“平行线分线段成比例定理”的导学设计——和谐提问的技巧

为行文方便 ,本文简称“平行线等分线段定理”为“引理”;简称“平行线分线段成比例定理”为“定理”.1　变更引理的叙述 ,为和谐地扩展开路 .图 1　　“引理”是在平行四边形和梯形的基础上提出的 .如图 1 ,直线 l1∥ l2 ∥l3,若 AB =BC,则DE =EF.T:你能换一种方式 ,重新叙述这个命题么 ?……T:AB =BC,就是 ABBC=1 .S1:可改叙成 :如图 1 ,直线 l1∥ l2 ∥ l3,则ABBC=DEEF=1 .这个定理给出了任意等分一条线段的方法 .因为它告诉我们 ,只要一组平行线在一条直线上能截得相等的线段 ,那么它们在其他的直线上也能截得相等的线段 .定…     

94 平行线分线段成比例定理

１　换一个视角,提出了猜想Ｔ：由我们学过的平行线等分线段定理知,如图１,直线ｌ１∥ｌ２∥ｌ３,直线ｌ４、ｌ５分别被ｌ１、ｌ２、ｌ３所截,如果ＡＢ＝ＢＣ,那么ＤＥ＝ＥＦ．换一个视角,对于图１,如果ＡＢＢＣ＝１,那么ＤＥＥＦ＝１;还有如果ＡＣＢＣ＝２,那么ＤＥＥＦ＝２;如果ＡＢＡＣ＝１２,那么ＤＥＤＦ＝１２．由此可以引出什么样的猜想呢？图１　　　　　　　　　图２如图２,直线ｌ１∥ｌ２∥ｌ３,直线ｌ４、ｌ５分别被ｌ１、ｌ２、ｌ３所截,那么有ＡＢＢＣ＝ＤＥＥＦ,ＡＢＡＣ＝ＤＥＤＦ．２　通过一个个图式、比…     

平行线分线段成比例定理的教学再探

平行线分线段成比例定理(以下简称为定理)是总领关于相似形问题全部内容的纲目性定理,在很大程度上说,影响《相似形》一章教学成败的关键性因素,就取决于该定理教学的优劣。也正由于该定理在《相似形》一章所处的地位如此举足轻重,如何把它教好便一向是几何教学中的热门话题,在几何教法的理论研究方面对它的探讨也相对地显得较多,本文则希望能在扬百家之长并同时避诸家之短的基础上,提出关于该定理教学的一些较为切实易行的设想,以供大家参考,不足之处,尚需各同行在教学实践中继续补正。一、关于定理的证明、扩展和图形的变通     

“平行线分线段成比例定理”教法设想

初中《几何》第二册P13—15,对于“平行线分线段成比例定理”只是针对其中一条截线截三条平行线所得线段之比是特殊的几个有理数的情形进行了说理性的论证,而对无理数情形没有组出证明。教科书中这样处理本是考虑到学生的接受能力,殊不知。实践表明,这种作法使相当部分的学生误以为书上的说理就是该定理的证明,同时,相应的教参上也未给出     

平行线截线段成比例定理的一个应用

在初中数学里,对于作出2~(1/2),3~(1/2),2~(1/2) 3~(1/2)等无理线段问题,显然并不困难,一般都是从有理线段出发,通过应用勾股定理而作出．然而当已知线段是无理线段时,反过来又怎样去作出有理线段或无理线段呢?这是课本里没有涉及的问题,本文应用平行线截线段成     

平行线分线段成比例定理及其推论在解题中的应用

平行线分线段成比例是学习相似的基础,学好平行线分线段成比例可以帮助学生更好地学习相似及相似三角形.基于此,本文中先分别叙述平行线分线段成比例定理与推论的内容,然后分析二者之间的联系,最后通过几道例题说明平行线分线段成比例定理及其推论在解题中的应用.     

面积法证平行线分线段成比例问题

我们知道平行线分线段成比例定理:"三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等",由它可以推导出三角形相似的判定定理.现行教材人教版九年级下册并未对它证明,但只在第41页有这么一句话:"经证明(这里从略)……",究竟怎样证明,同学们颇感为难和困惑.现用面积法给予证明,以作为对教材的补充.     

平行线分线段成比例定理的证明——谈对初中《几何》第二册这部分内容的修改意见

在现行教材初级中学课本《几何》第二册第13页中,没有给出“平行线分线段成比例定理”的证明方法,只是根据“平行线等分线段定理”,列举一些数值来验证这一定理的正确性。这样就给这部分教材的教学带来一定的困难。我认为:如果我们先证明“平行于三角形一边的直     

数学体验:学习“基本事实”的有效路径——以“平行线分线段成比例”为例

<正>《义务教育数学课程标准(2022年版)》中对“图形与几何”部分给出了9条“基本事实”,教学中多数教师把这些基本事实当成不用证明的公理直接给出,淡化了基本事实的教学价值,不利于对欧氏几何公理化体系的认识和建构,也会影响学生对数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间联系的深度体验.     

平面分线段所成比的定理及应用

设线段AB和平面α相交(或延长后)于D,AA_1⊥α、BB_1⊥α,(A、B∈α)则有AO/OB=AA_1/BB_1。这是在立几中不难证明的事实。我们可称它为平面分线段所成比的定理,即定理一条线段和一个平面(或延长后)相交,交点内(或外)分线段的比,等于对应端点到平面的距离之比。 (*) 下面例举说明这个定理的应用。例1 设空间四边形A_1A_2A_3A_4,平面α与A_1A_2、A_2A_3、A_3A_4、A_4A_1或其延长线顺次相交于P_1、P_2、P_3、P_4,求证A_1P_1/P_1A_2·A_2P_2/P_2A_3·A_3P_3/P_3A_4·A_4P_4/P_4A_1=1。证明设A_1、A_2、A_3、A_4到平面α的距离分别为h_1、h_2、h_3、h_4,由定理(*)有:     

微话题研讨:寻找素材,追求和谐——以“平行线分线段成比例的基本事实”的探究为例

义务教育数学课程标准（2011年版）要求“掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.”在近期的课题组活动中,围绕这一基本事实的教学,我们进行了专题研讨,在研讨的基础上安排了研究课,收获非常多.在此笔者分享部分专题研讨内容、教学片断和几点反思,以期得到更多同行的指导.一、专题研讨话题一:教材如何处理?探究:（人教版九年级下册第29页）如图1,任意画两条直线l₁,l₂,再     

重视教材“探究活动”,专业自主增设课时——李庾南老师“平行线分线段成比例”课例赏析

最近,笔者有机会观摩学习了著名特级教师李庾南老师的一节“平行线分线段成比例定理”公开课教学,由于该课的教学内容在当前一些九年级数学教材中被弱化为一个“探究活动”,并且没有要求学生给出具体的证明过程,然后作为所谓的“基本事实”让学生可以直接使用,用于相似三角形的性质后续推证.然而,从几何学习的逻辑连贯、前后一致的高度出发,平行线分线段成比例定理作为一个单独的教学课时显然有着十分重要的价值,本文整理该课的教学流程,分享并赏析专家教学     

174"有理数加法法则"的导学设计

[主持人按 通常的"有理数加法法则"的教学,是重操作轻理解教法的一个典型.这也是目前的这种考查方式的一个结果-考试指挥棒的现行指挥方式的作品.     

一般化凸空间上的截口定理和变分不等式定理

摘要：本文利用Brouwer不动点定理或已知的KKM型定理，得到一般化凸空间上的截口定理．讨论了变分不等式解的存在性问题。对文中的相应结论进行了一般化和改进。     

关于线段和、差、倍、分关系的证明

线段的和、差、倍、分在几何证明中比较灵活 ,在解决问题中常用到的方法有 :截长法、补短法、加倍法、折半法等等 .1.利用截长法或补短法证明有关线段和、差问题所谓截长法是指在较长的线段上截取一段等于其它两条线段中的一段 ,然后再证明截后所余线段等于两线段中的另一段 .所谓补短法即延长两线段中较短的一条 ,使等于较短线段中的另一条 ,然后证明延长后所得的线段等于较长的线段 .以上两种方法常常用来解决两条线段的和、差等于另一条线段的问题 .例 1　已知 :如图 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＡＣ =ＢＣ ,ＢＤ是∠Ｂ的平分线 .求证 :ＡＢ =ＢＣ ＣＤ .分析 :要证明ＡＢ =ＢＣ ＣＤ ,根据截长法和补短法的思想 ,我们可想到两条思路 :( 1)可延长ＢＣ到Ｅ ,使得ＢＥ =ＡＢ ,如能证ＥＣ =ＣＤ即可 ;( 2 )在ＡＢ取点Ｆ ,使得ＢＦ =ＢＣ ,如能证ＡＦ =ＣＤ即可 .根据这两条思路 ,再结合题目的条件 ,由等腰直角三角形 ,我们不难发现证ＡＦ =ＣＤ更好 ,因为可证ＡＦ=ＤＦ =ＣＤ .证明 :在ＡＢ上取ＢＦ =ＢＣ ,连结ＤＦ .∵∠ＣＢＤ =∠ＤＢＡ ,　ＢＤ =ＢＤ ,∴△ＢＣＤ≌ △ＢＦＤ .　...     

对《巧添平行线证明三角形内角和定理》一文的补充

阅读贵刊2010年第4期(下)刊载的欧阳明珍同学的习作《巧添平行线证明三角形内角和定理》后,对欧阳明珍同学的钻研精神和创新能力表示赞赏,对利用平行线证明三角形内角和定理的作法有了更深入的了解,经认真研     

多连通区域共形映照的变分定理和参数表示定理

<正> 在单连通区域共形映照极值问题的讨论中,Schiffer-变分定理和Lowner参数表示定理是两个有力的工具,借此已解决了许多重要的极值问题.人们自然希望对于多连通区域的共形映照能给出相应的定理.在许多学者努力的基础上,和分别获得了二连通区域的变分定理和参数表示定理.本文则把这两个定理推广到任意有限连通区域中去,为多连通区域共形映照理论的研究提供了两个有效的工具.作为定理的应用,本文还讨论了一类可微泛函的极值问题,拓广了的结果.     

线段和、差、倍、分的几种证明方式

线段的和、差、倍、分在几何证明中比较灵活 ,在解决问题中常用到的方法有 :截长法、补短法、加倍法、折半法等等 .1 .所谓截长法是指在较长的线段上截取一段等于其它两条线段中的一段 ,然后再证明截后所余线段等于两线段中的另一段 .所谓补短法即延长两线段中较短的一条 ,使其等于较短线段中的另一条 ,然后证明延长后所得的线段等于较长的线段 .以上两种方法常常用来解决两条线段的和、差等于另一条线段的问题 .例 1　如图 ,已知△ABC中 ,∠A =2∠B ,CD平分∠ACB .求证 :BC =AC +AD .证明 :(截长法 )在CB上截取CE =CA .∵CD平分…     

三条线段和差倍分混合关系的探究与证明

<正>三条线段和差倍分混合关系的探究与证明,这类题目一般都具有一定的灵活性和挑战性,要求学生不仅要有扎实的数学基础知识,还要具备一定的观察、分析、猜测、概括、论证的能力.本文结合实例说明其探究与证明的途径、方法.一、从已知条件入手探究数量关系紧扣已知条件,寻找与待求线段有某种数量关系的线段,并通过适当的等量代换,发现