Sulle curve sghembe algebriche di residuale finito

Sunto. Si studiano le curve sghembe di residuale finito; si determina la base per l'ideale corrispondente; si dimostra che esse sono aritmeticamente normali secondoZariski; si approfondisce la classificazione delle curve che ilDubreil chiama di 2^a specie. Molti di questi risultati si estendono alle superficie e alle varietà.     

Sopra l'esistenza dell'estremo assoluto per problemi variazionali di ordinen anche con riferimento a una nuova definizione di intorno

Sunto. Nel presente lavoro viene ripreso in esame il problema dell'esistenza dell'estremo assoluto per una classe di integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica dipendenti da elementi differenziali fino all'ordine n (n>3) e invarianti rispetto al parametro. Tale problema viene trattato, oltre che con riferimento alla definizione di intorno (ϱ)ⁿ di una curva ordinaria C ₀ ⁽ⁿ⁾ , considerata in precedenti ricerche dall'A., anche in base a una nuova definizione di intorno {ϱ}ⁿ di una curva ordinaria C ₀ ⁽ⁿ⁾ introdotta recentemente dall'A. Si perviene dapprima a un teorema di esistenza valido con riguardo sia all'una che all'altra delle citate definizioni. In seguito, invece, il problema stesso viene trattato separatamente nei due casi in cui si fa riferimento o all'una o all'altra delle definizioni sopra indicate, e si perviene a teoremi di esistenza dell'estremo assoluto la cui validità è assicurata in classi di curve ordinarie C⁽ⁿ⁾ che sono complete rispettivamente di ordine n-(I) o di ordine n-(II). I risultati ottenuti, alcuni dei quali sono nuovi anche per n=3, vengono illustrati con vari opportuni esempi. Entrata in Redazione il 22 dicembre 1976. Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.A.F.A. (C.N.R.).     

Fondamenti della geometria sulle varietà algebriche

Sunto Vengono qui continuaté le ricerche dell'Autore, dal 1909 in poi, intorno alla geometria sopra una varietà algebrica del corpo complesso e si costruisce in particolare una esauriente teoria delle irregolarità della varietà, fondata sia sopra una loro definizione geometrico-topologica, come sopra una loro definizione trascendente, stabilendosi inoltre l'equivalenza delle definizioni. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno. Questa Memoria, preparata in occasione del giubileo scientifico del CollegaGiovanni Sansone, ed a lui dedicata, vuole anzitutto attestare la mia, anzi la nostra gratitudine, verso chi mi è stato efficientissimo Condirettore per tanti anni, fin da quando cioè, per una deplorevole disposizione, restai solo nel Comitato Scientifico degli ? Annali ?, divenendone automaticamente, senza mia volontà, unico Direttore. Il Prof.Sansone fu il primo, in ordine di tempo, che scelsi per associarlo a me nella Direzione dell'antico e celebrato periodico. Con lui, a nostra volta, scegliemmo d'accordo, a mano a mano, per successive cooptazioni, gli altri Colleghi. All'abilità e alla solerzia tecnico-organizzativa di lui, siamo quasi interamente debitori dell'odierno prestigio e dell'attuale diffusione del nostro Periodico, oggi patrimonio prezioso, materiale e morale, della matematica italiana. La Memoria è stata preannunciata da una I Nota riassuntiva, contenente però quasi tutto l'essenziale, pubblicata nei Rendiconti dell'Accademia Nazionale dei Lincei, seduta del 9 maggio 1959, e da una II Nota pubblicata nei Rendiconti della stessa Accademia, seduta del 14 settembre 1959. I fondamenti della parte più moderna della geometria sopra una varietà (dell'ordinario corpo complesso) i cui inizi spettano, come ben si sa, aNoether, furon posti in luce dalle seguenti Memorie dall'A. e da quelle di altri, con esse più o meno immediatamente collegate. Citazioni più circostanziate trovansi nelle Memorie cui alludiamo dell'A., e cioè:Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: I contributo, Rend. del Circolo Matematico di Palermo, 1909. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: II Contributo, Annali di Matematica, 1951. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: III Contributo, Annali di Matematica, 1956. Ivi son richiamate anche le Note preliminari dei Comptes Rendus, 1955, 1956, sulle forme differenziali di 1^a specie. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: IV Contributo. La teoria delle irregolarità delle varietà algebriche, Rend. Acc. Naz. dei Lincei, 1956. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: V Contributo. Ancora sulla teoria delle irregolarità, Memorie dall'Accademia Nazionale dei XL, 1957–58. I risultati della presente Memoria potranno essere confrontati con quelli conseguiti daE. Marchionna nell'Appendice ch'egli, aderendo alla mia richiesta, ha aggiunte alla fine del mio Trattato citato nella nota (²) a piè della pag. 3 della presente Memoria (precisamente l'Appendice diMarchionna va da pag. 395 in poi). Il Trattato ha potuto essere completamente stampato, mercè la solerte cooperazione di lui, sia pel coordinamento d'una parte della materia, come per la correzione d'una buona metà delle bozze del volume, ch'egli ha preso in consegna quando il dattiloscritto non era neppure composto tipograficamente per intero. Per tutto ciò rinnovo qui al Prof.Marchionna l'espressione della mia viva gratitudine, alla quale si associeranno di certo quanti troveranno nel volume qualcosa di utile pei progressi della geometria algebrica, sia nel dominio classico, come in quello astratto. A proposito dei risultati contenuti nell'Appendice IV, devo ricordare che la relazione fra la somma dalle due ultime irregolarità diV _d, la deficienza del sistema canonico parziale staccato sopra una ipersuperficieE elementare, dal proprio sistema aggiunto |E' |, nonchè la sovrabbondanza del sistema |E' | viene conseguita pure per via algebrico-geometrica, diversa da quella qui esposta, nella pag. 429 dell'Appendice predetta e precedentemente nel lavoro diMarchionna Sul teorema di Riemann-Roch, ecc. (Nota III), Lincei, 1958, p. 673. Una delle vie indicate daMarchionna, onde pervenire alla relazione cui s'allude, presuppone tuttavia, in un secondo tempo, il teorema (diKodaira) di regolarità dell'aggiunto. Questosecondo modo di deduzione permette di ottenere più rapidamente il risultato, ed ha il vantaggio di conseguirlo più in generale, in relazione ad una generica ipersuperficieA non singolare, tracciata sopra unaV _d, priva di punti multipli; mentre qui (come nella Nota lincea preventiva) c'interessa di conseguire la relazione, di cui al successivo n. 2, con una dimostrazione del tutto autonoma. nel quadro della geometria algebrica classica, in quanto sopra la relazione cui si allude, noi vogliamo dipoi poggiare la deduzione di parecchie altre proprietà, stabilite daKodaira con mezzi di analisi, che si allontanano molto dal quadro predetto. Di ciò diremo più ampiamente nella presente Memoria e nelle Memorie che continueranno la presente.     

Significato proiettivo di alcuni tipi di equazioni differenziali del secondo ordine

Sunto. Ogni elemento di 2^o ordine di curva di una superficie (ad asintotiche distinte e non rettilinee) determina duequadriche asintotiche osculatrici. Gli elementi di 2^o ordine tali che queste quadriche abbiano, in ogni punto della superficie, un contatto assegnato con una retta, conica o cubica sghemba associata al punto appartengono alle curve integrali di equazioni differenziali del tipov″P _i (v′)=P _i+3(v′) (i=1, 2) oveP _k (v′) è un polinomio di gradok inv′=dv/du a coefficienti funzioni diu ev. Determinazione della configurazione geometrica a partire dall'equazione.     

Equazioni di equilibrio e di congruenza,indefinite ed ai limiti,delle lastre semielastiche a doppia curvatura

Sunto Mediante l' appropriata applicazione del principio dei lavori virtuali, usato successivamente nelle due forme variazionali correlative in cui esso può esprimersi, si ricavano le equazioni generali di equilibrio e di congruenza delle lastre curve. Nessuna ipotesi viene formulata circa la legge fisica che lega le tensioni alle deformazioni, e circa il modo di comportarsi della normale alla superficie media della lastra durante la deformazione. La grande ampiezza che assume di conseguenza tutta la trattazione si ripercuote su alcuni risultati già noti, ad esempio sulle condizioni di equilibrio ai limiti per le lastre piane date dalKirchhoff, le quali risultano valide anche senza le due ipotesi fondamentali su cui ne fu basata la deduzione.     

Funzioni tensoriali di un vettore e leggi elementari dell’elettromagnetismo

Sunto Si espone un algoritmo particolarmente adatto per lo studio delle leggi elementari dell’elettromagnetismo, sia allo scopo di stabilire il grado di indeterminazione da cui sono affette, sia allo scopo di determinare tutte le leggi elementari dotate di requisiti assegnati. Nel primo capitolo si esaminano le proprietà generali delle leggi elementari e si classificano. Nel secondo capitolo si studiano i tensori del secondo e del terzo ordine associati alle leggi elementari. Tali tensori sono tutti funzioni di un vettore e godono delle proprietà che al mutare della terna di riferimento le nuove componenti del tensore, espresse in funzione delle nuove componenti cartesiane del vettore, godono dell’invarianza formale. Tale proprietà si traduce in un sistema di equazioni funzionali, che vengono risolte. Si ha così che le 9 (27) componenti del tensore di secondo (risp. terzo) ordine possono essere espresse mediante una combinazione lineare di sole 3 (risp. 7) funzioni del solo modulo del vettore, che vengono chiamate “funzioni di distanza” del tensore. La ricerca delle leggi elementari dotate di proprietà assegnate dà luogo a sistemi di equazioni differenziali fra le componenti dei tensori associati alle dette leggi. Tali sistemi constano talvolta di un enorme numero di equazioni alle derivate parziali del primo o del secondo ordine. Tuttavia la sopradetta conoscenza della semplice struttura dei tensori incogniti ed un appropriato procedimento di calcolo permettono di pervenire alle soluzioni in modo relativamente semplice, rispetto alle complessità che la questione offre a prima vista. Alcuni esempi vengono illustrati. Nel terzo capitolo si risponde in modo esauriente all’antica questione relativa all’indeterminazione della prima legge elementare diLaplace. Nel quarto capitolo si determinano le espressioni generali di particolari insiemi di leggi elettrodinamiche. Ad Antonio Signorini nel suo 70^mo compleanno.     

La risoluzione apiristica delle congruenze cubiche

Sunto. L'A. in una precedente Memoria degli ?Annali ? ha dimostrato che alle congruenze cubiche può assegnarsi la forma normalex ³+ax+a ≡ 0 (mod.p) conp primo, ed ha dato una formula apiristica di risoluzione nel caso che le tre radici della congruenza non abbiano lo stesso carattere quadratico modulop. è ripresa ora la questione e l'A. dimostra che la congruenza proposta può sempre trasformarsi linearmente in un'altra le cui radici non hanno lo stesso carattere quadratico modulop. Nel casop=6h+7, e nell'ipotesi che le tre radici della congruenza non abbiano lo stesso carattere cubico modulop, l'A. trova una nuova formula risolutiva della congruenza. Segue infine l'estensione del procedimento diNewton per la risoluzione approssimata delle equazioni alla risoluzione delle congruenze modulop ⁿ conn>2.     

Sull'integrazione delle equazioni elettromagnetiche di Maxwell-Hertz

Sunto In questo lavoro l'A. risolve il problema seguente. Siano assegnate:a) per ogni istante di tempo le forze elettriche e magnetiche in ogni punto di una superficie chiusa fissa o mobile in un campo elettromagnetico;b) nell'istante iniziale queste stesse forze in ogni punto del campo da essa racchiuso. Si domanda l'univoca determinazione delle forze nei punti interni alla superficie e in ogni istante di tempo. Nel caso della superficie fissa le formule finali mostrano che nei mezzi non assorbenti sono sufficienti soltanto i datia) per la risoluzione del problema, mentre nei mezzi di natura qualsivoglia sono richiesti anche i datib).     

An inverse problem for a quasilinear parabolic equation

Sunto Si considera un problema parabolico sovraderminato in una sola variabile spaziale per l'operatore quasilineare definito da · a₃ o u. Tale operatore contiene un termine incognito a(k {0, 1, 2, 3})del quale si studia la dipendenza dalle condizioni iniziali e alla frontiera. Si determinano due classi, rispettivamente di dati e di soluzioni ammissibili, ed una coppia di metriche rispetto alle quali l'applicazione dati(u, a_k)è lipschitziana. Si mostra infine che tale applicazione si mantiene hölderiana quando le metriche ammesse per i dati sono soltanto del tipo L.

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Lavoro eseguito con contributo del Ministero della Pubblica Istruzione e nell'ambito del Gruppo G.N.A.F.A. del C.N.R.     

Le serie lineari speciali sulle curve trigonali

Sunto Introdotto, per le curve trigonali di dato genere. un altro carattere invariante per trasformazioni birazionali della curva (carattere che qui vien chiamatola specie della curva stessa), si procede alla determinazione delle serie lineari speciali complete su ogni curva trigonale di generep e di speciem, precisandone la dimensione. In fine. come applicazione. si determinano le curve trigonali. di dato genere e di data specie, appartenenti ad unS _r e aventi il minimo ordine. Ricevuta in Redazione nel gennaio del 1945.     

Condizioni di integrabilità nel campo gravitazionale einsteiniano e moto di una particella di prova

Sunto Si completa una ricerca diInfeld eSchild, nella quale la legge di moto di una particella di prova, rappresentata da una singolarità, viene dedotta dalle equazioni della teoria gravitazionale einsteiniana di puro campo, e risulta una geodetica dello spazio-tempo riemanniano incurvato da altri corpi. Si dimostra precisamente che la legge della geodetica costituisce una condizione di integrabilità non soltanto necessaria, come consegue dalla ricerca precedente, ma anche sufficiente affinchè le equazioni (non tensoriali) che caratterizzano il comportamento di una particella di prova in un riferimento solidale con la particella stessa, siano integrabili in ogni istante, in un intorno della posizione istantanea della particella.     

Funzionali analitici ipergeometrici

Sunto In questa Memoria l'A. introduce il concetto difunzionale analitico ipergeometrico confluente e completo e ne studia le proprietà essenziali. Il lavoro è diviso in tre parti. Nella prima parte dà le definizioni fondamentali di questi operatori e studia un funzionale ipergeometrico che chiama diGauss. Nella seconda parte pone in relazione questi funzionali ipergeometrici con alcune classiche trasformazioni della Analisi Funzionale: operatore diLaplace, integrazione, derivazione, logaritmo funzionale diPincherle, ecc. Nella terza parte dà delle relazioni caratteristiche di questi funzionali e li applica in fine alla rappresentazione di un integrale regolare nell'intorno della origine della equazione differenziale diLamé.     

La reciprocità alle sorgenti della analisi infinitesimale

Riassunto Ripreso nel suo sviluppo storico il problema della derivazione del continuo dal discontinuo e viceversa, se ne mostra la soluzione nel concetto di reciprocità che sta alle sorgenti della analisi infinitesimale e che si espliciterà nel postulato della continuità(-discontinuità).

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Résumé Repris dans son développement storique le probleme de la dérivation de la continuité de la discontinuité et vice versa, on demontre la solution dans l’idée de réciprocité qui se trouve à la source de l’analyse infinitésimale et qui se manifeste dans le postulat de la continuité(-discontinuité).

     

L'indeterminazione delle funzioni di sforzo per membrane comunque curve

Sunto Vengono analizzati e giustificati i comportamenti diversi delle superfici che ammettono spostamenti rigidi in sé e di quelle che non ne ammettono, di fronte ai problemi della congruenza e dell'equilibrio. Per membrane del tutto generiche si rende conto dell'esistenza di più funzioni di sforzo e della loro indeterminazione dovuta alle identità che legano le corrispondenti condizioni di congruenza, confermando i risultati trovati in precedenti Note. Si trovano inoltre le condizioni di congruenza e l'integrale generale delle equazioni indefinite di equilibrio per superfici che, pur non ammettendo spostamenti rigidi in sè, non sono del tutto generiche. A B. Finzi, nel suo 70^mo compleanno. Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei gruppi di ricerca matematica del C.N.R. Entrata in Redazione il 5 aprile 1970.     

Algebre senza base finita (II)

Sunto. Si finiscono di passare in rassegna i teoremi più importanti della teoria delle algebre a base finita, quale è esposta dalloScorza, lasciando cadere l'ipotesi della limitazione della base. Dei teoremi che restano validi si dà la dimostrazione solo quand'essa è necessariamente diversa da quella delloScorza: nel caso di teoremi la cui dimostrazione verte essenzialmente nella finitezza della base sono dati esempi di algebre per cui essi cadono in difetto. Estratto dalla tesi di laurea (Pisa, Scuola Normale Superiore, 1942).     

Su una questione di statica proposta dal Malfatti

Riassunto Si considera un corpo pesante appoggiato inm punti ad un piano orizzontale; è noto che le equazioni cardinali della statica, salvo nel casom≤3, non sono sufficienti, in generale, per determinare le reazioni Φ_i (i=1, 2, …,m) degli appoggi. Valendosi di analogia col casom=3Malfatti (1731–1807) ha proposto formule [4] per Φ_i valide per ognim. Queste formule soddisfano l'equazione per il risultante, ma non sembra che Malfatti verifichi quella per il momento, verifica che non risulta immediata. In questa nota, scritte le formule di Malfatti in forma moderna, si osserva che esse si possono suddividere in due parti ε₁ ed ε₂ (ε₂ fino a 4 lati), e si dimostra che i termini di ε₁ soddisfano per ognim anche l'equazione dei momenti mentre, per i termini di ε₂ (meno intuitivi dal punto di vista fisico) si è limitata la verifica al caso del pentagono e dell'esagono. In sostanza, almeno considerando i corpi rigidi, si conferma la intuizione di Malfatti.

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Summary We consider a heavy body leaned against a horizontal plane onm pointsA _i; it is known that the statics equations, except the casem≤3, are not sufficient in general to determine the reaction forces reazioni Φ_i(i=1,…,m) at pointsA _i. Generalizing the casem=3,Malfatti (1731–1807) have the formulas [4] to obtain ε_i for everym. He proves that these formulas verify the resultant equation, but he does not show clearly that the moment equation is fulfilled too. In this paper we write the Malfatti formulas in a modern form, and we observe that it is possible to decompose them in two parts ε₁ and ε₂ (ε₂ form→-4). Moreover we demonstrate that ε₁ satisfies also the moment equation for everym, while we show that ε_i is solution also of this equation when one consider the pentagon and hexagon cases.

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Ricerca svolta con i fondi del M.P.I.—quota 40%. Gruppo di ricerca: Problemi di evoluzione nei solidi e nei fluidi.     

Sui fondamenti della fluidodinamica relativistica

Sunto Si deducono le equazioni differenziali di moto della fluidodinamica relativistica, sulla base della dinamica del punto a massa di quiete variabile, e si mostra che da esse conseguono le equazioni differenziali implicanti il tensore energetico ordinariamente usate Successivamente si stabilisce la formula di trasformazione dell'energia interna. A Bruno Finzi nel suo70 ^mo compleanno. Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività déi Gruppi di ricerca matematici del Consiglio Nazionale delle Ricerche. Entrata in Redazione il 7 febbraio 1970.     

Soluzione approssimata di un'equazione integrale di Cantelli

Sunto. Nel presente lavoro si studia l'equazione integrale che il Prof.F. P. Cantelli stabili nella Sua memoria ? Sullo schema Lexiano della dispersione ipernormale ?, nel 1918 e pubblicata negli Atti della Accademia dei Lincei. Si pongono le basi di un metodo per la sua risoluzione, e se ne determina una soluzione approssimata che, nell'ambito delle pratiche applicazioni, assicura l'esistenza di una variabile casuale gaussianaY, la cui precisione dipendendo dal valore assunto da un'altra assegnata gaussianaX, sia tale che la variabile sommaX+Y sia pur essa gaussiana.