一个三角形数表中的玄机

1 一个有趣的数列题题 给定正整数n(n≥2)按下方式构成倒立三角形表,第一行依次写上数1,2,3,…,n,在每一行的每相邻两个数的下方写上这两个数之和,得到第二行的数(比上一行少一个数),依次类推,最后一行(第n行)只有一个数,例如n=6时数表如图所示,则当n=2009时最后一行的数是____.     

从一道高考题产生联想

（2011年安徽高考数学理科卷第18题）在数1和100之间插入”个实数，使得这n＋2个数构成递增的等比数列，将这n＋2个数的乘积记作L，再令an=lgL，n≥1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=tana。·tanan＋1，求数列{bn}的前n项和S。     

1995年全国初中数学联合竞赛试题及答案

１９９５年全国初中数学联合竞赛试题及答案第一试一、选择题（本题满分４２分，每小题７分）本题共有６个小题，每小题都给出了（Ａ），（Ｂ）（Ｃ），（Ｄ）四个结论，其中只有一个是正确的．请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得７分．...     

1996年全国高中数学联合竞赛试题及解答

１９９６年全国高中数学联合竞赛试题及解答第一试一、选择题（本题满分３６分，每题６分）本题共有６个小题，每小题给出了（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）、（Ｄ）四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母填入题后的圆括孤内．每小题选对得６分；不选、选错或选...     

具有四个不同特征值的竞赛矩阵

设A是n阶竞赛矩阵，k是非负整数。文[3]刻划了恰好有三个不同特征值的n阶竞赛矩阵，文[4]刻划了恰好有四个不同特征值并且0作为一个一重特征值的n阶竞赛矩阵。在这篇文章中我们主要研究了两个问题：（1）讨论当k是A的特征值时A的性质。（2）刻划恰好有四个不同特征值并且k作为一个一重特征值的全部n阶竞赛矩阵。     

数列架桥 差分铺路 妙解赛题

在解一些与正整数有关的数学竞赛问题过程中，常常需要根据题给条件，构造适当的数列{f（n）），然后利用它的一阶差分f（n＋1）--f（n）来解决问题．构造一个怎样的数列有助于解题呢？当然因题而异．本文将通过一些例子来说明．     

关于一道IMO函数方程试题的再推广

第28届IMO的第四题是一道关于函数方程的试题：求证不存在函数f：N→N，使得对于每个n∈N，f（f（n））＝n＋1987[1]．沈华老师[2]将上述试题推广为下面的定理：定理1设m为自然数，存在函数f:N→N，使得每个n∈N，均有f（f（n））＝n＋m的充要条件是m为偶数．但其证明有一处小的疏漏（见［2］中证明的（2）式）．本文我们首先完善定理1的证明，并给出当m为偶数时满足条件的函数f：N→N的构造与个数．定理1的证明对任何m∈N，假设存在这样的函数f，则有f（n＋m）＝f（f（f（n））））＝f（n）＋m．进而由归纳假设易证：对非负整数k，均…     

三角形的一个性质再探

文[1]从2004年全国高中数学联合竞赛试题第四题出发，通过对问题的进一步探索推广得到下列结论：设点O在△ABC内部，且λ→↑OA＋m→↑OB＋n→↑OC=0,（其中λ，m，n均是正数）。则S△AOB：S△BOC：S△AOC=1/λm：1/mn：1/nλ，文[2]利用向量的几何意义对上述结论给出了较为简捷的证明。     

一道竞赛题错解辨析

一道竞赛题错解辨析白大川（武汉财贸学校４３００１６）初中数学竞赛试题全解汇编一书中有这样一道题：方程且ａｂｃ≠０，那么ｘ＝＿＿（上海初一数学竞赛试题）其解答过程如下：ａｂｃ≠０表示ａ，ｂ，ｃ都不为零．观察方程：根据ａ．ｂ．ｃ位置上的循环．可假设Ｍ－－...     

1994年浙江省初中数学竞赛试题及解答

１９９４年浙江省初中数学竞赛试题及解答（考试时间：１２月１１日上午８：３０—１１：００）注意：全卷共六道大题，满分１２０分．一、选择题（共８小题，每小题４分，共３２分．各小题给出的四个结论中，有且只有一个是正确的，请把你认为正确的结论的字母代号填在题...     

整系数多项式的一个性质

众所周知，一个n次多顶式可以田n干1刘函数值唯一确定．即已知平面上的（n＋1）个点真中则存在一个目仅存在一个n发多顶式函数使得它经过。十1个点只．笔者试图在另一些特定条件下减少确定多顶式的点的个数，我们得到定理两个整系数多顶式人J）弓g（X），老刘于某一文于所有系数约对值2僵的整数T，育／（T）一g（T），则这两个分顶式相同．证明设则人（x）、gi（x）仍为整系数务项式，目人（T）一gi（T），美中人（x）、gi（x）的系数都是人X）、g（X）的系数，因此其绝对值的28小于T，同理可证11-hi·仅此下去，可证。i一hi（1一0，1，…     

欧拉—费尔马定理及应用

欧拉一费尔马（小）定理为初等数论中极为重要定理之一．最早由费尔马1640年提出（未证明）．后经欧拉推广证明．它是解决二次同余式关键．有许多应用．在中学，被列入《高中数学竞赛大纲》（二试）．主要解数学竞赛中求余数、整除等有关问题．考虑不少师生对定理及应用均不熟悉，本文拟在这方面作一些介绍．1欧拉函数与欧拉—费尔马定理欧拉函数（n）表示不超过n且与n互质的正整数个数：＝1（2）＝1，（3）＝2，。4）一2，叭5）一4，叭6）一2，。7）一6，…我们先给出。n）的表达式：设n一户和·户和…··户承（户；为素数，i—1，2，…，…     

综合题新编选登

题188有一种摇奖盘是将一单位圆分成n（n≥3）个均匀的扇形区域构成的（如图1所示），现需将这n个扇形区域用三种不同颜色涂色，并要求三种颜色都要使用，且相邻的区域不能同色，如果把含有n（n≥3）价扇形区域摇奖盘的涂色方法数记为an（图1），     

Gutman极值六角链猜想的证明

六角系统是理论化学中苯碳氢化合物的自然图表示．六角链是一个六角系统满足任意一个顶点至多属于两个六角形，并且每个六角形至多与两个六角形相邻．Gutman提出了两个猜想：1）含有相同六角形个数、具有点独立集总数（Hosoya指数）最小的六角链是唯一的，且为锯齿链；2）含有相同六角形个数、具有边独立集总数（Merrifield－Simmons指数）最大的六角链是唯一的且为锯齿链．本文证实了这两个猜想     

1996年全国初中数学联合竞赛试题及解答

１９９６年全国初中数学联合竞赛试题及解答第一试一、选择题（本题满分４２分，每小题７分）本题共有６道小题，每小题选对得７分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得０分．１．实数ａ、ｂ满足ａｈ＝１，记，１．实数ａ、ｂ满足ａｂ＝...     

上楼梯问题的一种解法及推广

人民教育出版社《数学》（必修）第一册（上）第129页习题3．5第7题． 已知数列{αn}是等比数列，Sn是其前n项和，α1，α7，α4成等差数列，求2S3，S6，S12-S6成等比数列．     

求伪素数的一个公式

定义若n是合数，且满足2n－1－1≡0（modn），则称数n是伪素数．从1819年有人发现第一个伪素数341后，更多的伪素数被找出，如561，645等等．伪素数的个数无穷．陈历功和陈君安在上文文[2]中提出了一条直接求伪素数的定理．即：若p是大于5的素数，则n是伪素数．此理论概括了一类伪素数，笔者通过探索发现，还存在另一类伪素数，其公式如下．定理若p是异于3和7的奇素数，则是伪素数．证明设p是异于3和7的奇素数．为整数，数．因异于3和7的奇素数的个数无限，所以，这类伪素数的个数也无穷．文［Zj中猜想："无法找出两个统一的正整数a，m，当…     

正方形正方体被分割的块数

问题1过正方形相邻两边的n等分点，分别引各边的平行线，求这些直线（连同正方形的四边）所构成的正方形的个数．下面用递推法给出问题I的一种求法．如图1所示，设所构成的正方形有an个．则an由两部分构成（1）组成的正方形仅由正方形A。T'1CL'1内部的直线（及各边）所构成的正方形的个数（不含阴影区域的所有正方形）；（2）组成的正方形除（1）以外的所有正方形的个数（含阴影区域的所有正方形）．对于（1），由于正方形A。T'1CL'1的各边被这些直线进行了（n-1）等分的划分，所以可以构成an-1个正方形．对于（2），先考察含有矩形ABT…     

1995届江苏建湖县中学射阳县中学高三联考数学试卷（理工医农类）

１９９５届江苏建湖县中学射阳县中学高三联考数学试卷（理工医农类）一、选择题（本题满分６５分，计有１５小题，１—１０题，每题４分，１１—１５题每题５分．每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填到题后括号内）１．不等式ａ＞ｂ和同时成立的...     

2009IMO中国国家集训队概况及选拔考试题目评析（续）

第2天 2009年4月1日8：00-12：30湖北武汉 4．（余红兵供题）设正实数a，b满足b—a〉 2．求证：对区间[a，b）中任意两个不同的整数m，n，总存在一个由区间[ab，（a＋1）（b＋1））中某些整数组成的（非空）集合S，使得 ∏ x∈s^x/mn 是一个有理数的平方．