Pflüger rod with shear and extensibility

Summary The stability of a thin elastic rod loaded with non-conservative tangentially distributed and axial compressive force is analyzed. The axial compressive force has constant and periodic component. Also it is assumed that the rod axis is extensible and shear stress effects are taken into account. The in-plane vibrations and stability of the rod are analyzed. The critical load is also determined.

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Pflüger Stab mit Schubspannungsinfluß und dehnbarer Achse

Übersicht Es wird die Stabilität eines dünnen Stabes, der durch eine nichtkonservative Tangential-und eine Längskraft beansprucht wird, betrachtet. Die axiale Längskraft besitzt eine Konstante und eine periodische Komponente. Es wird angenommen, daß die Stabachse dehnbar ist; der Schubspannungseinfluß wird berücksichtigt. Es werden die ebenen Schwingungen und das Stabilitätsverhalten untersucht; ebenso wird die kritische Last ermittelt.

     

Nonlinear progressive waves in elastic materials

Summary Progressive harmonic waves in nonlinear elastic materials are generally considered as small disturbances superposed on a finite deformation. In this first approximation they are governed by essentially the same laws as in linear elasticity. In the present paper a second-order theory is developed which allows for nonlinear effects on progressive waves in a finitely deformed elastic material. The problem is investigated by means of a perturbation procedure using intrinsically two time scales. After providing the kinematical prerequisites a transport equation is derived which governs the distortion of the wave profile. A closedform solution is obtained for the case of a plane wave in a homogeneous medium. The influence of nonlinearity is closely related to the evolution of acceleration waves.

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Zusammenfassung Fortschreitende harmonische Wellen in nichtlinearen elastischen Stoffen werden meist als kleine Störungen betrachtet, die einer endlichen Verformung überlagert sind. In dieser ersten Näherung genügen sie im wesentlichen den gleichen Gesetzen wie in der linearen Elastizitätstheorie. In der vorliegenden Arbeit wird eine Theorie zweiter Ordnung entwickelt, die auch nichtlineare Effekte bei fortschreitenden Wellen in einem endlich verformten elastischen Material berücksichtigt. Das Problem wird mit Hilfe einer Störungsmethode behandelt, welche implizit zwei verschiedene Zeitmaßstäbe zuläßt. Nach Bereitstellung der kinematischen Hilfsmittel wird eine Transportgleichung hergeleitet, welche die Verzerrung des Wellenprofils beschreibt. Für ebene Wellen in einem homogenen Medium wird eine geschlossene Lösung angegeben. Der Einfluß der Nichtlinearität zeigt eine enge Verwandtschaft zur zeitlichen Entwicklung von Beschleunigungswellen.

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With 1 figure     

Zur Stabilität von Schraubenfedern

Übersicht Es wird eine spezielle Lösung der nichtlinearen Kirchhoff-Clebschschen Gleichungen für die Schraubenlinie unter Längskraft- und Torsionsbelastung angegeben. Dann wird die Stabilität dieser Lösung untersucht, indem nach der Existenz einer Nachbarlage gefragt wird. Dabei muß sichergestellt sein, daß die Belastung konservativ ist. Die numerischen Ergebnisse werden mit der Knickformel von Haringx-Ziegler verglichen.

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Summary In this paper a special solution of the nonlinear Kirchhof-Clebsch-equations is treated for helical springs under compression and twist. The stability of this solution is found considering the state in an infinitesimal neighbourhood. On such boundary conditions, that the problem is conservative, numerical results are compared with the formula of Haringx-Ziegler.

     

Über die Festigkeit von Kreiszylinderschalen mit nicht-achsensymmetrischer Belastung

Zusammenfassung Mit vorliegender Abhandlung kann das Problem der Kreiszylinderschale mit beliebiger kontinuierlicher Belastung, abgesehen von Knickbetrachtungen, als vollständig gelöst gelten. Neben der genauen Lösung geben die in Tabelle 3 zusammengestellten Formeln un Verein mit den Gleichungen für die Schale ohne Biegungswiderstand ein Mittel an die Hand, schnell und für die Praxis fast stets genau genug den Spannungszustand zu ermitteln. Längere Untersuchungen zeigen, daß die Nachgiebigkeit der Versteifungsringe bei achsensymmetrischer Belastung günstig, bei nicht achsensymmetrischer Belastung jedoch in mehr oder weniger hohem Grade ungünstig wirkt, je nachdem sich die Spantschwerlinie innerhalb oder außerhalb der Mittelfläche des Zylinders befindet. Es ist ratsam, Rohre und Kessel auf nicht zu schmaler Basis zu lagern. Bei Zylinderschalen großen Durchmessers wird man, wo es sich konstruktiv vertreten läßt, die Versteifungsringe außerhalb des umschlossenen Raumes anordnen.Zur vollständigen Beurteilung der durch Spante versteiften Zylinderschale ist noch die Kenntnis ihrer Knicksicherheit erforderlich. Die Lösung hat v. Mises gegeben 1. In einer noch unveröffentlichten Arbeit ist auch der Einfluß des Druckes auf die Zylinderböden untersucht. Ebendort beurteilt derselbe Verfasser die Knicksicherheit bei Berücksichtigung einer nicht-achsensymmetrischen Belastung. Forschungen über den kritischen Druck in einem begrenzten Schalenteil sind m. W. noch nicht veröffentlicht. J. Geckeler hat jedoch auf der Tagung der Gesellschaft für angewandte Mathematik und Mechanik anläßlich der Werkstoffschau in Berlin 1927 Mitteilung von theoretischen Untersuchungen über die Knicksicherheit beliebiger Schalen gemacht, die durch Versuche bestätigt sind.Karlsruher Dissertation. Referent: Prof. K. v. Sanden, Korreferent: Prof. Dr.-Ing. Th. Pöschl.     

Unsymmetrische Biegung der Kreisringplatte von quadratisch veränderlicher Steifigkeit

Zusammenfassung Die Differentialgleichung für die Durchbiegung einer Kreisplatte von quadratisch veränderlicher Steifigkeit wird mittels eines Ansatzes gelöst, denA. Clebsch bei der Kreisplatte von gleichbleibender Dicke angegeben hat. Für die beliebig belastete Platte führt die Anwendung der Methode der Variation der Konstanten zu ähnlichen übersichtlichen Ergebnissen wie bei der Platte von unveränderlicher Dicke. Als Anwendung wird zunächst die gegenseitige Verdrehung der eben bleibenden Randkreise der Ringplatte durch ein Drehmoment bis zum numerischen Ergebnis durchgerechnet. Weiter wird die Biegung infolge einer Einzelkraft am freien Inenrand bei eingespanntem Außenrand einschließlich der Bestimmung der Integrationskonstanten formelmäßig vollständig angegeben. Der Sonderfall axialsymmetrischer Biegung wird an zwei Beispielen mit konstanter Belastung bei verschiedenen Randbedingungen untersucht. Die Lösungen für die Kreisplatte wird auf die Berechnung von Sektorringplatten erweitert, wobei die Begrenzungsradien des Sektors entweder gelenkig gelagert oder frei verschieblich, aber geführt sein müssen.     

Kritische Drehzahlen gewisser Rotorformen unter Berücksichtigung der Kreiselwirkung

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit erfolgt die Berechnung der kritischen Drehzahlen von kontinuierlich besetzten Wellen konstanter Biegesteifigkeit mit einer Verallgemeinerung der von R. Grammel entwickelten Methode vermöge zweier miteinander äquivalenter Iterationsvorschriften: die eine bedient sich der Integrodifferentialgleichung, die zweite der Differentialgleichung samt Rand- und Übergangsbedingungen. Bei beiden Vorschriften wird die Wellenauslenkung ermittelt, die zu der mit einer linearen Kombination zulässiger Funktionen gebildeten Belastung gehört. Mit diesen Vorschriften und einer weiteren für die auftretenden Variationen geht man in die aus dem Hamiltonschen Prinzip folgende Variationsgleichung ein. Sinngemäße Übertragung der Grammelschen Methode führt zu einem linearen homogenen Gleichungssystem für die Unbekannten des Näherungsansatzes, dessen verschwindende Koeffizientendeterminante eine algebraische Gleichung für die Eigenwerte darstellt.Die charakteristische Eigenschaft der Methode von R. Grammel, obere Schranken — und zwar genauere als der Ritzsche Verfahren — zu liefern, tritt auch bei Berücksichtigung der Kreiselwirkung im Falle synchroner Präzession im Gegenlauf stets auf. Im Falle synchroner Präzession im Gleichlauf dagegen können die Näherungslösungen bei dem verallgemeinerten Grammelschen Verfahren z. T. oberhalb, z. T. unterhalb der entsprechenden strengen Lösungen liegen.Unter Beachtung des physikalisch-technischen Sachverhaltes lassen sich die hier abgeleiteten Näherungsgleichungen sowohl auf mehrfach gelagerte Wellen mit konstanter Biegesteifigkeit und kontinuierlicher Scheibenverteilung als auch auf Wellen (zweiund mehrfach gelagert) mit veränderlicher Biegesteifigkeit und Einzelscheiben übertragen. Das sich im zuletzt genannten Fall einstellende Endergebnis unterscheidet sich nur unwesentlich von demjenigen der Methode von A. Traenkle 4.Eine Fortsetzung dieser Arbeit bringt die Durchrechnung eines Zahlenbeispiels.Auszug aus der Frankfurter Dissertation. 1. Referent Prof. Dr.-Ing. K. Karas, 2. Referent Prof. Dr. R. Moufang.     

Instability of a rotating disk with a support under the action of a static in-plane load

Summary Vibrations of a rotating disk with a clamped inner circle, a free outer periphery and an elastic support at one point are analyzed under the action of a static in-plane load. A solution of the equation of motion is described in form of series by orthogonal eigenfunctions of a non-rotating disk with the same boundary conditions. Relations between natural frequencies and angular velocity and then those between regions of instability of vibrations and the magnitude of static load are shown.

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Instabilität einer drehenden Scheibe mit einer Stütze unter der Wirkung einer ebenen statischen Belastung

Übersicht Schwingungen einer drehenden Scheibe mit einem befestigten inneren Umfang, einem freien äußeren Umfang und einer elastischen Stütze in einem Punkt werden unter der Wirkung einer ebenen statischen Belastung analysiert. Eine Lösung der Bewegungsgleichung wird in der Form von Reihen mit orthogonalen Eigenfunktionen einer nicht drehenden Scheibe mit den gleichen Randbedingungen beschrieben. Beziehungen zwischen Eigenfrequenzen und der Drehgeschwindigkeit sowie zwischen instabilen Bereichen und der Größe der statischen Belastung werden gezeigt.

     

Stability of Ziegler's pendulum with eccentric load and load-dependent stiffness

Summary The stability of Ziegler's pendulum with eccentric load and load-dependent stiffness is considered. It is shown that the flutter load is affected by a support that stiffens as it is compressed, and by eccentricity of the tangential load.

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Stabilität eines Zieglerschen Stabes mit exzentrischen Belastungen und lastabhängiger Steifigkeit

Übersicht Es wird die Stabilität eines Zieglerschen Stabes untersucht, und zwar unter einer exzentischen Belastung und mit einer lastabhängigen Steifigkeit. Es hat sich gezeigt, daß der Flatterwert der Last, von der Art der Befestigung beeinflußt wird, die steifer wird unter einer zunehmenden Druckbelastung und mit anwachsender Exzentrizität der Tangentiallast.

     

Beitrag zur Knickung der Rechteckplatte von quadratisch veränderlicher Steifigkeit

Zusammenfassung Ausgehend von der Differentialgleichung der Mittelebene der gebogenen Platte von veränderlicher Dicke wird die Knickung einer Rechteckplatte von quadratisch veränderlicher Steifigkeit in einer Richtung bei unnachgiebiger und gelenkiger Auflagerung aller Ränder untersucht. Als Knickbedingung ergibt sich cine aus Zylinderfunktionen mit imaginärem Argument gebildete Gleichung. Die Ermittlung der Knicklast läuft auf die Bestimmung der Nullstellen dieser Gleichung hinaus. Für eine angenommene Druckbelastung längs der Rändery=konst. wird die zugchörige kritische Knickspannung längs der Ränderx=konst. in drei Fällen ermittelt. Bei fehlender Belastung der Rändery=konst. wird ein Vergleich des Materialaufwandes mit der in gleicher Weise belasteten Platte von unveränderlicher Dicke durchgeführt. In diesem Fall wird ferner die Lösung für die Durchbiegung der Platte angegeben, womit die Untersuchung auch auf nicht Naviersche Randbedingungen erweitert werden kann. In den durchgerechneten Beispielen wurde der Druck längs der Rändery=konst. so klein angenommen, daß der Parameter der Zylinderfunktionen reell blieb. Bei größerem Druck wird der Parameter indessen imaginär. Da für Zylinderfunktionen mit imaginärem Parameter und Argument noch keine Tabellen gerechnet sind, muß die Ausdehnung der Arbeit auf solche Fälle einer späteren Mitteilung vorbehalten bleiben.     

Modeling and experimental analysis of an efficient absorber for air dehumidification

The performance of an air dehumidifier composed of a tube bank sprinkled with a LiCl/H₂O hygroscopic solution and cooled inside by water is studied under steady state conditions. An one-dimensional model simulating also the case of solution recirculation is presented together with the experimental procedure for the evaluation of the mass transfer coefficient for the apparatus. A series of tests on an experimental absorber validates the model. The behaviour of the apparatus together with a simplified parametric study are then presented for a full scale absorber with air and solution flowing both in countercurrent and in cocurrent. The external parameters controlling the apparatus performance are also defined.

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Mathematische Simulation und experimentelle Analysen eines leistungsfähigen Absorptionsgerätes für die Luftentfeuchtung

Zusammenfassung Es wird das Verhalten eines Luftentfeuchters bei Bedingungen stationären Zustandes studiert, bestehend aus einem versetzt angeordneten Rohrbündel mit einer hygroskopischen Lösung aus LiCl/H₂O und im Innern mit Wasser gekühlt. Es wird sowohl ein eindimensionales Modell vorgestellt, welches in der Lage ist, auch den Fall von Rezirkulation der Lösung zu simulieren, als auch ein experimentelles Verfahren für die Beurteilung des Koeffizienten des Stoffüberganges des Gerätes.Eine Serie von Prüfungen eines experimentellen Absorptionsgerätes bestätigen das Modell. Für den Fall eines Absorptionsgerätes in natürlichem Maßstab wird die Studie über das Verhalten des Gerätes zusammen mit einer vereinfachten Parameterisierung vorgestellt, sowohl für Luft und Lösung in Gegenals auch in Gleichstrom. Die äußeren Parameter, welche die Leistung des Gerätes kontrollieren, werden festgelegt.

     

Numerical method for elastic-plastic waves in cracked solids,Part 1: anti-plane shear problem

Summary The paper deals with a numerical method combining a characteristic-based scheme and Zwas' method in order to solve the hyperbolic PDE's of elastic and elastic-plastic anti-plane shear waves in two space dimensions. First, the need of new physically reasonable numerical methods for stress waves in solids is demonstrated by numerical applications to problems with impulsive loading, where defects of some standard methods are shown. Then, the new secon-dorder accurate method is derived. A suitable procedure to model the elastic-plastic behaviour of materials by simple waves is included. The capability of the methods is demonstrated by application to several examples. Additionally, for comparison with numerical results, a similarity solution for the semi-infinite crack undergoing an elastic-plastic shock loading is derived in the appendix.

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Numerisches Verfahren für elastisch-plastische Wellen in gerissenen Festkörpern, Teil 1: Das dynamische Querschubproblem

Übersicht In der Arbeit wird eine numerische Methode vorgestellt, in der das Charakteristiken erfahren mit der Methode von Zwas kombiniert wurde, um die hyperbolischen, partiellen Differentialgleichungen der elastisch-plastischen Wellenausbreitung für das dynamische Querschubproblem zu lösen. Um die Notwendigkeit neuer, physikalisch brauchbarer Methoden für Spannungswellenprobleme zu begründen, werden zunächst an Beispielen typische Schwächen einiger Standardmethoden gezeigt. Danach wird die neue Methode dargestellt. Dabei wird auch ein geeigneter Weg im Spannungsraum angegeben, um elastisch-plastische Wellen durch sog. einfache Wellen zu beschreiben. Die Fähigkeiten der Methode werden an einigen Beispielen überprüft. Ferner wird im Anhang, um mit numerischen Ergebnissen zu vergleichen, eine Ähnlichkeitslösung hergeleitet, die für den halbunendlichen Riß bei stoßartig aufgebrachter Belastung und Beanspruchung bis in den elastisch-plastischen Bereich gilt.

     

Stiffness and damping coefficients of rubber

Summary An analytical-experimental study has been carried out for the estimation of the stiffness and damping coefficients of rubber. A given specimen of a rubber pad (Neoprene GN) in the shape of a solid circular cylinder is subjected to a vibrating force created by an electrodynamic shaker together with a vibration exciter.In the analytical investigation, a mathematical model is developed from which the stiffness and damping coefficients for rubber as well as the damped energy can be evaluated. From the stimulated mathematical model together with the experimental data, the stiffness and damping coefficients could be estimated. Subsequently, the solution for the heat conduction equation describing the temperature field in the rubber speciemen can be formulated. The analytical behaviour of the temperature is found to agree fairly well with the measured temperatures at various locations inside the rubber specimen. This renders the simulating model to be significant with potential for further extension.

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Steiügkeits- und Dämpfungskoeffizienten von Gummi

Übersicht In einer analytisch-experimentellen Arbeit wird das Verhalten einer zylindrischen Probe aus Gummi unter pulsierender Belastung untersucht. Mit Hilfe eines mathematischen Modells und experimenteller Daten können die Steifigkeits- und Dämpfungsparameter von Gummi bestimmt werden. Anschließend wird die Lösung der Wärmeleitungsgleichung für das Temperaturfeld in der Probe angegeben. Die analytische Lösung stimmt mit den Meßwerten gut überein.

     

Eine Anmerkung zur Stabilität linear-viskoelastischer rotierender Wellen

Übersicht Die Stabilität rotierender Wellen wird mit einer Störungsrechnung untersucht und die Ergebnisse für ein Voigt-Kelvin-Material und einen linear-viskoelastischen Werkstoff miteinander verglichen.Zusammenfassung Die Stabilitätsaussagen für Rotoren mit linearer innerer und äußerer Dämpfung hängen vom zugrunde gelegten Werkstoffgesetz ab. In dieser Arbeit werden für Wellen aus linear-viskoelastischem Werkstoff nach Einführung von inneren Variablen mit einer Störungsrechnung Stabilitätskriterien abgeleitet. Sie verhalten sich stabiler als Wellen aus viskos gedämpftem Material. Zwei Beispiele demonstrieren die durch das Werkstoffgesetz bedingten Unterschiede.

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A remark on the stability of linear-viscoelastic rotating shafts

Summary The stability of rotating shafts is investigated by means of a perturbation technique and the results assuming a Voigt-Kelvin-material and a linear-viscoelastic material compared.

     

Rheological simulation of synovial fluid by a synthetic macromolecular solution

Summary The flow characteristics of a series of potential synthetic synovial fluids have been examined. These were mainly solutions of polyvinyl pyrrolidone in water. The techniques leading to the production of a fluid with flow properties very similar to normal synovial are described.The apparent shear elasticity and relaxation time data of the synthetic fluid as compared to normal fluid are discussed in terms of the relative importance of intermolecular entanglement and intermolecular complexing in the 2 fluids.

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Zusammenfassung Die Synovialflüssigkeit von normalen menschlichen Gelenken zeigt ein charakteristisches Theologisches Verhalten, das stark verändert ist, wenn das Gelenk von rheumatischer Arthritis befallen ist. Um die Möglichkeit der Substitution mit einer synthetischen Gelenkflüssigkeit im krankhaften Gelenk zu bewerten, mit dem Ziel die Symptome zu erleichtern und den Prozeß der Gelenkzerstörung zu verzögern, wurde besonders Wert darauf gelegt, eine Polymerlösung zu finden mit ähnlichen Theologischen Eigenschaften wie eine normale Synovialflüssigkeit. Es wird angenommen, daß das besondere rheologische Verhalten einer normalen Synovialflüssigkeit (hohe Viskosität und Elastizität, ausgeprägtes nicht-Newtonsches Verhalten und Thixotropie) von Bedeutung für das Schmieren von Gelenken ist, obwohl ihre genaue Bedeutung im Bezug auf Reibung noch nicht gesichert ist und augenblicklich diskutiert wird.Fließexperimente wurden mit einemWeissenberg-Rheogoniometer usgeführt und mit einem UV-Schreiber registriert, um genaue Fließ-Spannungswerte zu erhalten.In dieser Abhandlung werden Ergebnisse über das Fließverhalten verschiedener möglicher synthetischer Flüssigkeiten veröffentlicht einschließlich der, die schließlich gewählt wurde: eine Lösung von umgewandeltem PVP (Polyvinylpyrrolidon). Dies ist ein wasserlöslicher hochmolekularer Stoff, der sich als physiologisch verträglich und nicht-toxisch gezeigt hat. Wäßrige 10%ige Lösungen mit hochmolekularem PVP ha ben ein Viskositätsverhalten, das bei niedrigerer Schubbel astung der normalen Synovialflüssigkeit ähnlich ist, aber nichtthixotropes und nur leicht nicht-Newtonsches und elastisches Verhalten zeigt. Im Labor hergestelltes hochgereinigtes PVP ergab ein Polymerisat, das in Lösung ein ähnliches Verhalten zeigte wie Handelsmaterial. Bestrahlung jedoch mit einer kritischen Dosis von 1,5 mrad in einem UCR 100 Reaktor erzeugte ein Polymerisat, das in 10%iger wäßriger Lösung ein Fließverhalten zeigte, das der normalen Synovialflüssigkeit sehr ähnlich war.Diese Ergebnisse werden im Detail dargelegt: besonders die Eigenschaften unter Höchstbelastung, die bei Beginn einer Schubbelastung in tangentialer als auch in normaler Richtung auftreten. Die Wirkung von anderen Bestrahlungsdosen auf das Theologische Verhalten wird auch beschrieben. Die Scher-Resistenz der synthetischen Flüssigkeit wurde mit einem Rheogoniometer und einem Gelenk-Simulator getestet und die Schmiereigenschaften mit der normalen Synovialflüssigkeit verglichen.Die Bedeutung der Theologischen Ergebnisse wird im Licht der neuen Theorien für Lösungen von Polymeren, die einem Scherfließen unterworfen sind, diskutiert, und mögliche Anwendungen auf andere biologische Flüssigkeitssysteme werden vorgeschlagen.

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Paper presented to the British Society of Rheology Conference on Rheology in Medicine and Pharmacy, London, April 14–15, 1970.     

Druckverlustminderungen in strömungen durch hochpolymere additive: Klärung einiger noch offener fragen

Übersicht Die vorliegende Arbeit faßt Ergebnisse von experimentellen Untersuchungen zusammen, welehe durchgeführt wurden, um die reibungsmindernde Wirkung von Polymeren quantitativ zu bestimmen. Für die Durchführung der Untersuchungen sind zwei Meßeinrichtungen erstellt worden, die in der Arbeit beschrieben sind. Durch ihren Einsatz gelang es, die reibungsmindernde Wirkung von Polymeradditiven zu bestimmen und ihre mechanische Degradation sowie auch ihre Chemie-verursachte, bei erhöhten Temperaturen beschleunigt auftretende Degradation zu quantifizieren.Es werden theoretische Überlegungen zusammengefaßt, welche die mit einer Temperaturänderung auftretende Variation des Einsatzpunktes der Reibungsminderung zu erläutern erlauben. Messungen der kritischen Schubspannungsgeschwindigkeit werden angegeben, bei deren Überschreitung die reibungsmindernde Wirkung der Polymeradditive reduziert wird. Die experimentell gefundene Abhängigkeit dieser Größe vom Rohrdurchmesser und der Polymerkonzentration der Lösung wird aufgezeigt.Die für den praktischen Einsatz wichtige chemisch-thermische und mechanische Degradation der Reibungsminderung durch Polymeradditive wird quantitativ untersucht. Stabilisierende Zusätze werden hinsichtlich ihrer Wirkung im Rahmen von Meßreihen erfaßt.

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Drag reduction in flows by polymer additives: Clarification of some still open questions

Summary In this paper experimental results for drag reduction in turbulent pipe flows are reported. Drag reduction was achieved by the addition of high molecular weight polymers. The degradation of these polymers (chemically) thermally as well as mechanically was investigated and the effect of stabilizers was studied.Special emphasis is devoted to the effect of temperature on the onset of drag reduction. The influence of pipe diameter and of polymeric concentration on the critical wall shear stress (beyond which drag reduction ceases to exist) is deduced.

     

Thin plate bending problem of partially bonded bi-material strips

Summary A general solution to the thin plate bending problem of partially bonded bi-material strips is obtained. The two strips are symmetrically bonded along a finite straight interface with debondings at both sides. Complex stress function approach together with the rational mapping function technique are utilized to obtain the general solution. A concentrated bending moment applied at eachtip of the strip is considered. Distributions of bending and torsional moments along the boundaries of the two strips as well as the Stress Intensity of Debonding (SID) at the debonding tips are demonstrated for different states of debonding lengths, material constants and rigidity ratios.

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Das Biegeverhalten dünner Platten bei teilweise verbundenen Bi-Materialstreifen

Übersicht Eine allgemein praktikable Lösung für das Problem der Biegung dünner Platten bei teilweise verbundenen Bi-Materialstreifen konnte gefunden werden. Die beiden Streifen werden dabei auf einer gegebenen Länge einer geraden Berührungsfläche verbunden, wobei symmetrisch zueinander am Ende einer jeden Seite zwei Stellen unverbunden bleiben. Zum Erhalt einer allgemein gültigen Lösung wird hierzu der Weg über komplexe Belastungsfunktionen gemeinsam mit geeigneten Aufzeichnungsfunktionstechniken beschritten. Dabei wird ein konzentriertes Biegemoment, das an beiden Streifenenden ansetzt, angenommen. Die Verteilung der Verbiegungs- und Verdrehungsmomente entlang der Begrenzungslinien beider Streifen, sowie auch die Größe der Anspannung an den unverbundenen Stellen (SID) für die beiden nicht verbundenen Enden, wird für verschiedene Fälle von unverbundenen Längen, Materialkonstanten und Steifigkeitsverhältnissen gezeigt.

     

Die rheologische Zustandsgleichung

Zusammenfassung In der Einleitung wird die rheologische Zustandsgleichung — d. h. die stoff-spezifische Beziehung zwischen den nicht-starren Bewegungen eines Körpers und den damit in kausalem Zusammenhang stehenden Kräften — als der zentrale Gegenstand der Rheologie bestimmt und anschließend die Rheologie in zwei Hauptgebiete — phänomenologische und statistische Rheologie — aufgegliedert.Der erste Teil behandelt die phänomenologische Theorie (Makro-Rheologie) und umreißt nach einer kurzen kritischen Behandlung der linearen Theorien die allgemeine nicht-lineare Theorie der rheologischen Körper. Nacheinander werden die Konsequenzen des Grundpostulats der Dimensionsanalysis, der Forderung der Invarianz der kinematischen Größen gegen starre Bewegungen und der Isotropiebedingung analysiert und die Ergebnisse am Beispiel der Theorie des isotropen elastischen Körpers, der Theorie der strukturviskosen Flüssigkeit und insbesondere der quasi-stationären Theorie der allgemeinen Flüssigkeit erläutert. Dabei werden zum Schluß auch einige Kriterien für verschiedene viskosimetrische Quereffekte abgeleitet.Im zweiten Teil wird der Abriß einer allgemeinen statistischen Theorie (Mikro-Rheologie) verdünnter Lösungen, Suspensionen und Emulsiopen gegeben. Die hierin enthaltenen hydrodynamischen und statischen Probleme werden analysiert und es wird ein Störungsverfahren zur Lösung des letzteren angegeben, welches zugleich eine Relaxationstheorie enthält. Diese Theorie wird anschließend am Beispiel einer Suspension elastischer Hanteln im einzelnen durchgeführt, wobei die drei Spezialfälle: starre, hart-elastische und weichelastische Hanteln sowohl bezüglich ihres quasi-stationären als auch ihres Relaxationsverhaltens eingehend diskutiert werden. Es ergeben sich dabei bemerkenswerte Unterschiede, welche über das spezielle Modell hinaus für eine zumindest qualitative Kennzeichnung der Suspensionen von Teilchen mit nur permanenter, nur induzierter und schließlich mit sowohl permanenter als auch induzierter Formanisotropie von Bedeutung sind.Vorgetragen auf der gemeinsamen Tagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft e. V. und der Deutschen Rheologen-Vereinigung e. V. in Berlin am 24. 10. 1956.     

Einfluß der Dichteanomalie von Wasser auf die freie Konvektion in einem flachen Rechteckbehälter mit unterschiedlich beheizten Stirnflächen

Zusammenfassung Die Grundgleichungen für den Wärmetransport durch freie Konvektion von Wasser in einem flachen Behälter werden mit Hilfe der angepaßten asymptotischen Entwicklung analytisch gelöst. Durch Einführung einer sinnvoll definierten Referenzgeschwindigkeit erhält man auch für den Fall, daß die Krümmung der Dichte-Temperatur-Funktion infolge des Dichtemaximums von Wasser bei 3,98 °C berücksichtigt werden muß, eine asymptotische Lösung. Diese Lösung wird als erweiterte Boussinesq-Lösung bezeichnet, da lediglich die Dichte im Volumenkraftterm der Bewegungsgleichung durch eine quadratische Temperaturfunktion berücksichtigt, in allen übrigen Termen aber als konstant betrachtet wird.

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Effect of density-anomaly of water on free convection in a shallow cavity with differentially heated end-walls

The basic equations for the heat transfer by free convection of water in a shallow cavity with differentially heated end-walls can be solved by the aid of the method of matched asymptotic expansion. By setting up an ingenious defined reference velocity one obtains an asymptotic solution, even if the curvature of the density-temperature-function must be taken into account because of the density maximum of water at 3.98 °C. This solution is called extended Boussinesq-solution because only the density in the volume force term of the momentum equation is taken into account by a quadratic temperature function whereas in all other terms it is considered as constant.

     

Notes on plastic reloading zone in the asymptotic analysis of elastic-plastic crack extension

Summary The asymptotic structures of near-tip stress and deformation fields are studied for steady-state crack extension in elastic-plastic solids. The condition for the existence of a plastic reloading zone is formulated. If a plastic reloading zone is to exist in hardening materials, the effective stress must become unbounded as the crack flank is approached. It is shown explicitly in the case of mode III that solutions with logarithmic singularity produce negative plastic dissipation in the plastic reloading sector.

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Über die rückplastizierte Zone bei asymptotischen Lösungen der elastisch-plastischen Rißausbreitung

Übersicht Untersucht wird die asymptotische Form von rißspitzennahen Spannungs- und Verformungsfeldern bei der stationären Rißausbreitung in elastisch-plastischen Körpern. Die Bedingung für die Existenz einer rückplastizierten Zone wird formuliert. Wenn eine solche Zone bei verfestigendem Material vorhanden sein soll, muß die Vergleichsspannung bei Annäherung an die Rißflanke unendlich werden. Es wird gezeigt, daß bei Mode III die Lösungen mit logarithmischer Singularität negative Dissipation in der rückplastizierten Zone bedeuten würden.

     

Beitrag zur Berechnung der hyperbolischen Paraboloidschale

Zusammenfassung Das hyperbolische Paraboloid z=c/a² x y wird nach der Membran-theorie für eine Reihe von Belastungen mit Hilfe einer Spannungsfunktion berechnet. Für die Grundrißprojektionen der Membrankräfte, bezogen auf die Einheit der Grundrißfläche, werden geschlossene Ausdrücke angeführt, aus denen die wahre Größe der Membrankräfte berechnet werden kann.Für Windlast wird der Neigungswinkel der Windrichtung gegen die Tangentialebene im allgemeinen Flächenpunkte angegeben und daraus die Belastung senkrecht zur Fläche festgestellt, welche, in die drei Achsenkomponenten zerlegt, die Schubkraft, und durch Differentiation und Integration die achsenparallelen Normalkräfte liefert.Ähnlich wird bei hydrostatischer und waagerechter Belastung vorgegangen; weiter wird eine Reihe senkrechter Belastungen behandelt (Keil-, Trapez-, Parabel- und windschiefe Belastung, sowie gleichförmige Belastung der Oberfläche und des Grundrisses). Auch wird die Berechnung der Schale mit erhöhten Giebeln gezeigt.