo senso, il campo booleano è completo, riproducendosi in sè per quasi tutte le strutture in esso fattibili. Ma vi è di piu. Se nella formulazione del concetto di misura si abbandona l'idea del numero, quale ? misura di estensione ?, riesce possibile stabilire un concetto di ? di stanza booleana ? di due elementi booleani, la quale soddisfi alla fondamentale relazione triangolare e alla condizione di annullarsi quando e solo quando gli elementi coincidono. Potremo perciò parlare di una metrica intrinseca di un'algebra diBoole; e attraverso opportune definizioni si può estendere questa metrica anche ad aggruppamenti di tre o quattro o più elementi. Ma definita che sia questa metrica ? interna ? viene anche definita, oltre la struttura algebrica, e quella di geometria metrica, una struttura topologica interna. Ed è appunto quanto esprimiamo im questo lavoro, ricollegandoci ad altri precedenti (*) A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico     

Monoidal categories of corings

We introduce a monoidal category of corings using two different notions of corings morphisms. The first one is the (right) coring extensions recently introduced by T. Brzeziński in [2], and the other is the usual notion of morphisms defined in [6] by J. Gómez-Torrecillas.

---

Sunto Introduciamo una categoria monoidale di coanelli usando due diverse nozioni di morfismi di coanelli. La prima è l'estensione (destra) di coanelli recentemente introdotta da Brzeziński in [2], mentre la seconda è la nozione usuale di morfismo definita in [6] da J. Gómez-Torrecillas.

     

Prolungamenti finiti di un corpo ed algebre gruppali

Sunto Per ciascun prolungamento finito di un corpo di caratteristica positiva, viene introdotto un T-modulo canonico; si determina la struttura dei moduli degli omomorfismi tra questi. In tale contesto, varie algebre gruppali ricevono interpretazioni canoniche in termini di teoria di Galois. Si dànno tecniche per tradurre, ciascuno nel linguaggio degli altri, problemi di teoria di Galois, di T-moduli canonici, di algebre gruppali. Entrata in Redazione il 14 ottobre 1976. Lavoro eseguito nell'ambito del Gruppo Nazionale per le Strutture Algebriche e Geometriche e loro Applicazioni, del C.N.R.     

Sulle misure continue definite su un'algebra di Boole

Riassunto In questo articolo si dimostra che una misura finitamente additiva e limitata, definita su un'algebra di Boole, è continua se e solo se verifica la proprietà di Darboux. Inoltre si danno (th. 2 e 3) due caratterizzazioni delle algebre di Boole che sono superatomiche, usando le misure continue.

---

Résumé Dans cet article on démontre qun'une mesure réelle simplement additive et bornée, définie sur une algèbre de Boole, est continue si et seulement si elle vérifie la propriété de Darboux (voir th. 1). On démontre en outre qu'une algèbre de Boole est superatomique si et seulement si toute mesure s.a.b. continue admet une décomposition de Hahn (voir th. 2), on si et seulement si il y a une mesure s.a.b.-continue μ telle que toute autre mesure s.a.b. continue soit absolument continue par rapport à μ (voir th. 3).

     

Alcune questioni intorno alle ultraestensioni di strutture relazionali

Riassunto Si introduce il concetto di ultrafiltro debolmente uniforme di un'algebra di Boole completa e si dà un teorema sulla cardinalità di una ultraestensione rispetto a un tale ultrafiltro. Si mettono in evidenza proprietà di ultrafiltri in particolari algebre di Boole.

---

Summary The notion of a “weakly uniform ultrafilter? of a complete Boolean Algebra is introduced and a theorem on the cardinality of an ultraextension with respect to such an ultrafilter is given. Some properties of ultrafilters of particular Boolean algebras are emphasized.

---

---

Lavaro eseguito nell'ambito dell'attività del Comitato per le Scienze Matematiche del C.N.R. per l'anno 1969 contratto n. 15218205174.     

Algebre non associative e sistemi differenziati di Riccati in un problema di Genetica

Sunto La genetica mendeliana, depurata da fatti aleatori e da eventuali catene diMarkoff, è riproducibile — come schema matematico — da algebre non associative. Vi è tuttavia, fra queste, un caso eccezionale, trattato più estesamente in questa memoria. Interpretando poi le strutture successive di una collettività mendeliana come vettori, questi soddisfano ad un'equazione vettoriale del tipoRiccati. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno.