一个奥数问题的拓展及面积证明

<正>题目[1]如图1,已知两平行线l1、l2,A、B、C是l1上的三点,D、E、F是l2上的三点,且直线AE与CF交于点G,AD与BF交于点H,BE与CD交于点K.证明:G、H、K三点共线.文献[1]里反复利用"l1∥l2"得比例式,使证明顺利完成.     

2010年浙江卷文科压轴题的推广

题已知m是非零实数,抛物线C:y2=2pxx>0的焦点F在直线l:x-my-(m2)/(2)=0上. (Ⅰ)若m=2,求抛物线C的方程; (Ⅱ)设直线l与抛物线C相交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的准线的垂线,垂足为A1,B1,△AA1F,△BB1F的重心分别为G,H.求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.     

(一)究竟选哪?

厄目:已知方程8了+6赶十Zk十l*0的两根是护直角三角形两锐角的正弦值,则k的值是().*2或一孚(c,一韶‘群严;(B)一吝<*<价 乙(D)不存在. 解一:设直角三角形两锐角为A、丑则由韦达定理有: _3kISln月十Sln石=一-1一}1…。Zk+1,sln汽’sln万=月一百一①②又sinB=eosA1十Zk十l 4解之得石解二:’.’=2,毛(一剖2一等.故。).sinA>0,sinB)0解之得一粤<*<0.故选(B). ‘解三:据sirLA>0,sinB>O,△)0得 3乏、。 一.月尸ZU}’12介+l、n1一’”_.136护一32(2花+1)多0@尸~二1.IJ一解乙得一百又从8一2试石 g-故选(C).不同的解法竟得不同的结果,何去…     

法国Ecole Polytechmque笔试入学试题

1.设x为实数,整数Q李1.令S、‘,)二之业罗兰试证·““(‘) f‘5 in(Zq+1)兀,:,=1—a封一工 J 0 Sln材U2.令·(叫匕_: 、Sln介材月U“二0o<}u{<2.试证《。)在(·1,+l)申连续可微.试证存在一个常数A:,当x〔〔O,15、(小二一耳 几兀J口名叮+!,韶名Sin”。 一〔止V合〕以及对一切整数“》‘时,}、念便有 。)计算s。(冬)之值,并由使上述不等式推出积分f一圣些兰、,的收敛性,并求其值. ”“’、2‘’~一’‘’一一一一”‘一”一一一’‘一J0,”--一’一一’一’一- 3.验证存在一个实数AZ,使得对于V实数二和整数q>1,不等式}又(劝l成A:成立…     

数学问题解答

l。,l年12)J号l,l:l题解答(解答山问题提供人给出) 746.没扩一梦一:,一o,试将护一y3一护分解为一次因式之积. 解令梦二x(os0,:xsino朋11 x3一夕,一之3一x3(1 co、)‘I声、in30)二一x3 (eos20一eos”0+SinZ口一Sin“白)x3〔eo、28 (l一eoso)}sin28(l一Sino)1一23 !(l一5 in“0)(l一。、(,50)门一eos”0)(l一 5 in口)」一23(1‘·、,50)(1 sino)(2{。050, 5 1 ns)一(x一x c.,50)(x一x 5 1 no)(Zx士xeos口‘ x sino)万一(x一梦)·(x一二)·(Zx十夕+二) 747.已知空l’l一1四边形AB‘’D中,ABZ}CDZ二B尸卜从f.试求:注c’jBD所成的角. BC…     

关于子群的两种广义正规性的注记

群 G 的一个子群 H 称为在 G 中具有半覆盖远离性,如果存在 G 的一个主群列1=G_0＜ G_1＜…＜G_1=G,使得对每一 i=1,…,l 或者 H 覆盖 G_j/G_(j-1)或者 H 远离 G_j/G_(j-1)．本文证明了予群的半覆盖远离性是子群 C-正规性和子群的覆盖远离性之推广．进一步应用极大子群和 Sylow 子群给出了有限群为可解群的一些特征．     

十二 综合练习

1.已知z=eoss+isin夕,口([0,二],w=1一分1一之且}w}=l,试确定口的大小. 2.已知函数f(x)二109。(矿一l)(a>o,且a手0,a为常数). (l)求刃x)的定义域; (2)讨论f(x)的单调性; (3)解方程f(2x)=f’(x). 3.已知函数f(x)=109:(x+一).当点(x,夕)在夕=f(x)的图象上运动时,(音,誉)运动所成曲线就是函数夕一不x)的图象. (1)写出函数娜x)的表达式; (2)若娜x)一f(x))O,求x的取值范围; (3)限于(2)中x的取值范围,求娜x)一f(x)的最大值. 4.设xl和掩是方程了一xsin口+sinZa二0的两个实数根.(口为锐角).连接A且召CCI),ACAD.DB. (l)求证:平面ABC工平面AO场…     

一道2016年高考题引发的变式教学

2016年高考刚刚结束时,在任教的高二(9)班一次课堂上,笔者出示了这样一道高考题. 题目(2016江苏-22)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p＞0). (1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程; (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证:线段PQ的中点坐标为(2p,-p);②求p的取值范围.     

环面图上的一个Lebesgue型定理及其在线性染色中的应用

设c是图G的一个顶点染色, 如果c的任意两个色类都导出一个最大度至多为2的无圈子图,则称c为G的一个无圈染色. 我们首先证明了环面图上的一个Lebesgue 型定理, 作为其应用证明了对任一个围长不小于5 的环面图G, 除非△(G) = 4 而且G有一个子图H使得H的每一个面都是与三个3度点和二个4度点相关的5度面, H一定是(「(△(G))/2」+ 4)- 线性列表可染色的. 这一结果推广和改进了一些已知结论.     

2005年河北省中考数学试卷

一、选择题(每题2分,共20分)1.-3的相反数是()A.-13B.31C.-3D.32.计算(x2y)3,结果正确的是()A.x5yB.x6yC.x2y3D.x6y33.等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中,是中心对称图形的有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,若直线l与⊙O有交点,则下列结论中正确的是()A.d=rB.d≤rC.d≥rD.d相似文献   

2003年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

试　题一、(本题满分 5 0分 )过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线 ,切点为A ,B .所作割线交圆于C ,D两点 ,C在P ,D之间 .在弦CD上取一点Q ,使∠DAQ =∠PBC .求证 :∠DBQ =∠PAC .二、(本题满分 5 0分 )设三角形的三边长分别是整数l ,m ,n ,且l>m >n .已知 3 l10 4 =3 m10 4 =3 n10 4 ,其中 {x}=x -[x] ,而 [x]表示不超过x的最大整数 .求这种三角形周长的最小值 .三、(本题满分 5 0分 )由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形 ,其中n =q2 +q + 1,l≥12 q(q+ 1) 2 + 1,q≥ 2 ,q∈N .已知此图中任四点不共面 ,每点至少有…     

两证点到直线距离公式

点到直线距离公式在教材上、资料上有很多种证法,本篇将结合高二学生的实际,根据学生已掌握的知识,介绍两种新证法.图1已知直线l的方程:Ax B y C=0(A、B不全为0),P(x0,y0)为平面上任一点,求点P到直线l的距离.证法1(向量方法)如图1,设P1(x1,y1)为直线l上一点,G为过点P(x0,y0)作直线l的垂线的垂足,直线l的法向量为n=(A,B),其单位向量n1=1A2 B2(A,B),P P1=(x1-x0,y1-y0)由向量数量积的几何意义得:d=PG=P P1·n1=1A2 B2 A(x1-x0) B(y1-y0)=1A2 B2 Ax1 B y1-Ax0-B y0=Ax0 B y0 C A2 B2(∵Ax1 B y1=-C)证法2(最值方法)由平面几何…     

关于特殊直线对称问题的探索

一、由一道高考题引发的思考 (全国高考题)已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0(ab>0),那么l2的方程是( ).(A)bx+ay+C=0 (B)ax-by+C=0(C)bx+ay-c=0 (D)bx-ay+c=0     

1980年第四期数学问题

1.已知函数f(劝的定义域是全体实数,对任意的实数二,,二2成立等式:j(Xl) f(‘2)一Zf(兰工护)·厂(芒卫云些),且了(1)=。j(x)不恒等于0.求证(1) (2) (3)f(二)是周期为2二的周期函数f(x)是偶函数成立f(Zx)二2[.l(“)〕“一12.证明含参数t其中黔铸一:奥行三鱼,所表示昨02“2 一一 yd︷r口 一 戈.宁一一r口 程 方 线 直 的五热 一一al一仇一切直线经过同一点的充要条件是212 一一叙一73试证。。53粤 l 。。53弩 cOS3(本题由沈阳杨锦生提出)‘解方程{x(x“ 6夕2)=2401夕(3x“ 2夕“)=17155没“‘>O(f=1.2.二心求证当。》2时 (本题由甘肃天…     

双圈连通图的L(2,1)-labelling

给定图G,G的一个L(2,1)-labelling是指一个映射f:V(G)→{0,1,2,…},满足:当dG(u,v)=1时,f(u)-f(v)≥2;当dG(u,v)=2时,f(u)-f(v)≥1.如果G的一个L(2,1)-labelling的像集合中没有元素超过k,则称之为一个k-L(2,1)-labelling.G的L(2,1)-labelling数记作l(G),是指使得G存在k-L(2,1)-labelling的最小整数k.如果G的一个L(2,1)-labelling中的像元素是连续的,则称之为一个no-holeL(2,1)-labelling.本文证明了对每个双圈连通图G,l(G)=△ 1或△ 2.这个工作推广了[1]中的一个结果.此外,我们还给出了双圈连通图的no-hole L(2,1)-labelling的存在性.     

直线x_0x y_0y=r~2与圆x~2 y~2=r~2

设圆G的方程为x~2 y~2=γ~2,则经过圆上一点M(x_0,y_0)的切线的方程是x_0x y_0y=γ~2,从这条切线的唯一性出发,可得上述命题的三个逆命题:(1)若点M(x_0,y_0)在圆G上,则直线l与圆G相切;(2)若直线l与圆G相切,则点M是切点;(3)若圆心在原点的圆与直线l切于M,则圆为圆G.例1 (课本《解析几何P69第12题)判断直线3x 4y=50与圆x~2 y~2=100     

用直线系中的定点解题

经过两直线 l1:A1x B1y C1=0和 l2 :A2 x B2 y C2 =0的交点 P的直线系 (动直线 )方程 l:A1x B1y C1 λ(A2 x B2 y C2 ) =0(λ∈ R,不含 l2 ,简记为 l1 λl2 =0 )的应用范围很广 .本文拟从定点 P的利用这一角度 ,略述管见 ,供参考 .解析几何中涉及到动直线 l:l1 λl2 =0与直线或圆锥曲线相交的一些问题 ,解答的关键往往是确定直线 l所经过的定点 .如能找到这个定点 (通常是隐含的 ) ,并能巧妙应用 ,问题就会迎刃而解 .1　求参数的取值范围例 1　已知两点 A(- 4 ,- 5)、B(2 ,1 ) ,直线 l:(a - 2 ) x - (a 3 ) y 5(a 1 ) =0 …     

细微处有打磨功--数学教学随笔

偶然和一位同学谈及如下的常见题: 例1 已知动直线l:y-tx 1=0与定线段AB相交,线段端点坐标分别为A(1,3)、B(5,2).试求参数t的取值范围.     

上海市高三年级数学竞赛试题解答

第一轮 (1988年4月17日上午8:30一9:45) 本试春共7趁,第l一2城,每题10分:第3一7翅,每趁12分,满分80分. 各砚只委埃写最后结果,不必写出中间过租. 1.已知集合 A={(x,,)}扩+犷+Zx‘l}』业芬业<1958、-匹琴卫今,,一64 乙乙64 X 63 2=1 9531988一1953=35.内哪的分母为35,又分子分母和为64.卜“_29二“:,一~百丁·B=={(x,夕)}x一夕+a)o}若AnB仅含有一个点,则“的值为一1解:l分+矿+Zx一1=0 Ix一夕+a=o 令2产+2(a+l)x+矿一l=0 △=4(a+1)2一8(矿一l)=0 二a=一l,a二一3(舍去) 5.满足P(一l)=l,P门)=3,P(3)=21.尸(21)=8823的一个多项式尸(x)=丫一…     

关于有限群的正规补子群

用(G,H,H_0,π)表示如下构形:H,H_0都是有限群G的子群,且H_0△H和π=π(H/H_0)。对于(G,H,H_0,π),考虑如下条件:(A_0)若H-H_0的两个元π-元h_1,h_2,在G中共轭,则h_1H_0,h_2H_0在H/H_0中共轭。(B_1)设π-元h∈H-H_0,p∈π,如果,则。(B_2)设π-元h∈H-H_0,则(C_G(h):C_H(n))是π′-数,且C_G(h)中恰有|C_G(h)|_(π′)个π′-元,C_H(h)中恰有|C_H(h)|_(π′)个π′-元。(D)若p∈π,则H_0中任一p-元不能与H-H_0中元共轭。(E)((G∶H),(H∶H_0))=1。我们证明若(G,H,H_0,π)满足条件(A_0),(B_1),(D)和(E)或(B_2),(C),(D)和(E),则G有唯一的H_0上H的正规补子群。