“|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|”的补注及应用

“|a| - |b|≤ |a±b|≤ |a| + |b|”是高中数学新教材第二册 (上 )第 2 0页的一个重要不等式定理 ,它是处理含有绝对值问题的一个重要工具 ,课本限于篇幅 ,主要介绍它在证明不等式中的应用 ,而其它方面很少涉及 ,且何时取等号也未指明 ,本文对此加以补充并例谈其应用 .1　定理的补注1)等号成立的条件|a +b| =|a| + |b|当且仅当ab≥ 0 ;|a -b| =|a| + |b|当且仅当ab≤ 0 ;|a| - |b| =|a +b|当且仅当 (a +b)b≤ 0 ;|a| - |b| =|a -b|当且仅当 (a -b)b≥ 0 .2 )不等号成立的条件|a +b| <|a| + |b|当且仅当ab <0 ;|a -b| <|a| + |b|当且仅当ab …     

不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的补注

“|ａ| -|ｂ|≤ |ａ±ｂ|≤ |ａ| + |ｂ|”是高中数学中的一个重要不等式定理 ,它是处理含有绝对值问题的一个重要工具 .课本主要介绍它在证明不等式中的应用 ,而其它方面很少涉及 ,且何时取等号也未指明 ,但在高考中却多次考查到 .为此本文加以补充并例谈其应用 .一、定理的补注1.等号成立的条件|ａ +ｂ| =|ａ| + |ｂ| ａｂ≥ 0 ;|ａ -ｂ| =|ａ| + |ｂ| ａｂ≤ 0 ;|ａ| -|ｂ| =|ａ +ｂ| (ａ +ｂ)ｂ≤ 0 ;|ａ| -|ｂ| =|ａ -ｂ| (ａ -ｂ)ｂ≥ 0 .2 .字母ａ ,ｂ的范围其实ａ ,ｂ不仅在实数中成立 ,且在复数集中也成立 .同时右边不等式…     

活用|a·b|≤|a|·|b|解题举例

向量不等式|a·b|≤|a|·|b|是向量的一个重要性质,本文例谈它的应用.例1若a,b∈R且a1-b2 b1-a2=1.求证:a2 b2=1.证明记a=(a,b),b=(1-b2,1-a2),由已知条件知a·b=1,又|a|=a2 b2,|b|=2-a2-b2,由|a·b|≤|a||b|得(a2 b2)(2-b2-a2)≥1,化简得(a2 b2-1)2≤0,故a2 b2=1.例2(1957年北     

不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|取等号的充要条件

高中数学课本证阴了不等式!。}一}川《1。一卜日《卜!理l划,但没有指出何时才能取得‘“”号,本文指出其‘二’号成立的充要条件,并给出应用. 定理1.不等式la+bl《卜l+lb}(。,b〔R)取‘二”号的充要条件是。b>0. 证明:卜一:一6!二扣}+!乙}令今!。十bl忍二·(卜卜!b!)s令冷,十2}。}lb!十b’二。:+:卜b!+bZ令今:b》0. 用数学归纳法可证明推论:不等式l::十。:十…+口。I《!。:卜卜:卜…+}。。】取‘=”号的充要条件是所有a。a;》o(‘,j=l,2,…,。) 定理2.不等式}口{一}b】《】a+‘}(a,b, ‘刃)取“~’号能充妥系件是口二b=。或一l《b/:‘〔. …     

关于|a+b|=|a|+|b|及|a-b|=|a|-|b|的应用

1.在重要不等式|a+b|≤|a|+|b|中,当且仅当a≥0,b≥0或a≤0,b≤0时等号成立,即|a+b|=|a|+|b|的充要条件是ab≥0。因此|a+b|<|a|+|b|的充要条件是ab<0。同样,等式|a_1+a_2+…+a_n|=|a_1|+|a_2|+…+|a_n|成立的充要条件是a_1,a_2,…,a_n有相同符号。这一简单事实,在数学中有着重要的应用。 1)在解方程中的应用解方程|lg(2x-3)+lg(4-x~2)|==|lg(2x-3)|+|lg(4-x~2)|。解:根据|a+b|=|a|+|b|的充要条件是ab≥0,所以原方程等价于不等式 lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0。解这个不等式: lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0 lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0 2x-3>0 4-x~2>0     

运用|a·b|≤|a||b|时应注意的问题

|a·b|≤|a||b|是向量数量积的重要性质,常利用它求数量积的最大值、最小值和解决一些函数值域、最值以及不等式证明等问题;应用时若不注意相应条件,常出现一些错解,现举例如下:……     

向量不等式a·b≤|a|·|b|的应用

对于任意两个向量 a,b,有不等式 a.b≤|a|. |b|当且仅当向量 a与 b同向时为等式 .此不等式结构简单 ,形式隽永 ,内涵丰富 .运用它处理某些与不等式相关的代数问题简捷明快 ,颇具特色 .1　求函数的最值例 1　求函数 f(x) =3x +2 +44- x2 的最大值 .解　令 a =(3,4 ) ,b =(x,4 - x2 ) ,则 f(x) =a . b +2 ,|a|=5 ,|b|=2 .故 f(x)≤ |a|. |b|+2 =12 ,当且仅当 a与 b同向 ,即 3x=44 - x2 >0时取等式 .解之　 x =65 .故当　 x =65 时 ,f(x) m ax =12 .例 2　求实数 x,y的值 ,使得 f(x,y) =(1- y) 2 +(x +y - 3) 2 +(2 x +y - 6 ) 2取得最小值 . (…     

|a-b|≥||a|-|b||的几何意义

若·,。。*,贝。}一。.、{}一}。.},它是有广泛应用的不等式,下面给出它的一个有趣的几何解释,}一。,、){一,”,…当一“时显然成立· 于是构造函数f(x)一}x卜从图像上易见线段MN所在直线的斜率Ik删}簇1,不等式得证.当a共b时,它等价于 }1 al一lb}a一b簇1(责审张思明)|a-b|≥||a|-|b||的几何意义@齐行超$山东省单县二中!274300~~     

用不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|解题

（事实上，也成立，证明略）在高中《代数》下册不等式一章给出，教材主要研究了它在绝对值不等式证明中的运用．而在其它方面的运用几乎没有涉及．有关资料一般也未作探讨，为了强化《考试说明》中提及的这一重要基础，下面就其运用举例说明．1证明不等式例1用数学归纳法证明：（1985年全国高考上海试题）证明（1）n=1时，不等式显然成立．（2）假设成立，那么n＝k十1时，＜Silk。OSSI＋ICOSk。i。l＜ksinxl＋Dsinx【＝（k＋1）Isinx【．不等式成立．综合（1）、（2）有lsinn6I。nlsin8I．NZ已知a、b、c是实数，函数（1996年全国（3…     

1.|a b|>|a| |b|

有众所周知}a bl(la! !b{,在这里我们却}a bl》ial }b}.诸肴如下证明:*为一且二_八亘万_压二画三二一’一’I口 bl可(a 吞)1心(a b)(a b) ︼一人U. 一t,一,一.办 一.︸︺叭一办一 一‘U一之一al一一叭U李,一b 叼a︸ 一a_旦口十石 。 b不),雌 !b}}a b}篇-_I,口。、乓乏‘石不十石落j, (l) (2)得{a} }b}}a b} a-下-r十a十O:}a bl》}a! b。 b}bl...‘l,‘ ‘1.|a b|>|a| |b|@曹存富$宁波市北仓区教研室~~…     

斜率公式与两个不等式

关于绝对值不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|的另证.当b=0时,不等式显然成立.当b≠0时,它等价于-|b|≤|a b|-|a|≤|b|-1≤|a |b|b|-|a|≤1-1≤||(aa b|b)--|aa||≤1|(aa b|b)--|aa|≤1.图1 y=|x|于是作y=|x|的图象如图1.易见MN所在直线的斜率k满足|k|≤1,故不等式得证.2不等式1 x≤1 21x(x>0)的“斜率”表示.此不等式等价于1 x-1(1 x)-1≤21.它表示过P(1 x,1 x),Q(1,1)两点的斜率不小于y=1 x在Q(1,1)点的切线的斜率.3如何比较23与32大小.令f(x)=lgxx则f(x)=lgxx--00,它可视为y=lgx图象上的动点(x,lgx)与原点连线的斜率,作出y=lgx的图象易…     

对一类函数不等式的讨论

一、问题的来源例 :已知 :当 |x|≤ 1时 ,有 |ax2 +bx +c|≤ 1 .证明 :当 |x|≤ 1时 ,有 |2ax +b|≤ 4 .以上为一匈牙利奥数竞赛题 ,综观各类文献 ,其典型的证法有以下两种 :证法一 :记f(x) =ax2 +bx+c,g(x) =2ax+b.因函数 g(x)在 [- 1 ,1 ]上单调 ,故只要证明在已知条件下有 |g(1 ) |=|2a+b|≤4且|g(- 1 ) |=|- 2a+b|≤ 4即可 .易知2a+b=32 (a +b +c) +12 (a -b +c) - 2c=32 f(1 ) +12 f(- 1 ) - 2f(0 ) .于是由 |f(- 1 ) |≤ 1 ,|f(0 ) |≤ 1及|f(1 ) |≤ 1 ,知 |2a +b|≤ 32 |f(1 ) |+12 |f(- 1 ) |+2 |f(0 ) |≤32 +12 +2 =4,即 |2a +b|…     

从不等式~(1/2)(a/(a 3b)) ~(1/2)(b/b 3a)≥1谈数学推广

1　从一个“形式推广”的案例说起1 .1　“形式推广”的案例文 [1 ]给出不等式 :例 1　 a,b∈ R ,求证 :　　 aa 3b bb 3a≥ 1 (1 )这个不等式简明深刻 ,其原证法的关键步骤是先证　　　　 aa 3b≥ a3 4a3 4 b3 41同理 bb 3a≥ b3 4a3 4 b3 4.相加即得所求 .文 [2 ]继续给出不等式 :例 2　 a,b>0 ,求证 :　 aa2 3b2 bb2 3a2 ≥ 1 (2 )文 [3]看到了这两个例子的共同结构 ,作出了如下的“指数推广”:例 3　 n∈ N,a,b∈ R ,则　　 anan 3bn bnbn 3an ≥ 1 (3)正如文 [3]的编者按所指出的 ,(3)也可以看成是 (1 )的特例而并不是…     

ab≥0■|a+b|=|a|+|b|

初中代数介绍有理数(后来为实数)加法时,法则分两部分。第一是符号法则,第二是绝对值法则。关于后者,最后可归纳成: ab≥0|a+b|=|a|+|b|。可逆的箭头,表示可逆的法则。例1 已知同号两数a、b的绝对值为2和5,求a+b。解:ab>0得 |a+b|=|a|+|b|=2+5=7。所以有 a+b=±7。以上是法则的正用,以下看法则的逆用,     

数形结合解含|x a|、|x b|的不等式

例1 解不等式|x 3|-|X-1| 3>O.解令F(X)=|x 3|-|x-1|, g(x)=-3.由x 3=0,x-1=0分别得x=-3,x=1.     

绝对值不等式的性质如何用?

同学们知道,绝对值不等式有性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.容易证明该性质还可以加强为:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.如何运用这一性质?是高中数学学习中的一个难点.下面拟举例说明如何运用它.一、运用绝对值不等式的性质不取等号的     

一道联考试题的讨论

湖北省部分重点中学 2 0 0 3届第一次联考数学试卷上有这样一道题 :已知 f(x) =ax2 +bx +c,如果x∈ [-1 ,1 ]时 ,均有 | f(x) |≤ 1 .1 )求证 :|c|≤ 1 ;2 )当x∈ [- 1 ,1 ]时 ,试求 g(x) =|cx2+bx +a|的最大值 ;3)试给出一个这样的 f(x) ,使 g(x)确实取到上述最大值 .命题者的解答如下 :解　∵x∈ [- 1 ,1 ]时 ,| f(x) |≤ 1恒成立 ,令x =0 ,得 |c|≤ 1 .2 )∵g(x) =|cx2 +bx +a|=|cx2 -c+c+bx +a|≤ |cx2 -c| + |c+bx +a|=|c| ( 1 -x2 ) + |c +bx +a|≤ |c| + |c+bx +a| ,由于函数 φ(x) =|c +bx +a|在 [- 1 ,1 ]的端点处取到最大值 .所以…     

要正确理解符号“≤”的含义

要正确地使用一个数学符号 ,首先要正确理解它的含义 .“≤”是一个完整的和独立的数学符号 ,不是两个符号“<”和“ =”的合写 .它表示左边的数量小于或等于 (即不大于)右边数量 ,读作“小于等于”(“小于或等于”) ,也可以记为“≯” ,读作“不大于”.如 3≤ 2 (3≯2 ) ,a≤b (a≯b) ,R2 ≤ 1 (R2 ≯ 1 )等[1 ] [2 ] .上面的关于符号“≤”的定义是清晰和无歧义的 .符号“≤”用于数量关系可比、能分清楚小于或等于或大于的场合 ,是对大于的否定 .若 |f(2 ) |≤7,则 |f(2 ) |不大于 8,即 |f(2 ) |≤ 8成立 ,所以文 [3]关于这个问题的看法…     

图有[a,b]因子的邻域条件

不含有图K1，R的图称为K1,r-free图，设G是一个具有顶点集V（G）的图，设n(≥3),a和b是整数，使得b≥a≥1，若b是奇数，设b≥n-1。我们证明了每个连通的K1,r-free图G在b|V(G)|为偶数，它的最小度至少是a n-1,|V(G）≥ （2(a b)-1)(a b-1)/b，以及|NG(x）∪NG（y)|≥a|V(G)|a b对V的任意两个不邻接的点x和y都成立时，G有一个[a,b]因子。     

关于复数的三角不等式

我们知道 ,对于任意两个复数 z1 和 z2 ,有　 |z1 |- |z2 |≤ |z1 +z2 |≤ |z1 |+|z2 |,这是有名的的三角不等式 .它是一个极其初等而又重要的不等式 ,在分析学里扮演着基本的角色 ,具体可见文献 [1][2 ].根据这个不等式 ,我们容易知道 ,对于任意两个模为 1的复数 t1 和 t2 ,亦有|z1 |- |z2 |≤ |t1 z1 +t2 z2 |≤ |z1 |+|z2 |.现在 ,我们运用三角形的正弦定理和射影定理来分析上面的三角不等式 ,首先证明下面的定理 1　设 z1 、z2 和 z是 3个复数 ,满足|z1 |- |z2 |≤ |z|≤ |z1 |+|z2 |,则存在两个模为 1的复数 t1 和 t2 ,使得z =t1 z1 +t…