不含4,5,6-圈的平面图的L(p,q)-标号

证明了若G为不含4,5,6-圈的平面图,则λp,q(G)≤(2q- 1)Δ(G)+6p+6q-6.这一结果暗含着对于△(G)≥12且不含4,5,6-圈的平面图G,x(G2)≤[3Δ(G)/2]+1成立.因此对于这样一类图部分地证实了Wegner猜想.     

不含5-圈的平面图的无圈边着色

图G的一个无圈边着色是一个正常的边着色且不含双色的圈.图G的无圈边色数是图G的无圈边着色中所用色数的最小者.本文用反证法得到了不含5-圈的平面图G的无圈边色数的一个上界.     

最大度为6的平面图为第一类的一个新充分条件

本文证明了:若一个平面图G不含带弦的6-圈,则G是第一类的.这部分地证实了Vizing的关于平面图边染色的一个猜想.     

不含4-,6-圈和相交三角形的平面图的无圈边色数

图G的一个边染色φ:E(G)→{1,2,…,k},若满足任意相邻边都染不同的颜色,且图G不存在双色圈,则称φ为图G的一个无圈k-边染色.图G的无圈边色数χ’_α(G)为使得图G有一个无圈k-边染色的最小正整数k.本文主要证明了对于无4-,6-圈且3-圈与3-圈不相交的平面图G,若Δ(G)≥9,则χ’_α(G)≤Δ(G)+1.     

平面图点荫度的一个局部条件

图G的点荫度va(G)是指V(G)的最小划分数,使得每个点划分集的导出子图是一个森林.众所周知,平面图G的点荫度至多为3.2008年,Raspaud和王维凡证明了:若G是不含κ-圈(κ∈{3,4,5,6})的平面图,则va(G)≤2.本文推广了上述结果,得到了点荫度至多为2的一个局部条件,即若平面图G的每一个点都不同时与3-圈、4-圈、5-圈和6-圈关联,则va(G)≤2.     

1-可嵌入曲面的图的边染色北大核心CSCD

一个图称为是1-可嵌入曲面的,当且仅当它可以画在一个曲面上,使得它的任何一条边最多交叉另外一条边.x′(G)和△(G)分别表示图G的边色数和最大度.给定图G是1-可嵌入到欧拉示性数x(∑)≥0的曲面∑上的图.如果△(G)≥8且不含4-圈或者△(G)≥7且围长g(G)≥4,则图G满足等式△(G)=x′(G),其中,g(G)表示图G中最短圈的长度.     

不含4-圈和9-圈的平面图是(2,0,0)-可染的

设d_1,d_2,...d_k为尼个非负整数.若图G的顶点集V可划分成k个子集合V_1,V_2…,V_k,使得对于任意的i∈{1,2,...,k},由V_i导出的子图G[V_i]的最大度至多为d_i,则称图G是(d_1,d_2,...,d_k)-可染的.1976年,Steinberg猜想:不含4-圈和5-圈的平面图是(0,0,0)-可染的.在Steinberg猜想的驱动下,人们证明了以下三个结论:(1)对每一个i∈{5,6,7,8,9},不含4-圈和i-圈的平面图是列表(1,1,1)-可染的;(2)对每一个i∈{5,6,7,8,9},不含4-圈和i-圈的平面图是(1,1,0)-可染的;(3)对每一个i∈{5,6,7,8},不含4-圈和i-圈的平面图是(2,0,0)-可染的.为使结论(3)更加完整,本文证明不含4-圈和9-圈的平面图是(2,0,0)-可染的.     

1-可嵌入曲面的图的边染色

一个图称为是1-可嵌入曲面的,当且仅当它可以画在一个曲面上,使得它的任何一条边最多交叉另外一条边.x′(G)和△(G)分别表示图G的边色数和最大度.给定图G是1-可嵌入到欧拉示性数x(∑)≥0的曲面∑上的图.如果△(G)≥8且不含4-圈或者△(G)≥7且围长g(G)≥4,则图G满足等式△(G)=x′(G),其中,g(G)表示图G中最短圈的长度.     

最大度至少为8的可平面图的全染色

证明了最大度至少为8且不含带弦5圈或带弦6圈的可平面图是9全可染的.     

不含5-圈和相邻6-圈的平面图的全染色

图的正常k-全染色是用k种颜色给图的顶点和边同时进行染色,使得相邻或者相关联的元素(顶点或边)染不同的染色.使得图G存在正常k-全染色的最小正整数k,称为图G的全色数,用χ″(G)表示.证明了若图G是最大度△≥6且不含5-圈和相邻6-圈的平面图,则χ″(G)=△+1.     

围长不小于6且最大度至少为8的平面图的无圈列表边染色

对图G的一个正常边染色,如果图G的任何一个圈至少染三种颜色,则称这个染色为无圈边染色.若L为图G的一个边列表,对图G的一个无圈边染色φ,如果对任意e∈E(G)都有ф(e)∈L(e),则称ф为无圈L-边染色.用a′_(list)(G)表示图G的无圈列表边色数.证明若图G是一个平面图,且它的最大度△≥8,围长g(G)≥6,则a′_(list)(G)=△.     

不含4-圈平面图的2-距离染色

图G的2-距离染色是指映射φ:V(G)→{1,2,…,k},使得距离不超过2的顶点染不同的颜色,即若0d_G(u,v)≤2,则φ(u)≠φ(v).图G的2-距离色数是使G有一个k-2-距离染色的最小正整数k,记为χ_2(G).本文证明了不含4-圈且△(G)≥10的平面图G是(△(G)+10)-2-距离可染的.     

关于唯一r——泛圈图

唯一r—泛圈图G是一个简单图,对n=r,r+1,…,p,(r≥3,p=|V(G)|),G恰含一个圈C_n,但G不含圈C_t,3≤t≤r-1。R.C.Entringer于1973年提出:确定是唯一泛圈图的简单图(唯一泛圈图指的是唯一3—泛圈图)。文[3]确定了具有p+m(m≤4)条边的图及外平面图中的唯一泛圈图。本文得到:当r≥4时, 1.外平面图G是唯一r—泛圈图当且仅当G≌C_P; 2.具有p+2条边的图不是唯一r—泛圈图; 3.具有p+3条边的图没有唯一r—泛圈图,5≤r≤p;但恰有6个唯一4—泛圈图,且这样的图仅有6个.     

IC-平面图为第一类图的一个充分条件

图G的一个正常k-边染色是指一个映射Φ:E(G)→{1,2,…,k},使得任意两条相邻的边x,y∈E(G)满足Φ(x)≠Φ(y).使得G具有正常k-边染色的最小正整数k称为图G的边色数,记为χ'(G).著名Vizing定理证明每个简单图G的边色数χ'(G)要么等于最大度Δ(G)要么等于Δ(G)+1.这个定理将所有的图分成了两类:第一类图满足关系式χ'(G)=Δ(G),第二类图满足关系式χ'(G)=Δ(G)十1.本文主要讨论特殊1-平面图的正常边染色问题.1-平面图G是指G能够嵌入到平面上使得G的任意一条边最多被交叉一次.1-平面图G按照上述条件的一种画法称为G的一种1-平面嵌入.所以1-平面图中的每个交叉点w都是由两条边相交所得,从而每个交叉点w都对应着两条相交边,同时也对应着由这两条相交边的四个端点组成的集合ψ(w).如果1-平面图的一个1-平面嵌入中任意两个交叉点w和w'满足ψ(w)∩ψ(w')=Φ,那么称此1-平面图为IC-平面图.在本文中,通过观察分析Δ-临界图和不含相邻弦6-圈的IC-平面图的结构,应用权值转移方法证明了任何最大度为7且不含相邻弦6-圈的IC-平面图G是第一类图.     

最大度至多为6的平面图的L(2,1)-标号

令Δ(G),g(G)和λ(G)分别为图G的最大度,围长,和L(2,1)-标号数.证明了若G是Δ(G)≤6和g(G)≥5的平面图,则λ(G)≤Δ(G)+13.进而关于Δ(G)≤6和g(G)≥5的平面图G,这个界要比先前的结果好.     

平面图3色可染的一个充分条件

Steinberg猜想既没有4-圈又没有5-圈的平面图是3色可染的. Xu, Borodin等人各自独立地证明了既没有相邻三角形又没有5-和7-圈的平面图是3 色可染的. 作为这一结果的推论, 没有4-, 5-和7-圈的平面图是3色可染的. 本文证明一个比此推论更接近Steinberg猜想的结果, 设G是一个既没有4-圈又没有5-圈的平面图, 若对每一个k∈{3, 6, 7}, G都不含(k, 7)-弦, 则G是3色可染的, 这里的(k, 7)-弦是指长度为7+k-2的圈的一条弦, 它的两个端点将圈分成两条路, 一条路的长度为6, 另一条路的长度为k-1.     

平面图的(3,1)~*-可选择性

若对图G的任何一个满足|L(v)|=k的列表配置L,存在G的一个L-染色c使G的每个顶点v至多有d个邻点和v染相同的颜色,则称图G是(k,d)~*-可选的.本文证明了:(1)若G是i-圈和j-圈(i,j∈{3,4})不相交的平面图,则G是(3,1)~*-可选的.(2)不含6圈和相交3-圈的平面图是(3,1)~*-可选的.     

关于无5-,6-及7-圈的平面图的3-可选性(英文)

本文证明了不含5-,6-及7-圈且三角形的距离大于等于2的平面图是3-可选的.     

不包含{4,8,9}-圈的平面图是3-可染的

主要围绕Steinberg提出猜想:每个不包含4-圈和5-圈的平面图都是3-可染色的,对一些平面图类展开研究,提出要解决的问题:不包含{4,8,9}-圈的平面图是3-可染的.现从四个方面:不包含{4,8,9}-圈的平面图G的一些结构性质;不包含{4,8,9}-圈的平面图G中内部非分离6-圈的性质;不包含{4,8,9}-圈的平面图G不包含内部的6-面;f0不是一个6-面来证明结论,即不包含{4,8,9}-圈的平面图是3-可染的.     

最大度为5的图的列表全可染色问题

对于一个给定的最大度为5的平面图G,(1)图G是9-列表全可染的;(2)若图G中不含5-圈,则G是8-列表全可染色的;(3)若图G不含5-圈,并且最大度点最多邻接两个3-面,则图G为7-列表全可染色的;(4)若图G中不含C4,C5,C7,C8,则图G是6-列表全可染色的;(5)若图G的最大的平均度mad(G)＜20/7,则图G是6-列表全可染色的.