从一个案例看问题解决的三条基本途径

案例 数列{an}满足a1+8/7a2+(8/7)2·a3+…+(8/7)n-1·an=n(n+1), (Ⅰ)求数列{an}的通项.     

也谈加强不等式在解题中的应用

题目 设数列{an}满足:a1=1,an+1=1/16(1+4an+√1+24an)(n∈N*).(1)求a2,a3;(2)令bn=√1+24an,求数列{bn}的通项公式;(3)已知f(n)=6an+1-3an,求证f(1)·f(2)·…·f(n)＞1/2.     

两个恒等式的应用

an=a1=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-a(n-1))(n≥2),an=a1·(a2/a1)·(a3/a2)…an/(a(n-1))(n≥2).在求解数列问题时,我们常用到上面两个恒等式.当求得an/a(n-1)或an-a(n-1)的表达式后,     

一个不等式的几种新证

2006年高考江西卷(理)压轴题为: 已知数列{an}满足;a1=3/2,且an=3nan-1/2ab-1+n-1(n≥2,n∈N*). (Ⅰ)求数列{an)的通项公式; (Ⅱ)证明:对一切正整数n,不等式a1a2…an＜2·n!恒成立.     

一类有趣的数列

设数列{an}满足条件 an=a1 a2 … an-1 (n≥2)①当n=2时,由①式可得,an=a1．易知,对任意的自然数i(i=1、2、3、…),若 a1=0,则ai=0;若a1≠0,则ai≠0．所以,下面我们不妨假设a1≠0．     

新题征展(35)

A　题组新编1 .已知曲线 C:xy - 2 kx k2 =0与直线 l:x - y 8=0有唯一的公共点 ,而数列{an}的首项 a1=2 k,点 ( an- 1,an)恒在曲线上( n≥ 2 ) ,数列 {bn}满足关系 bn =1an - 2 .( 1 )问数列 {bn}是等差数列吗 ?( 2 )求数列 {an}的通项公式 .2 .已知二次函数 f ( x) =ax2 bx c有f ( 0 ) =3,且直线 y =5x 1与 f( x)的图像相切于点 ( 2 ,1 1 ) .( 1 )求函数 f ( x)的解析式 ;( 2 )若 f( n)为数列 {an}的前 n项和 ,求数列 {an}的通项公式 ;( 3)求limn→∞ ( 1a2 a3 1a3a4 1a4 a5 … 1an- 1an) .B　藏题新掘3.在边长为 1的正△ …     

新题征展(129)

A 题组新编1.(1)设x∈R+,e表示自然对数的底,求证:函数y=(1+1/x)s,y=(1+1/x)(x+1)分别单调递增、递减,且(1+1/x)x＜e＜(1+1/x)(x+1);(2)已知数列{an}满足2Sn=nan,其中Sn是{an}的前n项和,a2=1,求证:3/2≤(1+1/(2an+1))n＜√e.2.已知a1C0n+ a2C1n+a3C2n+…+an+1Cnn=n·2n对任意的正整数n恒成立.(1)若a1,a2,a3,…,an+1成等差数列,求出该数列的通项公式;(2)若a1是已知数,求数列a1,a2,a3,…,an+1的通项公式.     

对一道高考题的探究

已知数列{an}的前n项和Sn,满足Sn=2an (-1)n(n≥1).1)写出数列{an}的前3项a1,a2,a3;2)写出数列{an}的通项公式;3)证明对任意的整数m>4有1a4 1a5 … 1am<78.思路分析1)略.2)an=23[2n-2 (-1)n-1](n≥1).3)由于1a4 1a5 … 1am是关于m的递增数列,故不能直接用数学归纳法证明不等式,     

一道高考题的另一解法

2007年高考全国卷(Ⅰ)理科第22(Ⅱ)题也可以用“辅助数列法”求出通项bn,然后证明.题:已知数列{an}中a1=2,an 1=(2-1)(an 2),n=1,2,3,….(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}中b1=2,bn 1=23bbnn 34,n=1,2,3,….证明:2相似文献   

平均不等式在数列和式不等式问题中的应用

数列和式不等式问题是高考中的热点难点问题,往往以压轴题的形式出现,学生普遍感觉束手无策,无章可循.笔者经过研究发现,不少数列和式不等式问题若能合理地利用平均不等式,往往能化难为易,突破难点.例1已知数列{an}满足a1=1,a2n-an＋1＋3=0.求证：1/a1＋2＋1/a2＋2＋…＋1/an＋2〈23.证由平均不等式得an＋1=（a2n＋1）＋2≥2an＋2,∴an＋1＋2≥2（an＋2）,     

放缩的方法探究

<正>考题(2014年新课标全国卷Ⅱ第17题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明:{an+1/2}是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)证明:1/a1+1/a2+...+1/an<3/2.不难证得(1)数列{an+1/2}是以3/2为首项,     

殊途同归求通项

数列是中学数学重点内容之一,也是初等数学与高等数学的一个重要衔接点;而数列的通项公式则是研究数列的最佳载体,通项公式反映着数列中每一项的共性特征即通项中包含问题的规律性,在解题中一旦规律性突破了,就能顺利地解剖本质问题.数列问题特别是数列的通项公式问题历来是高考的重点,甚至很多次作为压轴题形式出现.本文主要利用等差数列和等比数列的性质来求解一些非特殊递推数列的通项公式.1利用等差数列的性质求数列的通项公式(1)an 1=an f(n)型例1(07北京)数列{an}中,a1=2,an 1=an cn(c是常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成公比不为1的等比…     

从一道训练题谈数列积式不等式的证明策略

题目 (武汉市2011届高中毕业生五月供题训练(三)理科第21题)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=1/2na(n+1)(n∈ N+),其中a1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bk＝(a1a3…a2k-1)/(a2a4…a2k)(n∈N+).证明:bn＜1/√2an+1这是一道融数列、不等式与函数为一体的综合问题,主要考查学生的思维能力.第(2)问的证明具有一定的难度,从证法上看,它注重通性通法,也不回避特殊技巧,既可用大众化的常规证法,也可用证明不等式的一些特殊技巧,很好地区分了考生思维的层次性.由第(1)问可知an=n,从而原不等式即为:1/2·3/4·5/6·…·.     

递推数列寻找特根(续)——从2010年全国卷Ⅰ第22(1)说起

下题由2010年全国1卷第22(1)题改编,求数列{bn}改成了求数列{an}的通项公式. 题3 已知数列{an}中,a1=1,an+1=5/2-1/an.求数列{an}的通项公式. 求根 设递推式an+1=5/2-1/an的特征方程s=5/2-1/s,解之得s1=2或s2=1/2.     

赏析一道数列问题

已知数列{an）满足a1=1,a2=2,a2n＋1=a2n＋a2n-1/2,a2n＋2=√a2n＋1·a2n,求数列{an}的通项公式．     

解题思路形成探因——对一道高考题的反思

题目(2012年广东理19)设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N*,且a1、a2+5、a3成等差数列.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)证明:对一切正整数n,有1/a1+1/a2+…+1/an<3/2.     

四类数列问题的探究

<正>1.(∑ni=1ai)m=∑ni=1ari型例1(2012年全国高中数学联赛A卷第1试第10题)已知数列{an}的各项均为非零实数,且对于任意的正整数n,都有(a1+a2+…+an)2=a31+a32+…+a3n.(1)当n=3时,求所有满足条件的三项组成的数列a1,a2,a3;(2)是否存在满足条件的无穷数列{an},使得a2013=-2012?若存在,求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.     

例说数列中的周期性问题

数列是一种特殊的函数 ,所以数列中也必然存在着周期问题 ,有些数列题 ,表面上看与周期无关 ,但实际上隐含着周期性 ,一旦揭示了其周期 ,问题便迎刃而解 ,下面略举几例说明 .例 1　在数列 {an}中 ,a1=13,a2 =5 6 ,对所有的自然数n ,都有an + 1=an+an + 2 ,求a2 0 0 5.解　∵an + 1=an +an + 2 ,∴an + 2 =an + 1+an+ 3,两式相加 ,整理得　an+ 3=-an,∴an + 6 =-an+ 3=an,∴数列是以 6为一个周期的周期数列 ,∴a2 0 0 5=a6× 334 + 1=a1=13.例 2　设数列a1,a2 ,… ,an,…满足a1=a2 =1,a3=2 ,且对任何自然数n都有anan + 1an + 2 ≠ 1,又anan +…     

2011年北京高考理科数学20题第三问探析

题目 若数列An：a1,a2,…,an（n≥2）满足{ak＋1-ak}=1（k=1,2,…,n-1）,则称An为E数列．记S（An）=a1＋a2＋…＋an。     

新题征展(94)

A题组新编 　　1.(姜本超)(1)若a1=cos a/2,an/an-1=cos(2n-2·a),(0相似文献