p级数部分和的估计式与Euler常数

在级数敛散性的判别中，广级数有着举足轻重的作用，它是一个典型级数。本文将给出户级数部分和的估计式由此得出一个很重要的常数—Euler常数。一、P级数部分和的估计式考虑函数y=x-P（P＞0，X＞0），计算其一、二阶导数y’=px－1＜0；y”=p（p 1）x-p-2＞0，即函数y=xp的图形是单调减小、凹的（如图）。以下来估计在区间二，。」上曲边梯形的面积卜一’d。。由于｝，一。’的图形是凹的，由定积分近似计算中的梯形法公式知，其诸梯形面积之和应大于曲边梯形面积。图中以［k－l，hi为底边，上为高的n－l个矩形。积之。应小，曲。梯形面积…     

关于Euler数一个猜想的证明

研究Euler数的猜想:对于任何素数p≡1 mod4,E(p-1)／20 mod p．根据Euler数本身的性质和Fourier级数对于Gauss和的应用,证明了这个猜想是成立的．     

关于Euler常数的一个不等式

利用Γ函数的对数微商的渐近公式,我们建立了下面双边不等式:12n+∑2p+1k=1(-1)kBk2kn2k<∑nk=11k-lnn-γ<12n+∑2pk=1(-1)kBk2kn2k,这里γ=0.57721566…是Euler常数,Bk(k=1,2,…)是Bernoulli数,p0和n1是整数.     

Euler常数的一个反对称形式

Euler常数是级数理论中的一个重要结果 .但是 ,对于 Euler常数的反对称形式 ,一般的级数理论教程和文献中却很少提及 .因此 ,本文介绍一位美国学者就此研究的一个结果 .称 r=limx→ 1 ∞n=11nx- 1xn ( 1 )就是 Euler常数的一个反对称形式 ,(即 x与 n互换后该式变号 )其中 r被定义为r=limn→∞ 1 12 … 1n- lnn ( 2 )这里 ,( 2 )便是我们熟知的 Euler常数 .显然 ,级数 ( 1 )项中的 n和 x是反对称的 ,( 1 )式既指出了 r是 x趋近于 1时 ∞n=11nx- 1xn 的极限 ,又指出了 x趋近于 1时 P—级数 ∞n=11nx和几何级数 ∞n=11xn的区别 .这…     

Euler数，Bernoulli数及有序Bell数的渐近估计

利用特殊函数的发生函数为亚纯函数的特点,给出Euler数、Bernoulli数、有序Bell数等几个组合数的带有余项的渐进估计．     

关于无穷小量的一个命题及其应用

引入同类无穷小量的概念，并证明其一个命题，可应用于求某些数列的极限与某些数项级数的和及某些幂级数的和函数。     

关于高阶Euler数的同余

给出了高阶Euler数的一些同余式.     

Euler公式的简单应用

本文介绍 Euler公式 :eix =cosx +isinx ( 1 )或 cosx =eix +e- ix2sinx =eix -e- ix2( 2 )的一些简单应用。一　五个数 0、1、π、e、i之间的联系例 1　在 Euler公式中令 x=π,得eiπ +1 =0上述结果将五个在不同历史时期出现而又在性质上相去很远的不同数字 ,统一在一个非常简洁的式子里 ,它的美学价值是从它的内涵、它的历史、它的外表都可以看出来的。二　求导数例 2　设函数 y=exsinx,求 y(n)解　因 y=exsinx=Ime(1+ i) x,则y(n) =Im dndxne(1+ i) x =Im( 1 +i) ne(1+ i) x =2 n2 exsin( x +nπ4)。　　三　求定积分例 3　求∫π20cos…     

一类定积分的计算

对于一类在积分区间上除可数个点外处处连续的函数求定积分的问题,可将其转化为有关各连续子区间上的原函数的级数得到解决。     

关于发散的p-级数的一个发散速度估计

设p∈(0,1),本文研究p-级数∑∞n=1n~(-p)的发散速度估计.通过构造适当的区间套,得到了limn→∞A_(n,p):=C_p∈(p,2~(1-p)-1+p),0C_p-A_(n,p)(1-p)n~(-p),这里,A_(n,p)=n~(1-p)-(1-p)∑k=nk=1k~(-p).进一步,应用数值积分的梯形公式,得到了lim_(n→∞)n~p C(_p-A_(n,p))=(1-p)/2以及C_p-A_(n,p)的二次估计.所得结果改进了文(马书燮,关于发散p-级数的一个不等式[J].大学数学,2013,29(2):147-150.)中的结果.     

关于等价无穷小量代换的一个应用

讨论了等价无穷小量代换在含有变上下限定积分的未定式中的应用     

关于无穷小量乘积的讨论

本文由有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量的证明入手 ,给出无穷多个无穷小量的乘积不一定是无穷小量的例子 ,并根据这种方法得到无穷多个无穷大量的和也不一定是无穷大量的结论     

弱条件下Euler族迭代的收敛性

用于求Banach空间中算子f 零点的Euler迭代族的迭代映射是f 在z的局部逆 f ^-1_z的Taylor展式的部分和.当α≤3-2Ö2时整个Euler迭代族统一的收敛性定理被建立,并且其中Smale的α判据中f 解析的强条件被有限次可微的弱条件取代,从而使Smale的理论被纳入数值泛函学者习惯的框架之中.     

无失效数据失效率的估计

对指数分布无失效数据（ｔｉ,ｎｉ）的失效率λ,在λ的先验密度的核为ｅｘｐ（－λ）时,给出了λ的Ｂａｙｅｓ估计和多层Ｂａｙｅｓ估计,从而可以得到可靠度的估计,最后,给合实际问题进行了计算。     

无失效数据情形参数的综合估计

本对指数分布的无失效数据,在引进失效信息后,在先验分布为Gamma分布时,给出了失效率的多层Bayes估计和综合Bayes估计,并给出了无失效数据情形可靠度的综合估计,还结合实际问题进行了计算。     

无失效数据可靠性参数的综合估计

本对指数分布的无失效数据（ｔｉ,ｎｉ）,给出了参数λ的最小二乘估计以及失效概率ｐｉ＝ｐ｛Ｔ〈ｔｉ｝的Ｂａｙｅｓ估计,并在引进失效信息后给出了Ｐｍ＋１（ｒ）＝Ｐ｛Ｔ〈ｔｍ＋１｝的Ｂａｙｅｓ估计和综合估计,从而可以得到无失效数据的失效率和可靠度的综合估计。最后,综合实际问题进行了计算。     

无失效数据情形失效率的综合估计

对指数分布的无失效数据，提出了无失效数据情形失效率的综合估计法。在失效率的先验分布为截尾Gamma分布时，给出了失效率的多层Bayes估计。在引进失效信息后，在失效率的先验分布为截尾Gamma分布时，给出了失效率的多层Bayes估计和综合估计，并给出了可靠度的综合估计，结合实际问题进行了计算。     

关于Euler数的一个问题的解决

本文证明了:对任何素数p≡5(mod 8);有 E(p-1)/2≠0(mod p),这里E_(2n)是Euler数。     

无失效数据情形失效率的综合E-Bayes估计

给出了无失效数据情形失效率的E-Bayes估计和引进失效信息后的E-Bayes估计,并在此基础上给出了失效率和可靠度的综合E-Bayes估计。最后,结合实际问题进行了计算,对估计结果进行了分析,并将它们与未假定先验信息时的非Bayes置信限进行比较,结果表明该方法是合理的。