对一道课本习题的探究

对一道课本习题的探究赵振洪（山东省高青县第一中学２５６３００）《平面解析几何》（必修）总复习参考题１０：“已知椭圆方程是，求椭圆内接正方形的面积．”如果严谨地解这道题，必须用：定理１椭圆（ａ＞ｂ＞０）有且仅有两条对称轴Ｘ＝０和ｙ＝０．定理２椭圆（ａ＞...     

椭圆一个定理的又一初等证明

定理　椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）有且仅有两条对称轴：直线ｘ＝０和ｙ＝０．文［１］指出,这个定理的证明一般要用到仿射几何知识,同时文［１］给出了一个初等证明．笔者再给出这个定理的又一种初等证明如下．定理的证明　易验证直线ｘ＝０和ｙ＝０均是椭圆Ｃ的对称轴．因点Ｂ（０,ｂ）关于直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）的对称点Ｂ′（２ｋ,ｂ）不在椭圆Ｃ图１上,故直线ｘ＝ｋ（ｋ≠０）不是椭圆Ｃ的对称轴．设Ｆ１,Ｆ２是椭圆Ｃ的两个焦点,椭圆Ｃ的长轴Ａ１Ａ２关于直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｎ（ｋ,ｎ至少有一个不等于零）的…     

由一道题及一类题

由一道题及一类题２２６１００江苏省海门中学张林森问题提出ｍ是什么实数时，方程ｘ２＋（ｍ－３）ｘ＋ｍ＝０的两根都是正数？（高中课本《代数》下册，第３３页１４题）这是一道看似平淡无奇，实质上是回味无穷的一道好题．其常规解法是利用判别式、韦达定理和求根公式...     

一道轨迹题的勘误及简便解答

一道轨迹题的勘误及简便解答山东文登二中苏泉桂本刊１９９３年第６期《高中数学综合训练题（３套）》第一套２８题：已知圆ｃ：ｘ２＋ｙ２＝４和定点Ｑ（ａ，０），动点Ｐ到Ｃ的圆心Ｏ的距离等于，求Ｐ点的轨迹方程，并指出它的图形．答案是：当ａ＝±２时，ｙ＝０，由原...     

激活学生思维 让教与学达到共振——培养学生创造性思维习惯一例

题目　在椭圆ｘ２４５＋ｙ２２０＝１上求一点,使它到两焦点的连线互相垂直．这是高中《平面解析几何》（必修）复习参考题二第１０题．人民教育出版社的教学参考书提供的解法为：设所求的点为Ｐ（ｘ０,ｙ０）,左、右焦点坐标为Ｆ１（－５,０）、Ｆ２（５,０）．依题意可得　　ｙ０ｘ０＋５·ｙ０ｘ０－５＝－１（１）　　　ｘ２０４５＋ｙ２０２０＝１（２）联立（１）、（２）解得　ｘ２０＝９,ｙ２０＝１６．由对称性知,所求点的坐标为（３,４）,（－３,４）,（－３,－４）,（３,－４）．如果教与学仅仅局限于解出此题,就…     

对一道课本例题解答的探讨

义务教育三年制初中几何第二册（人教社1993年版）教科书P233，看《三角形相似的判定》（5．4）中的例5，原题抄录如下：例5如图1，已知△ABC，P是AB上的一点，连结CP（1）∠ACP满足什么条件时，△ACP∽△ABC；（2）AC：AP满足什么条件时，△ACP∽△ABC．课本运用三角形相似的判定定理分析并解答出此题：（1）当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC；（2）AC：AP＝AB：AC时，△ACP∽△ABC．由于这是一道探索性题，因此必须注意探索的彻底性我们注意到，教材分析这道例题的思路是直接套用三角形相似的判定定理1和判定定理2，却…     

一道课本习题的引伸与改编

一道课本习题的引伸与改编８３９００３新疆哈密矿务局二中李久忠在处理课本中的典型例题时，既要重视一题多解，更要注重引伸改编．下面的题目是《平面解析几何）课本Ｐｌｌ。第１０题．在椭圆天十余一１上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直．赐设点Ｐ（Ｘ；，＊ｌ）...     

一个高阶边值问题

本文考虑如下高阶多点边值问题：ｘ（ｎ）＝ｆ（ｔ，ｘ，ｘ＇，…，ｘ（ｘ－１），ｘ（０）＝ｘ（ξ）＝（１）＝ｘ＇（ξ）＝…＝ｘ（ｎ－３）（ξ）＝０，其中ξ∈（０，１）．对于ｆ有非线性增长的情况，利用基于度理论的不动点定理，建立了某些存在唯一性定理．     

一道课本例题的教学建议

一道课本例题的教学建议１３２２２７吉林省永吉三中苏万春现行高中教材《代数》上册Ｐ１７０例３：设ｔｇα，ｔｇβ是一兀二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ｂ≠０）的两个根，求ｃｔｇ（α＋β）的值．课本上的解法是：在一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０中，ａ≠０．由...     

关于一道IMO函数方程试题的再推广

第28届IMO的第四题是一道关于函数方程的试题：求证不存在函数f：N→N，使得对于每个n∈N，f（f（n））＝n＋1987[1]．沈华老师[2]将上述试题推广为下面的定理：定理1设m为自然数，存在函数f:N→N，使得每个n∈N，均有f（f（n））＝n＋m的充要条件是m为偶数．但其证明有一处小的疏漏（见［2］中证明的（2）式）．本文我们首先完善定理1的证明，并给出当m为偶数时满足条件的函数f：N→N的构造与个数．定理1的证明对任何m∈N，假设存在这样的函数f，则有f（n＋m）＝f（f（f（n））））＝f（n）＋m．进而由归纳假设易证：对非负整数k，均…     

数学教学要重视发现问题能力的培养—从一个几何问题谈起

数学教学要重视发现问题能力的培养—从一个几何问题谈起傅佑珊（北京教育学院西城分院１０００３５）平面几何课本曾经有这么一道题：已知：Ｐ为矩形ＡＢＣＤ内任一点，求证：ＰＡ２＋ＰＣ２＝ＰＢ２＋ＰＤ２．此题证明之后，可从以下五方面加以研究．１把Ｐ点当做运动的...     

二次根式检测题(A卷)(45分钟完成)

二次根式检测题（Ａ卷）（４５分钟完成）一、填空：（每小题５分，共３５分）１．如果（ｘ－９）２＝９－ｘ，那么ｘ的取值是．２．在实数范围内二次根式１３ｘ－６有意义的ｘ的取值是．３．当ｍ＜０时，化简４ｍ２＝．４．计算：０．２５×１２１＝．５．化简：４２３＝...     

有心圆锥曲线的一个性质

圆锥曲线有许多性质，已为人们所熟悉，对其他性质的讨论仍然吸引着广大的数学爱好者．笔者在教学中发现圆锥曲线的又一性质，现把它介绍如下．定理１设椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０），两焦点为Ｆ１（－Ｃ，０），Ｆ２（Ｃ，０）．点Ｑ为椭圆上除顶点外的任意...     

一道轨迹题的推广与深化

一道轨迹题的推广与深化张雪霖（上海宝山区顾村中学２０１９０７）本文探究解析几何教材中的一道轨迹题，旨在揭示椭圆的一些基本性质、椭圆与双曲线之间一种常见的可逆变换的实质．１问题及一般形式问题１△ＡＢＣ一边的两顶点是Ａ（－３，０）和Ｂ（３，０），另两边的...     

一类解几问题的“叠加造圆”解法

《平面解析几何》课本Ｐ７０第３题是这样一道习题：已知一个圆的直径端点是Ａ（ｘ１,ｙ１）,Ｂ（ｘ２,ｙ２）．证明圆的方程是（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＋（ｙ－ｙ１）（ｙ－ｙ２）＝０．这里证明从略．现将圆的方程变形为,ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｘ＋ｘ１ｘ２＋ｙ２－（ｙ１＋ｙ２）ｙ＋ｙ１ｙ２＝０．式中的一次项及常数项明确显露出韦达定理特征,据此着眼,对于某些直线与曲线相交问题,可将直线方程代入曲线方程分别得出关于ｘ及ｙ的一元二次方程．直接叠加即得以直线被曲线所截弦长为直径的圆的方程．以抛物线为例,有如下命题：设…     

具p-Laplacian算子型奇异边值问题多重正解

本文讨论了一类具ｐ－Ｌａｐｌａｃｉａｎ算子型奇异边值问题（φｐ（ｘ＇））＇＋ａ（ｔ）ｆ（ｘ（ｔ））＝０,ｘ（０）－βｘ（０′）＝ ０,ｘ（１）＋ δｘ′（１）＝０多重正解的存在性,其中φｐ（ｘ）＝｜ｘ｜ｐ－２ｘ,ｐ＞１ 通过使用不动点指数定理, 在适当的条件下,建立了这类边值问题存在多重正解的充分条件．这些结果能被用来研究椭圆边值问 题多重径向对称解的存在性．     

关于椭圆中面积最大的内接多边形的一个定理

关于椭圆中面积最大的内接多边形的一个定理张学东（山东聊城三中２５２０００）我们在文山中用压缩变换证明了椭圆内接三角形和四边形的面积分别为和．读者自然会问：椭圆。的任意内接边形是否也能取到最大面积？最大面积与边数ｎ之间有什么关系？对于固定的ｎ，面积最大...     

关于一道课本例题的商榷

关于一道课本例题的商榷孟祥礼（山东曲阜一中２７３１００）为方便起见，先将高中《平面解析几何》课本第１１６页的例３及解答抄录如下：例３化直线的点斜式方程ｙ－ｙ０＝ｔｇα（ｘ－ｘ０）为参数方程．解将直线的点斜式方程变形为ｙ－ｙ０ｓｉｎα＝ｘ－ｘ０ｃｏｓα...     

二次曲线的切线与三角形的角平分线

笔者在考察椭圆、双曲线、抛物线的图形时,得到以下结论：曲线上任一点与两焦点或与焦点及该点到准线的垂线段所构成的三角形的角平分线为曲线的过该点的切线．现分述如下,请同行指正．引理１　过椭圆　ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１　（ａ＞ｂ＞０）上点Ｐ（ｘ０,ｙ０）的切线的斜率为－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０．定理１　椭圆　ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１　（ａ＞ｂ＞０）上一点Ｐ（ｘ０,ｙ０）与椭圆的两焦点Ｆ１（－ｃ,０）、Ｆ２（ｃ,０）所构成的△ＰＦ１Ｆ２在顶点Ｐ的外角的平分线为过椭圆上点Ｐ（ｘ０,ｙ０）的切线．证明　根据椭圆的对称性…     

平均单叶函数的相邻系数

设ｆ（ｚ）＝ｚ＋Σａｎｚ＾ｎ为单位园｜ｚ｜＜１内解析且平均单叶，记其族为Ｍ又设｛ｆ（ｚ）／ｚ｝＾λ＝１＋Σ＾∞ｎ＝１Ｄｎ（λ），λ＞０，本文说明了：定理一 若ｆ∈Ｍ，λ＞０，则：Σ＾∞ｋ＝１｛｜｜Ｄｋ（λ）｜－｜Ｄｋ－１（λ）｜｜／ｄｋ（λ）｝＾２≤Ａｎ，ｎ＝２，３，…其中Ａ为绝对常数。ｄｋ（ｈ）＝ｈ（ｈ＋１）…（ｈ＋ｋ－１）／ｋ！当λ＝１／２，ｆ∈ｓ时为Ｉ．Ｖ．Ｍｉｌｍ所证明。定理二 若ｆ∈Ｍ并