談一題多解

本文試图对一个习題多种解法的問題,作比較系統的分析,供研究这一問题的老师們参考。一、一个习題为什么存在多种解法? 解答数学习題的方法是根据題里的式子或几何图形間的联系而得出的。由于有些习題里的式子或几何图形間的联系是多种多样的,这就决定了一个习題可以有多种解法。例如用图象解方程 x~2-2x-2=0.在这个习題里,方程x~2-2x-2=0与函数y=x~2-2x-2有联系,与函数y=x~2,y=2x-2也有联系。根据这两种联系,就可以得出两种不同的解法: (1)方程x~2-2x-2=0的根是使y=x~2-2x-2函数值为零的自变量x的值。根据这种联系,可得如图1的解法。 (2)方程x~2-2x-2=0的根,是使两个函数y_1=x~2和y_1=2x 2的值相等时自变量x的值。根据这个联系,可得如图2的解法。     

关于一个算术題的教学的一点經驗

初中算术課本中习題十一第11題(1.甲数比乙数少37.5％,乙数此甲数多百分之几? 2。甲数比乙数多150％,乙数比甲数少百分之几?),一般多不易使学生理解而正确地解出。笔者仅就教学实践中所取得的一点經驗,将这題的教学方法写在下面,供同志們参考、指正。由于学生对整数的大小比較的問題异常熟习,以至容易把它用在这个习題上的原故,在教学时先将这題緩讀一遍并突出“多”,“少”二字,以引起学生对这題的自觉地思考,     

例说正四面体的伴随正方体

<正>1.正四面体伴随正方体的由来人教版高二(下)教材第52页有这样一道习题:从一个正方体中,如图1那样截去四个三棱锥后,得到一个正三棱锥A—BCD,求它的体积是正方体体积的几分之几.     

思维的源泉从这里开始——从正方体透视正四面体与球体的切接问题

统编教材立体几何第108页习题十三第1题:从一个正方体中,如图1那样截去四个三棱锥后,得到一个正三棱锥ABCD.它的体积是正方体体积的几分之几?这道看似简单,     

由循环小数组成的数列的通項問題

高二代数課本数列这一章的习題里,有几个題目是分別带有1,2,3,…,n,…个(或0,1,2,3,…,n,…个)循环节而构成的数列問題,同学作題时,常因不知这些数列的通項公式而感到困难。虽經教师指导,但仍不明白道理。因此。将这类問題提出来和大家討論。研究这样的数列的通項公式,让我們先来研究下面的例題。例1.求数列:0.3,0.3,0.333,……的通項。 [解] 我們从第2項起,每一项真减去它前边的一項,連同原数列的第一項,便得一个新数列: 0.3,0.03,0.003,……。显然,这个数列是一个无穷递缩等比数列,它的首項就是原数列的首項(0.3),公比是1/10,因此它的前     

关于代数习題的編选

在数学教學中,要使学生巩固灵活地掌握基础知識并培养他們計算和演算的技能技巧以及加强邏輯思維能力等等,都必須让他們解答一定数量又具有較高质量的习題;并且通过独立解答习題可以培养他們应用所学知識进行創造性劳动的习惯。为了提高练习的效果,教师必須重視习題的选择和配备。在单元备課时,把单元里的习題全部研究一遍,这是教师应尽的責任,然后根据习題的类型、深广度和所联系到的旧知識来考虑某些題可作例題,某些題可作单元的課外作业,哪些題則沒有必要布置給学生。教师在平时应多参考其它数学課本和习題集里有关的习題,以便从中可以选择一些作为例題或作为习題布置給全班或部分学生。当实际教学时,可再根据实际情况,結合学生在概念和运算上所存在的問題,再編拟一些习題。     

求整数系数方程的有理数根的点滴体会

高三代数(1957年第1版)第144节的內容是整数系数方程的有理数根的求法,当学生学到这一节时,对于定理的理解还沒有多大問題,只是在演算习題当中,却是感到有些困难。有的学生在作习題时,总是埋怨有理数根的个数太多。不能从中摸出規律,不会找窍門,以致花費了很长的时間才能作一个題。下面是我教这一节教材的点滴体会。我在讲这节教材时,詳細地讲解了定理和推論,让学生彻底地領会。在讲这节过程时,有意識地提醒学生对于整数系数、有理数根、既約分数,这几个名詞的注意。在讲解例題时,分別闡述了每个例題的特点,最后通过定理和例題的讲述找出解有关問題的几項要点: (1) 如果有理系数方程的系数含有分数,应先化为整数系数方程;     

运算与逆运算的复习課一例

在平面三角課本习題二十第9题(2)中提出:“x在什么区間內,arc cos(cos x)中等于x?”学生在回答这个問題时与在高中一年級回答,“x在什么区間內,x~2~(1/2)才等于x?”一样地遇到困难(甚至困惑)!为了使得学生能正确地、自觉地认清这个問題,我在耕解时是从“运算与其逆运算的順序”这一角度出发,井从复习下面几个問题开始: 1.(1) (x a)-a=x,(原数x) (2) (x-a) a=x;(原数x) 2.(1) (x·a)÷a=x,(原数x;为了能够进行运算,必須使a≠0) (2) (x÷a)·a=x;(原数x;为了能够进行运算,必須使a≠0) 3.(1) ((x)~(1/2))~2=x,(原数x;为了使得运算能在实数集合内进行,必須     

培养学生具有从实际出发,認真审題的习慣

目的,学生在解答数学习題时,存在不从习题的实际条件出发、不认真审題的缺点,經常发生由于审错了題而把习题作錯的現象,因而影响作題貭量的提高。这篇文章将要分析这一缺点产生的原因,井提出一些克服缺点的方法。我們想从四个方面来谈这个問題:第一、不从实际出发,不认真审題的原因;第二、必須重视审題工作;第三、作到审題正确是不容易的;第四、必須对学生进行长期訓练,培养他們具有从实际出发,认真审題的习惯。 1.不从实际出发,不认真审题的原因。在作“画函数y=2x~2 4x 6的图象,并求函数的极值”习題时,有些学生沒看清問題的性质,仅凭过去的經驗判     

指数方程x~x=x的解法

現行高中代数課本第二册有这样一个指数方程 x~x=x,它的解是x=±1。問題是这样:解指数方程时,通例是利用取对数的方法;而在这題中,用这种方法必然会失去x=-1这一个解。有的人干脆叫学生去“观察”,这是很难說服学生的。我的解法如下: 1.假設x>0,那么,两边取对数,就得log x~x=log x,即 x log x=log x,移項 (x-1)log x=0,如果 x-1=0,那么x=1,如果 log x=0,那么x=1。 2.假設x<0(通常如果指数中含有未知数,习慣上我們总限制底数为正,但如将函数x~x之定义域适当限制,則仍可使x~x有意义——編者註)x=0显見不合原方程),令x=-y,那么y>0,原方程变为     

关于精选习題的体会

教师精选习題是“少而精”在学员綜的方面的落实。习題“精”与“不精”直接关系到学员理解知识的深腰和掌握技能、技巧的程度。在一定意义上说,选好习题和组织好课堂练习,可以看成是讲课的继续,是传授知识的另一种形式。有的同志以为课讲完了就算完成了任务,这是片面的。讲课只是教师传授知识的开始,而不是实现教学目的的终结。教师讲了,并不等于学员接受了,而必须通过实践,才能暴露事物的本质而理解它们,练习就是学员把所学知识用于实际的一种实践活动。精选习題不等于单纯地減少习题.題目精选了,     

三种方法 三样效果——立体几何教课实验报告

立体几何教学中,以“正方体切割后的体积”为课题,选择了两题,在高一(3)班进行了电教课教学试验。这两题是:①课本p.109,习题十三第一题;从一个正方体中,如图那样裁去四个三棱锥后,得到一个正三棱锥A—BCD。问它的体积是正方体体积的几分之几?(还要求分别画出截去第一个,第二个、第三个、第四个三棱锥后的图形)。②课本p.148总复习参考题B组第22题:将正方的棱     

二次方程中的物理問题

在現有的各种代数习題集中,除了关于均勻运动的問題外,物理問题所构成的二次方程只有很少的一些。在(?)拉利切夫的习題集中比其他的还稍微多些。但是在他的109个題目中,若不算均匀运动的問題吋,共有9个。下表說明在这几个問題中,是如何采用了物理定律的:     

在数学課外工作的进行中发展学生的独立性和主动性

在本文里,打算談談維尼察(?)第四中学的学校“数学爱好者协会”的工作經驗。在数学課外工作的进行中,对于学生的独立性和主动性的发展,可通过下列的几个方面来实現: 1)形成独立閱讀的习慣。 2)搜集并編輯习題与答問題     

怎样布置作业

作业是考查学生对所学知識掌握程度的可靠根据,也是教师检查自己教学质量的标准之一,所以布置作业是教学特別是数学教学中不可缺少的一个环节,上学期我們在这方面作了一些努力,今总結如下: 一、必须从备課入手,給布置作业打下基础。 1.在备課时就应全部演算习題,从而确定所讲教材的深度和广度。例如高中代数讲解实系数一元n次方程的根的性貭时,即穿插上有理数系数的一元n次方程的形如a+b c~(1/2)(其中a,b,c均为有理数,b(?)0,c~(1/2)是无理数)的根成对出現的习題(即必有根(a--b c~(1/2)),这样用对比的方式进行讲解,一方面使学生知道实系数一元n次方程的根的性质与有理系数的一元n次方程根的性貭不同,后者具备前者的性貭,而前者不具备后者的性质。另一方面,还应强調必須形如a+b c~(1/2)的根才能成对出現,但不能說成无理根成为,如5~(1/3)则不成对出現。 2.教师預先演算习題要注意到技能技巧和方法步     

怎样培养学生的独立思考能力——立体几何第一章教学体会

培养学生的独立思考能力是数学教学中一項非常重要的任务,因为独立思考能力是学生能否运用数学知識解答习題和指导实践的关键。如果学生只限于死板地背誦数学定义或簡单地运用数学定理,就不能正确地解答习題。要正确地解答习題,必須是在深刻地掌握定义、定理的基础上将它們灵活地运用。同时在学生运用数学知識指导实践的过程中,更需要发揮高度的創造精神。因此,我們认为在課堂教学中培养学生的独立思考能力应当从以下四方面着手: (1) 使学生明确地掌握概念。     

稜錐教学中的一些体会

“稜錐”是立体几何多面体教学中的一項主要內容。在課本上着重的讲授了有关稜錐的一些概念以及侧面积和体积的求法。从教学情况来看,学生对于这一部分知識的学习,还是比較順利的。然而就学生演算习題和联系实际的能力来看,也还存在着不少的問題。表現在对于一些基本概念的掌握不够深透;运算能力还比較薄弱;遇到一些稍有曲折的問題更不会灵活处理。因而对于“稜錐”这部分的教学,尚有加强基础知識和基本訓练的必要。本文仅就这部分教学中的某些問題,提出自己的一些肤浅体会。一、加强基础知识的教学 1.稜錐这部分教学的开始,是先揭示稜錐的定义,接着指出“用一个平面去截某一个多面角使它和各面都相交,便可以作出一个稜錐来”。这里指的多面角,是     

欧拉公式及其应用

对于简单多面体来说,若顶点数为V,面数为F,棱数为E,则V F-E=2.这就是著名的欧拉定理,其关系式叫做欧拉公式.其中的常数f(p)=V F-E=2叫做简单多面体的欧拉示性数.欧拉公式揭示了简单多面体的顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间特有的规律.欧拉公式只适用于简单多面体,是计算和推理简单多面体问题的理论依据.例1将正方体的各棱三等分,经过三分之一分点,从正方体的8个角截去8个相同的小四面体,试验证截后的凸多面体符合欧拉公式.图1分析先弄清楚截去8个角后得到什么样的几何体,然后分类计算面数、顶点数与棱数.证明截去8个角后,原正方体的每…     

正方体截面问题的再研究

文[1]作者通过两例给出了过正方体三条棱中点作正方体截面的作法,并在文末提出这样的思考问题.问题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是三对互为异面直线的棱上任一点(端点除外),能否类似作出过这三点的截面?本文拟给出此问题的解答,但要首先解决其中三点中有两点在正方体的同一个表面上的类似问题.     

正方体的表面展开图——实验与研究

一、操作与研究将一个正方体(如图1)的表面沿某些棱剪开,得到正方体的表面展开图时,你要剪7次,所以正方体的表面展开图的外围共有2×7=14(条)边.