反函数函数的一种几何解释

设函数 y=f ( x)的反函数存在 ,且 f′( x)≠ 0 ,则其反函数 x=f- 1( y) (或记 x=φ( y) ,此处φ=f- 1)的导数也存在。在同一坐标系中函数与其反函数的图象是同一条曲线 ,如下图。关于函数 y=f ( x)在点 x处的导数 f′( x) ,其几何意义是曲线 y=f( x)在点 ( x,y)处的切线 l关于 x轴的斜率 ,从而有 dydx= f′( x) =tanα,其中α是切线 l与 x轴正向的夹角 ,同时记切线与 y轴正向夹角为 β。关于函数 x=f- 1( y) ( x=φ( y) ) ,在相应点 y处的导数为 φ′( y) ,其几何意义是曲线 x=f- 1( y) ( x=φ( y) )在点 ( x,y)处的切线 l,关于 y轴正向的…     

谈过任一点作三次曲线切线的条数问题

2007全国卷(Ⅱ)22题:已知函数f(x)=x3-x,(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程;(Ⅱ)设a>0,如果过点N(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-a相似文献   

一道最值问题的发散思维

例求曲线C:槡x+槡y=1上的点到原点的距离的最小值.分析一在使用基本不等式求最值时,凑定值是解题的重要一环.本题中虽然有定值"1",但与曲线上的点P(x,y)到原点的距离x2槡+y2所要求的定值无直接的关系.可以考虑用"中间量"x+y来联系槡x+槡y与x2+y2.解法一设点P(x,y)是曲线C上的任意一点,则1=(槡x+槡y)2=x+y+2槡xy,结合基本     

一道例题的补正

同济大学编《高等数学》(第四版 )上册第 1 0 3— 1 0 4页有一道例 8“求曲线 y=x32 的通过点 (5,1 1 )的切线方程。”书中的解过程为 :“解 :设节点为 (x0 ,y0 ) ,则切线的斜率为y′| x=x0 =32 x | x=x0 =32 x0于是所求切线方程可设为y -y0 =32 x0 (x -x0 ) (1 )切点 (x0 ,y0 )在曲线 y=x32 上 ,故有y0 =x032 (2 )切线 (1 )通过点 (5,1 1 ) ,故有1 1 -y0 =32 x0 (5-x0 ) (3)　　求解方程 (2 )及 (3)组成的方程组的解为 x0 =4,y0 =8,代入 (1 )式并化简 ,即得所求切线方程为3x -y -4 =0 .”　　该题是过曲线外一点求切线问题。显然 ,过曲线 y…     

一道高考题的拓展

题　设曲线 C的方程是 y =x3- x,将曲线 C沿 x轴、y轴正向分别平行移动 t、s单位长度后得曲线 C1 .( )写出曲线 C1 的方程 ;( )证明曲线 C与 C1 关于点 A( t2 ,s2 )对称 ;( )如果曲线 C与 C1 有且仅有一个公共点 ,证明 :s=t34- t且 t≠ 0 .这是 1 998年全国高考第 2 4题 ,因为曲线C是奇函数 ,将该题拓展 .拓展 1　设曲线 C的方程是 y =f ( x) ,且f( x)为奇函数 ,将曲线 C沿 x轴、y轴正向分别平行移动 t、s单位长度后得曲线 C1 .( )证明曲线 C与 C1 关于点 A( t2 ,s2 )对称 ;( )如果曲线 C与 C1 有且仅有一个公共点 ,证明 :s=2 …     

用两圆公共弦的方程解题

解析几何课本 P6 1第 1 1题 :求经过两条曲线 x2 y2 3x - y =0和 3x2 3y2 2 x y =0交点的直线方程 .此题安排在曲线与方程这一节 ,我们认为目的有二 :其一 ,可以先求出两个交点再求直线方程 ;其二 ,可以从曲线与方程的关系的角度 ,设两曲线交于两点 A、B,则 A、B两点坐标也满足方程 ( x2 y2 3x - y) - ( x2 y2 23x 13y) =0即 7x - 4y =0 ,而此方程表示一条直线 ,又过 A、B的直线是唯一的 ,所以方程 7x - 4y= 0即为所求 .当圆的方程讲过后 ,我们便可以告诉学生 :方程 7x - 4y =0就是两圆x2 y2 3x - y =0和　 x2 y…     

这种解法锚在哪里?

题目 方程√(x+1)2+√(x-1)2+y2=1所表示的曲线是什么? 　　解法1 　　所给方程的几何意义即动点(x,y)与两个定点(-1,0)、(1,0)的距离之和等于常数1,所以动点(x,y)的轨迹是以这两个定点为焦点,长轴长为1的椭圆.……     

例说导数中几个重要的关系

《极限与导数》这一部分内容是进一步学习微积分的基础,目前高中阶段的教材只向学生介绍一些最基础、最浅显的知识,因此,在知识的系统性和理论性方面就很难做到严谨、周密(尤其是使用人教版《数学》第三册(选修1)),但教师还是必须以学生能理解、接受的方式向学生讲清楚以下几个关系.1.函数在一点处的导数与曲线在这点处切线的斜率的关系一般地,函数y=f(x)在x=x0处的导数是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率.问:若函数y=f(x)在x=x0处无导数,曲线y=f(x)在x=x0处有切线吗?答:若函数y=f(x)在x=x0处无导数,曲线y=f(x)在x=x0处可能有切线,也可能无切…     

例析求曲线切线的两种提法

在人教版B版书选修2-2第11项有这样的一段话:“由导数的几何意义可知,曲线y=f(x)过点(x0,f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)”.由此段话可知,过点P(x0,f(x0))的切线只有一条,真的是这样吗?我们不妨举例分析一下:例1过点P(1,1)作曲线y=x3的切线,求此切线方程.错解:由于P(1,1)在曲线y=x3上,则P(1,1)就是切点.易求得斜率k=f′(1)=3,从而切线方程为y=3x-2.分析上述解法漏解了.尽管P(1,1)在曲线上,但是切点是否只有一个,即过点P作切线是否只有一条,答案是不一定的.我们应该设出切点Q(x0,y0),则y0=x03,由y′=3x2得斜率k=3x02,从而切线方程为y-y0=…     

曲线y=x~3的切线与曲线公共点的个数

曲线y=x3是我们比较熟悉的一种曲线,它的切线与曲线的公共点个数很有意思,除原点外,它在其他任一点处的切线都有两个公共点,其中一个公共点是切点,另一个公共点的横坐标是切点横坐标的-2倍,下面给出这个结论并给予证明.结论1除原点外,曲线y=f(x)=x3在     

综合题新编选登

题 1 2 7　过点 (0 ,1)的直线l与曲线C :y =x+1x (x >0 )交于相异两点 ,设曲线C在这两点处的切线分别为l1与l2 ,求l1与l2 交点的轨迹 .解　设直线l与曲线C交于点M (x1,y1) ,N(x2 ,y2 ) ,l1与l2 交于点P(x ,y) ,直线l的斜率为k ,方程为 y =kx +1.对 y =x +1x求导 ,得 :y′ =1- 1x2 .则 y′|x =x1=1- 1x21,y′|x =x2 =1- 1x21.故直线l1的方程为y - (x1+1x1) =(1- 1x12 ) (x -x1) ,即 y =(1- 1x12 )x +2x1(1)同理 ,可求得l2 的方程为y =(1- 1x22 )x +2x2(2 )(1) - (2 )得 (1x22 - 1x12 )x +2x1- 2x2=0 .由于x1≠x2 ,解得x =2x1x2x1+x2(3)由 …     

求曲线切线方程的两个易错点解析

<正>一、求曲线在某点处的切线函数y=f(x)在定义域的子区间[a,b]上的每一点处都有导数,则曲线y=f(x)在定义域的子区间[a,b]上的每一点处都有切线.若函数y=f(x)在定义域的子区间[a,b]上的某点x_0处导数不存在,那么,曲线y=f(x)在该处切线是否存在?如果存在,该如何来求?下面举例来说明.     

浅谈曲线系方程的应用

设f(x,y)=0,g (x y)=0 是两曲线的方程,求证方程f(x y)+λg(x y)=0表示经过这两条曲线的交点的曲线。这是十年制学校高中第二册复习题六的第一题的第(4)小题它的正确性,我们已经证明,还可证明其逆命题也成立。我们把方程f(x,y)+λg(x,y)=0(λ为任何实数)叫做经过两曲线f(x,y)=0和g(x,y)=0的交点的曲线系方程。(不包括曲线g(x,y)=0) 直线系方程和圆系方程是曲线系方程的两个     

线性对称变换中的可对换性及其条件

我们经常会遇到线性对称变换问题:求曲线C:F(x,y)=0关于直线l:ax by c=0对称后所得曲线C′的方程.解这类问题,一般是设点P(x,y)是C′上的任意一点,关于直线l对称后的点为P′(x′,y′),则P′(x′,y′)必在曲线C上,然后根据直线l垂直平分线段PP′列出两个方程y′-yx′-x·(-ab)=-     

坐标轴的平移 参数方程 极坐标

1.设O＇点在原坐标系xOy中的坐标为(a,b),以O＇为原点平移坐标轴,建立新坐标系X＇0＇y＇,平面内任一点M在原坐标系中的坐标为(x,y),在新坐标系中的坐标为(x＇,y＇),推导出x＇、y＇与x、 y之间的关系。 2.平移坐标轴,分别回答下列问题: (1)点M(a, b),当原点移至何处才能使它的新坐标为(2a,-b)? (2)原点移到0＇(a,b)后,点A的新坐标为(-a,-b),点A的原坐标是什么? (3)原点0＇(0,0)移到0(2,-1)后,原坐标系x＇0＇y＇变成新坐标系x0y、曲线方程为x~2/9+y~2/4=1.此曲线在原坐标系中的方程是什么? (4)曲线x~2+xy-2y~2+x+11y-12=0在原点移到(-1,2)点后,新方程是什么?曲线的形状是什么?     

深刻的背景,持久的热点——2012年高考数学北京卷理科第19题赏析

1试题呈现已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R).(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,求m的取值范围;(2)设m=4,曲线C与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M,N,直线y=1与直线BM交于点G,求证:A,G,N三点共线.     

对一道高考试题的探讨

题　如图 1 ,设点A和 B为抛物线y2 =4px (p >0 )上原点以外的两个动点 ,已知OA⊥ OB,OM⊥ AB,求点 M的轨迹方程 ,并说明它表示什么曲线 .(2 0 0 0年北京、安徽春季高考试题 )解法 1　设 A(x1,y1)、B(x2 ,y2 ) ,AB方程为 y =k(x - a) ,联立方程y =k(x - a)y2 =4px 　 y2 - 4 py     

用变换研究曲线间的位置关系

如果令u=mx,v=nx,则这个线性变换将x-O-y平面上的点P(x,y)变为u-O-v平面上的点Q(u,v),将x-O-y平面上的曲线P(x,y)=0变为u-O-v平面上的曲线Q(u,v)=0.这样的线性变换具有如下性质.1)如果P(x,y)=0为直线,那么Q(u,v)=0仍为直线;2)如果P(x,y)=0为曲线,那么Q(u,v)=0仍为曲线,并且变换     

五个对称结论及应用

对称是高中数学的一个重要内容,分为中心对称和轴对称两大类型,最常见对称有,关于原点、x轴、y轴,直线y=x、直线y=-x等五种,设点P(x,y)或曲线F(x,y)=0,则有以下结论:1.关于x轴对称时,P(x,y)的对称点为P’(x,-y),曲线F(x,y)的对称方程为F’(x,-y)=0,其特点是"纵变,横不变".     

利用曲线系求过二次曲线上一点的切线方程

现行高中课本《平面解析几何》P110复习参考题（以下简称参考题）二第7题：如果两条曲线的方程是f1（x,y）=0和f2（x,y）=0,它们的交点是P（x0,y0）．证明：方程的曲线也经过点P（λ是任意实数）本文通过对"参考题"的改进,介绍求过二次曲线上一点的切线方程的一种新方法--曲线系法．1"参考题"的改进定理如果两条曲线C0：f（x,y）=0和C∞：g（x,y）=0有且只有n（nεN）个公共点,那么对于任意λR,曲线系C：f（x,y）＋M（X,y）一O中的任何两条曲线十、勺（人大人）也有且只有这几个公共点,并且曲线Cλ不同于C∞.事实上,利用…