利用差分多项式求sum from k=1 to n(f(k))

对于自然数无的多项式f(lc)二。*砂十。。‘,:沪一’月一十。:无+。。,求习f(劝的常用方法是认淤而〔(·十”·(一‘”‘’既一饥一卜1)一劣(劣一1)…(x一叨)〕将之转化为求自然数的方幂和,即求出艺‘ 拓=1习悬’,…,艺无。,并将所得的结果代人下式:尤二飞招二工艺f(劝、。习k爪一卜。”。一,习俨”+.二韶二l儿二l一无二l \十。:习‘十习a0,并算出结果. 尤=1招漓1 因此,可以利用文〔习、〔2〕、【3〕,解决求艺了(劝问题.鑫=1 事实上,直接求和也能奏效.文仁4〕、〔5」已经给出了两种不同的方法.在此,笔者拟用差分多项式,解决这个求和问题. 定…     

用求和矩阵求sum from k=1 to n(K~m)

若将上面六个关于n的多项式的系数,依次作为矩阵的第一列、第二列、…、第六列,缺元素处补以0,则构成一个矩阵     

用待定系数法求sum from k=1 to n(f(k)q~(k-1))

设f(x)=a_0+a_1x+a_2x~2_…+a_mx~m,其中a_0,a_1,…,a_m为常数,a_m(?)0,m≥0。定理1 若q=1,则存在常数项为零的m+1次多项式g(x),使得     

含sum from k=1 to n f(k/n)的不等式的一种证法

利用定积分的定义及其几何意义可证明一些含 ∑nk=1f kn 的不等式     

不等式sum from k=1 to n(x_k~2/y_k)≥(sum from k=1 to n (x_k))~2/(sum from k=1 to n (y_k))的应用

本文试图通过一串竟赛题谈一谈(*)的广泛应用。这些竞赛题虽有一定难度,但只要利用不等式(*)来证明,则问题十分简捷合理,新     

关于sum from k=1 to ∞ f(k)x~(k-1)计算的矩阵方法

本文将幂级数 ∑∞k=1f (k) xk- 1的计算转化为求解矩阵方程 Aβ =α,使计算非常简单和有效 .     

求sum from i=1 to n(f(x_i))的值的方法

有些函数值的求和问题,表面上看,与周期性、等差性、等比性无关,但事实上隐含着周期性、等差性、等比性,一旦将其周期性、等差性、等比性揭示,问题便迎刃而解.笔者就从何处揭示这些隐含的特性,从哪里入手找到撬动这些特性的支点,作一些探析,以飨读者.     

矩阵方程sum from k=0 to r( )A~kXB~k=F的解

讨论矩阵方程sum from k=0 to r( )A~kXB~k=F存在惟一解的充要条件,并给出了两种迭代求解法.     

关于(dy)/(dx)=(sum a_iy~ix~(n-i) from 0 to n)/(sum b_iy~ix~(n-i) from 0 to n)的积分曲线(Ⅰ)

李森林讨论了本文所论微分方程积分曲线不同类型的数目。本文由与不变直线斜率相应的根之重数直接表出积分曲线的“型列”及奇点的指数,并顺便用所得结果给[1]中定理2.1,2.2,2.3以简捷的新证法。     

不等式sum from k=1 to n(1/(a_k))≥(n~2/(sum from k=1 to n))(a_k∈R~+)的应用

近年来 ,在国内外数学竞赛及《数学通报》数学问题中 ,常出现一些高难度的分式不等式的证明问题 .这些问题若用柯西不等式的一个推论 nk =11ak ≥ n2 nk =1ak(ak ∈R+) ,(注 )可巧妙地得以证明 ,而且方法通俗易懂 .注 :( 1 )文中英文字母都是小写的( 2 )字母右下角的数字为下标( 3)字母右上角的数字都是幂指数题 1　设正数a1 ,a2 ,… ,an 之和为S .求证 nk =1akS-ak ≥ nn- 1 (n≥ 2 )( 1 976年英国竞赛题 )证明　 nk=1akS -ak = nk=1( akS -ak + 1 ) -n = nk=1SS -ak-n=S nk=11S -ak-n≥S· n2nS- (a1 +a2 +… +an) -n= n2n- 1 -n…     

和式sum from k=o to n(μ~kf(k))的发生函数算法

利用普通幂级数发生函数方法,通过对发生函数进行xD算子,得到和式∑k=0μkf(k)的计算公式,并计算该类和式.     

椭圆型方程sum from k=0 to n (a_kΔ~kφ=0)的解及其在力学上的应用

本文利用复数域内分离变量的方法,详细地讨论了变形体力学中经常遇到的一类椭圆型方程的求解方法,给出了解的一般表示,这种表示可用来逼近具体问题的边界条件.为说明所得结果的运用,文中举出了二个具体力学实例.     

ON THE DIOPHANTINE EQUATION sum from i=0 to k 1/x_i=a/n

In this paper,the author proves the following result:Let E_(a,k)(N)denote the number of natural numbers n≤N for which equationis insoluble in positive integers x_i(i=0,1,…,k).ThenE_(a,k)(N)N exp{-C(log N)~(1-(1/(1/k 1)))}where the implied constant depends on a and k.     

lim(n→∞) sum from i=1 to n g(,n)的讨论

<正> 关于的计算问题,通常采用夹心法及化为定积分来计算。为对此类极限进行探讨,我们以如下特例考虑:     

欧拉公式sum from k=1 to n 1/k=lnn+c+r_n(r_n→0)中余项r_n的估计

<正> 本文首先推导出不等式、由不等式(1)推导出r_n的估计式为:从这一结果可推出     

integral from n=α to +∞(f(x)dx)收敛的一个必要条件

本文首先给出integral from a to +∞f(x)dx收敛≠lim_(+∞) f(x)=0的一更强的例子,然后给出一个与级数收敛的必要条件类似的,integral from a to +∞f(x)dx收敛的必要条件。在许多工科高等数学教材中,广义积分敛散性的判别,一般都在级数中讨论,因而一部分同学和个别教师往往把级数的一些重要性质,直接推广到广义积分integral from a to +∞f(x)dx上。最典型的错误是把级数收敛的必要条件推广到广义积分上,即integral from a to +∞f(x)dx收敛?lim_(?+∞)f(x)=0.这类错误较为普遍。     

integral from n=a to b(f(x)dx)=integral from n=a to b(f(b a-x)dx)的应用

本文首先推荐一个在定积分范围内有显著功效的公式,然后利用它推出一系列公式.最后分类举例介绍它们的应用.若再与其它方法配合使用,则其应用范围将更广而且简捷迅速.     

sum from (k=1 to n)(K~p)(p=1,2,3,…)是如何求出的?

nk=1Kp( p=1 ,2 ,3 ,… )表示自然数的幂和 ,它实际上是一类高阶等差级数问题 ,在历史上曾引起不同民族、不同时代和不同地区众多数学家的垂顾。随着数学知识的不断丰富和发展 ,关于自然数的幂和问题也由简单到复杂 ,其求解方法经历了一个从特殊到一般的过程。一、中西方早期关于自然数幂和的求法最简单的自然数幂和是 :1 +2 +3 +… +n?对于此问题 ,人们往往津津乐道于德国 1 8世纪数学家高斯 ( Gauss,1 777— 1 855)在小时候所采用的首尾两项依次相加求前 1 0 0项和的方法、技巧 :1 +2 +3 +… +99+1 0 0 =1 +1 0 0 +2 +99+3 +98+… +50 +5…     

关于(sum from i=1 to n a_ib_i)~2下限值的探讨

对a、b两组实数a_i,b_i(i=1,2…,n),切贝雪夫不等式给出sum from(a_ib_i)(本文略去求和上、下限)上下限: 若a_i,b_i同序,有sum from(a_ib_i)≥1/n(sum from(a_i))(sum from(b_i));若a_i,b_i逆序,有sum from(a_ib_i)≤1/n(sum from(a_i))(sum from(b_i)),柯西不等式给出了(sum from(a_ib_i))~2的上限值     

构造函数f(x)=sum from i=1 to n()(a_ix-b_i)~2证明不等式

函数 ｆ(ｘ) =∑ｎｉ=1(ａｉｘ -ｂｉ) 2 =(ａ1ｘ -ｂ1) 2 + (ａ2 ｘ -ｂ2 ) 2 +… + (ａｎｘ -ｂｎ) 2 是关于ｘ的二次函数且具有特点 :①二次项系数大于 0 ;②函数值 ｆ(ｘ)≥ 0 .则有其判别式Δ≤0 .某些不等式证明题 ,若能根据已知条件和结论的特点 ,巧构函数 ｆ(ｘ) =∑ｎｉ=1(ａｉｘ -ｂｉ) 2 ,从而利用 ｆ(ｘ)≥ 0 ,Δ≤ 0可轻松获解 .例 1　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ且ａ + 2ｂ + 3ｃ=6 ,求证 :ａ2 + 2ｂ2 + 3ｃ2 ≥ 6 .证　构造函数 ｆ(ｘ) =(ａｘ - 1 ) 2 + ( 2·ｂｘ - 2 ) 2 + ( 3ｃｘ - 3) 2 =(ａ2 + 2ｂ2 + 3ｃ2 )·ｘ2 - 1 2ｘ + 6…